Как да факторизираме квадратен трином. Разлагане на множители на полином Разлагане на множители на квадратен полином

Той има квадрат и се състои от три члена (). Така се оказва - квадратен тричлен.

Примери Неквадратни тричлени:

$x^3-3x^2-5x+6$ - кубичен кватернер
$2x+1$ - линеен бином

Коренът на квадратния трином:

Пример:
Тричленът $x^2-2x+1$ има корен $1$, защото $1^2-2 1+1=0$
Триномът $x^2+2x-3$ има корени $1$ и $-3$, защото $1^2+2-3=0$ и $(-3)^ 2-6-3=9-9=0$

Например:ако трябва да намерите корените на квадратния трином $x^2-2x+1$, ние го приравняваме на нула и решаваме уравнението $x^2-2x+1=0$.

$D=4-4\cdot1=0$
$x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1$

Готов. Коренът е $1$.

Разлагане на квадратен тричлен на:

Квадратният трином $ax^2+bx+c$ може да бъде разширен като $a(x-x_1)(x-x_2)$, ако уравненията $ax^2+bx+c=0$ са по-големи от нула \ (x_1\) и $x_2$ са корените на едно и също уравнение).

Например, разгледайте тринома $3x^2+13x-10$.
Квадратното уравнение $3x^2+13x-10=0$ има дискриминант, равен на 289 (по-голям от нула), а корените са равни на $-5$ и $\frac(2)(3 )$. Така че $3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))$. Лесно е да проверим правилността на това твърдение - ако ние , тогава получаваме оригиналния трином.

Квадратният трином $ax^2+bx+c$ може да бъде представен като $a(x-x_1)^2$, ако дискриминантът на уравнението $ax^2+bx+c=0$ е равно на нула.

Например, разгледайте тринома $x^2+6x+9$.
Квадратното уравнение $x^2+6x+9=0$ има дискриминант, равен на $0$, а единственият корен е равен на $-3$. И така, $x^2+6x+9=(x+3)^2$ (тук коефициентът $a=1$, така че няма нужда да пишете преди скобите). Моля, имайте предвид, че същата трансформация може да се извърши от .

Квадратният трином $ax^2+bx+c$ не се факторизира, ако дискриминантът на уравнението $ax^2+bx+c=0$ е по-малък от нула.

Например, триномите $x^2+x+4$ и $-5x^2+2x-1$ имат дискриминант по-малък от нула. Следователно е невъзможно те да бъдат разложени на фактори.

Пример . Фактор $2x^2-11x+12$.
Решение :
Намерете корените на квадратното уравнение $2x^2-11x+12=0$

$D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0$
$x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;$ $x_2=\frac(11+5)(4)=4.$

Така че $2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)$
Отговор : $2(x-1,5)(x-4)$

Полученият отговор може да бъде записан по различен начин: $(2x-3)(x-4)$.

Пример . (Задание от OGE)Квадратният трином се разлага на множители $5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)$. Намери си\).
Решение:
$5x^2+33x+40=0$
$D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2$
$x_1=\frac(-33-17)(10)=-5$
$x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6$
$5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)$
Отговор : $-1,6$

В този урок ще научим как да разлагаме квадратни тричлени на линейни множители. За целта е необходимо да си припомним теоремата на Виета и нейната обратна. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разложим квадратни триноми на линейни множители и също така да опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

И така, обратно към квадратното уравнение, където.

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен тричлен, тогава идентичността е вярна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен се разлага на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която разгледахме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадрат trinomial за които , Тогава .

Тази теорема предполага следното твърдение, че .

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. замествайки тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разлагането е валидно.

Сега нека си припомним пример за квадратно уравнение, на което избрахме корените с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто разширим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче проверим дали за някое уравнение е възможно такова факторизиране:

Да вземем за пример уравнението. Първо, нека проверим знака на дискриминанта

И помним, че за да се изпълни теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, следователно в този случай факторизирането според изучаваната теорема е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Vieta, възможността за разлагане на квадратен трином на линейни множители и сега ще решим няколко задачи.

Задача №1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме неговите корени, разлагайки се на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, така че да са неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача №2

Трябва да намалите фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са факторизирани, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

На първо място е необходимо да разложим числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде разложено на множители, да намерите дискриминанта. Тъй като , тогава знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да вземем корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че и заместим тази стойност в уравнението, тогава се получава следната система: т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

Така открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заменим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Спомнете си първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да решим проблема, като заместим вместо числителя .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпросът е кога .

Този онлайн калкулатор е предназначен да факторизира функция.

Например разложете на множители: x 2 /3-3x+12 . Нека го запишем като x^2/3-3*x+12. Можете също да използвате тази услуга, където всички изчисления се записват във формат Word.

Например, разложете на термини. Нека го запишем като (1-x^2)/(x^3+x) . За да видите напредъка на решението, щракнете върху Показване на стъпките. Ако трябва да получите резултата във формат Word, използвайте тази услуга.

Забележка: числото "pi" (π) се записва като pi ; квадратен корен като sqrt, например sqrt(3), тангенсът на tg се записва като tan. Вижте секцията Алтернатива за отговор.

Ако е даден прост израз, например 8*d+12*c*d, тогава разлагането на израза означава разлагане на израза на множители. За да направите това, трябва да намерите общи фактори. Записваме този израз като: 4*d*(2+3*c) .
Изразете произведението като два бинома: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Тук вече трябва да намерим няколко общи фактора: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Изваждаме (x+7z) и получаваме: (x+7z)(x + 3y) .

вижте също Деление на полиноми по ъгъл (показани са всички стъпки на деление по колона)

Полезни при изучаването на правилата за факторизиране са формули за съкратено умножение, с което ще стане ясно как се отварят скоби с квадрат:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи за факторинг

След като научите няколко трика факторизациярешенията могат да бъдат класифицирани, както следва:

Използване на формули за съкратено умножение.
Търсене на общ множител.

И така, обратно към квадратното уравнение, където.

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен тричлен, тогава идентичността е вярна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която разгледахме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадрат trinomial за които , Тогава .

Тази теорема предполага следното твърдение, че .

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разлагането е валидно.

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто разширим скобите:

Нека обаче проверим дали за някое уравнение е възможно такова факторизиране:

Да вземем за пример уравнението. Първо, нека проверим знака на дискриминанта

Задача №1

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, така че да са неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача №2

Трябва да намалите фракцията.

На първо място е необходимо да разложим числителя на множители.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

Спомнете си първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да решим проблема, като заместим вместо числителя .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпросът е кога .

Факторизиране на квадратен тричленможе да бъде полезно при решаване на неравенства от задача C3 или задача с параметър C5. Освен това много текстови задачи B13 ще бъдат решени много по-бързо, ако знаете теоремата на Виета.

Тази теорема, разбира се, може да се разглежда от гледна точка на 8-ми клас, в който се преминава за първи път. Но нашата задача е да се подготвим добре за изпита и да се научим да решаваме изпитни задачи възможно най-ефективно. Затова в този урок подходът е малко по-различен от училищния.

Формулата за корените на уравнението според теоремата на Виетапознавам (или поне съм виждал) много:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

където `a, b` и `c` са коефициентите на квадратния трином `ax^2+bx+c`.

За да научите как да използвате лесно теоремата, нека разберем откъде идва (ще бъде наистина по-лесно да запомните по този начин).

Нека имаме уравнението `ax^2+ bx+ c = 0`. За допълнително удобство го разделяме на „a“ и получаваме „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Такова уравнение се нарича редуцирано квадратно уравнение.

Важни точки от урока: всеки квадратен полином, който има корени, може да бъде разложен в скоби.Да предположим, че нашето може да бъде представено като `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, където `k` и `l` - някои константи.

Да видим как се отварят скобите:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Така, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Това е малко по-различно от класическото тълкуване Теореми на Виета- в него търсим корените на уравнението. Предлагам да потърся условия за разширения на скоби- така че не е нужно да помните за минуса от формулата (което означава `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Достатъчно е да изберете две такива числа, чиято сума е равна на средния коефициент, а произведението е равно на свободния член.

Ако имаме нужда от решение на уравнението, то е очевидно: корените `x=-k` или `x=-l` (тъй като в тези случаи една от скобите ще бъде нула, което означава, че целият израз ще бъде равно на нула).

Например ще покажа алгоритъма, как да разложим квадратен полином в скоби.

Пример първи. Алгоритъм за факторизиране на квадратен тричлен

Пътят, който имаме, е квадратният тричлен `x^2+5x+4`.

Той е намален (коефициентът на `x^2` е равен на единица). Той има корени. (За да сте сигурни, можете да оцените дискриминанта и да се уверите, че е по-голям от нула.)

Допълнителни стъпки (те трябва да бъдат научени чрез изпълнение на всички обучителни задачи):

Направете следната нотация: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Оставете свободно място вместо точки, ние ще добавим подходящи числа и знаци там.
Обмислете всички възможни варианти за това как можете да разложите числото „4“ на произведение на две числа. Получаваме двойки "кандидати" за корените на уравнението: `2, 2` и `1, 4`.
Преценете от коя двойка можете да получите средния коефициент. Очевидно е „1, 4“.
Напишете $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Следващата стъпка е да поставите знаци пред вмъкнатите числа.
Как да разберем и запомним завинаги какви знаци трябва да стоят пред числата в скоби? Опитайте се да ги разширите (скоби). Коефициентът преди `x` на първа степен ще бъде `(± 4 ± 1)` (все още не знаем знаците - трябва да изберем) и трябва да е равен на `5`. Очевидно тук ще има два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Изпълнете тази операция няколко пъти (здравейте, тренировъчни задачи!) и никога няма да има повече проблеми с това.

Ако трябва да решите уравнението `x^2+5x+4`, то сега решението му не е трудно. Корените му са `-4, -1`.

Втори пример. Факторизиране на квадратен тричлен с коефициенти с различни знаци

Нека трябва да решим уравнението `x^2-x-2=0`. Накратко, дискриминантът е положителен.

Следваме алгоритъма.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Има само едно разлагане на цяло число на 2: `2 · 1`.
Прескачаме точката - няма какво да избираме.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Произведението на нашите числа е отрицателно (`-2` е свободен член), което означава, че едно от тях ще бъде отрицателно, а другото положително.
Тъй като сборът им е равен на `-1` (коефициент на `x`), то `2` ще е отрицателно (интуитивно обяснение - две е по-голямото от двете числа, то ще "дърпа" повече в отрицателна посока). Получаваме $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Трети пример. Факторизиране на квадратен тричлен

Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Разлагане на 84 на цели множители: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Тъй като се нуждаем от разликата (или сумата) на числата да бъде 5, двойката „7, 12“ ще свърши работа.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

надежда, разлагане на този квадратен тричлен в скобиЯсно е.

Ако имате нужда от решение на уравнението, ето го: `12, -7`.

Задачи за обучение

Ето няколко примера, които са лесни за се решават с помощта на теоремата на Виета.(Примери са взети от Математика, 2002 г.)

„x^2+x-2=0“.
„x^2-x-2=0“.
„x^2+x-6=0“.
„x^2-x-6=0“.
„x^2+x-12=0“.
„x^2-x-12=0“.
„x^2+x-20=0“.
„x^2-x-20=0“.
„x^2+x-42=0“.
„x^2-x-42=0“.
„x^2+x-56=0“.
„x^2-x-56=0“.
„x^2+x-72=0“.
„x^2-x-72=0“.
„x^2+x-110=0“.
„x^2-x-110=0“.
„x^2+x-420=0“.
„x^2-x-420=0“.

Няколко години след написването на статията се появи колекция от 150 задачи за разширяване на квадратен полином с помощта на теоремата на Vieta.

Харесайте и задавайте въпроси в коментарите!