Кръгово движение. Уравнение на кръговото движение

Теми на кодификатора USE: движение в кръг с постоянна модулна скорост, центростремително ускорение.

Равномерно кръгово движение е доста прост пример за движение с вектор на ускорение, който зависи от времето.

Нека точката се върти в окръжност с радиус . Скоростта на точка е постоянна по модул и равна на . Скоростта се нарича линейна скоростточки.

Период на обращение е време за една пълна революция. За периода имаме очевидна формула:

. (1)

Честота на обращение е реципрочната стойност на периода:

Честотата показва колко пълни оборота прави точката за секунда. Честотата се измерва в rpm (обороти в секунда).

Нека, например,. Това означава, че през времето точката прави един завършен
оборот. Честотата в този случай е равна на: около / s; Върхът прави 10 пълни оборота в секунда.

Ъглова скорост.

Разгледайте равномерното въртене на точка в декартовата координатна система. Нека поставим началото на координатите в центъра на кръга (фиг. 1).

Ориз. 1. Равномерно кръгово движение

Нека е началната позиция на точката; с други думи, за , точката имаше координати . Оставете точката да се завърти под ъгъл във времето и да заеме позицията.

Съотношението на ъгъла на въртене към времето се нарича ъглова скорост въртене на точки:

. (2)

Ъгълът обикновено се измерва в радиани, така че ъгловата скорост се измерва в rad/s. За време, равно на периода на въртене, точката се завърта на ъгъл. Ето защо

. (3)

Сравнявайки формули (1) и (3), получаваме връзката между линейната и ъгловата скорост:

. (4)

Законът за движението.

Нека сега намерим зависимостта на координатите на въртящата се точка от времето. Виждаме от фиг. 1 това

Но от формула (2) имаме: . следователно

. (5)

Формули (5) са решението на основната задача на механиката за равномерното движение на точка по окръжност.

центростремително ускорение.

Сега се интересуваме от ускорението на точката на въртене. Може да се намери чрез диференциране на отношения (5) два пъти:

Като вземем предвид формули (5), имаме:

(6)

Получените формули (6) могат да бъдат записани като едно векторно равенство:

(7)

където е радиус векторът на въртящата се точка.

Виждаме, че векторът на ускорението е насочен срещуположно на радиус вектора, т.е. към центъра на окръжността (виж фиг. 1). Следователно се нарича ускорението на една точка, движеща се равномерно в окръжност центростремителен.

Освен това от формула (7) получаваме израз за модула на центростремителното ускорение:

(8)

Изразяваме ъгловата скорост от (4)

и заменете в (8) . Нека получим още една формула за центростремително ускорение.

В този урок ще разгледаме криволинейното движение, а именно равномерното движение на тяло в окръжност. Ще научим какво е линейна скорост, центростремително ускорение при движение на тялото в кръг. Въвеждаме и величини, които характеризират въртеливото движение (период на въртене, честота на въртене, ъглова скорост) и свързваме тези величини една с друга.

Под равномерно движение в кръг се разбира, че тялото се върти на един и същ ъгъл за всеки идентичен период от време (виж фиг. 6).

Ориз. 6. Равномерно кръгово движение

Тоест, модулът на моментната скорост не се променя:

Тази скорост се нарича линеен.

Въпреки че модулът на скоростта не се променя, посоката на скоростта се променя непрекъснато. Помислете за векторите на скоростта в точките АИ б(виж Фиг. 7). Те са насочени в различни посоки, така че не са равни. Ако се извади от скоростта в точката бточкова скорост А, получаваме вектор.

Ориз. 7. Вектори на скоростта

Съотношението на промяната в скоростта () към времето, през което е настъпила тази промяна () е ускорение.

Следователно всяко криволинейно движение се ускорява.

Ако разгледаме триъгълника на скоростта, получен на фигура 7, тогава с много близко разположение на точките АИ бедин спрямо друг, ъгълът (α) между векторите на скоростта ще бъде близо до нула:

Известно е също, че този триъгълник е равнобедрен, така че модулите на скоростите са равни (равномерно движение):

Следователно и двата ъгъла в основата на този триъгълник са неопределено близки до:

Това означава, че ускорението, което е насочено по вектора, всъщност е перпендикулярно на тангентата. Известно е, че права в окръжност, перпендикулярна на допирателна, е радиус, т.е ускорението е насочено по радиуса към центъра на окръжността. Това ускорение се нарича центростремително.

Фигура 8 показва триъгълника на скоростите, обсъден по-рано, и равнобедрен триъгълник (двете страни са радиусите на окръжност). Тези триъгълници са подобни, тъй като имат равни ъгли, образувани от взаимно перпендикулярни линии (радиусът, подобно на вектора, е перпендикулярен на допирателната).

Ориз. 8. Илюстрация за извеждане на формулата за центростремително ускорение

Линеен сегмент ABе move(). Разглеждаме равномерно кръгово движение, така че:

Заменяме получения израз за ABвъв формулата за подобие на триъгълник:

Понятията "линейна скорост", "ускорение", "координата" не са достатъчни, за да опишат движението по крива траектория. Следователно е необходимо да се въведат величини, характеризиращи въртеливото движение.

1. Периодът на въртене (T ) се нарича време на една пълна революция. Измерва се в единици SI в секунди.

Примери за периоди: Земята се завърта около оста си за 24 часа (), а около Слънцето - за 1 година ().

Формула за изчисляване на периода:

където е общото време на въртене; - брой обороти.

2. Честота на въртене (н ) - броят на оборотите, които тялото прави за единица време. Измерва се в единици SI в реципрочни секунди.

Формула за намиране на честотата:

където е общото време на въртене; - брой обороти

Честотата и периодът са обратно пропорционални:

3. ъглова скорост () нарича съотношението на промяната в ъгъла, под който тялото се е обърнало към времето, през което е настъпил този завой. Измерва се в единици SI в радиани, разделени на секунди.

Формула за намиране на ъгловата скорост:

къде е промяната в ъгъла; е времето, необходимо за извършване на обрата.

Кръговото движение е най-простият случай на криволинейно движение на тяло. Когато тялото се движи около определена точка, заедно с вектора на изместване е удобно да се въведе ъгловото изместване ∆ φ (ъгълът на въртене спрямо центъра на окръжността), измерено в радиани.

Познавайки ъгловото изместване, е възможно да се изчисли дължината на кръговата дъга (пътя), която тялото е преминало.

∆ l = R ∆ φ

Ако ъгълът на завъртане е малък, тогава ∆ l ≈ ∆ s .

Нека илюстрираме казаното:

Ъглова скорост

При криволинейно движение се въвежда понятието ъглова скорост ω, т.е. скоростта на промяна на ъгъла на въртене.

Определение. Ъглова скорост

Ъгловата скорост в дадена точка от траекторията е границата на съотношението на ъгловото преместване ∆ φ към интервала от време ∆ t, през който се е случило. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Мерната единица за ъглова скорост е радиани в секунда (r a d s).

Съществува връзка между ъгловата и линейната скорост на тялото при движение в кръг. Формула за намиране на ъгловата скорост:

При равномерно движение в кръг скоростите v и ω остават непроменени. Променя се само посоката на вектора на линейната скорост.

В този случай равномерното движение по кръг върху тялото се влияе от центростремително или нормално ускорение, насочено по радиуса на кръга към неговия център.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:

a n = v 2 R = ω 2 R

Нека докажем тези отношения.

Нека разгледаме как векторът v → се променя за малък период от време ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

В точки A и B векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността, докато модулите на скоростта в двете точки са еднакви.

По дефиниция на ускорението:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Да погледнем снимката:

Триъгълниците OAB и BCD са подобни. От това следва, че O A A B = B C C D .

Ако стойността на ъгъла ∆ φ е малка, разстоянието A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Като се има предвид, че O A \u003d R и C D \u003d ∆ v за подобни триъгълници, разгледани по-горе, получаваме:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

Когато ∆ φ → 0, посоката на вектора ∆ v → = v B → - v A → се доближава до посоката към центъра на окръжността. Ако приемем, че ∆ t → 0, получаваме:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерно движение по окръжност модулът на ускорението остава постоянен и посоката на вектора се променя с времето, като същевременно се запазва ориентацията към центъра на окръжността. Ето защо това ускорение се нарича центростремително: векторът във всеки момент е насочен към центъра на кръга.

Записът на центростремителното ускорение във векторна форма е както следва:

a n → = - ω 2 R → .

Тук R → е радиус векторът на точка от окръжност с начало в центъра.

В общия случай ускорението при движение по окръжност се състои от две компоненти - нормална и тангенциална.

Разгледайте случая, когато тялото се движи по окръжността неравномерно. Нека въведем концепцията за тангенциално (тангенциално) ускорение. Посоката му съвпада с посоката на линейната скорост на тялото и във всяка точка от окръжността е насочена тангенциално към него.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Тук ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 е промяната в модула на скоростта в интервала ∆ t

Посоката на пълното ускорение се определя от векторната сума на нормалното и тангенциалното ускорение.

Кръговото движение в равнина може да се опише с помощта на две координати: x и y. Във всеки момент скоростта на тялото може да се разложи на компоненти v x и v y .

Ако движението е равномерно, стойностите v x и v y, както и съответните координати ще се променят във времето според хармоничен закон с период T = 2 π R v = 2 π ω

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter