Най-голям общ делител. Взаимопрости числа

Прости и съставни числа

Определение 1 . Общият делител на няколко естествени числа е числото, което е делител на всяко от тези числа.

Определение 2 . Най-големият общ делител се нарича най-голям общ делител (gcd).

Пример 1 . Общите делители на числата 30, 45 и 60 ще бъдат числата 3, 5, 15. Най-големият общ делител на тези числа ще бъде

gcd(30, 45, 10) = 15.

Определение 3 . Ако най-големият общ делител на няколко числа е 1, тогава тези числа се наричат взаимно приме.

Пример 2 . Числата 40 и 3 ще бъдат взаимно прости, но числата 56 и 21 не са взаимно прости, защото числата 56 и 21 имат общ делител 7, който е по-голям от 1.

Забележка . Ако числителят на дроб и знаменателят на дроб са относително прости числа, тогава такава дроб е несъкратима.

Алгоритъм за намиране на най-голям общ делител

Обмисли алгоритъм за намиране на най-голям общ делителняколко числа в следния пример.

Пример 3 . Намерете най-големия общ делител на числата 100, 750 и 800.

Решение . Нека разложим тези числа на прости множители:

Простият множител 2 е включен в първото разлагане на множители на степен 2, във второто разлагане на множители на степен 1 ​​и в третото разлагане на множители на степен 5. Обозначете най-малко от тези степени с буквата а. Очевидно е, че а = 1 .

Простият множител 3 влиза в първото разлагане на множители на степен 0 (с други думи, факторът 3 изобщо не влиза в първото разлагане на множители), второто разлагане на множители влиза в степен 1, а третото разлагане на множители на степен 0. Обозначете най-малко от тези степени с буквата b. Очевидно е, че b = 0 .

Простият множител 5 влиза в първото разлагане на множители на степен 2, второто разлагане на множители на степен 3 и третото разлагане на множители на степен 2. Обозначете най-малко от тези степени с буквата c. Очевидно е, че ° С = 2 .

Раздели: математика, Конкурс "Презентация към урока"

клас: 6

Презентация към урока

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тази работа е предназначена да придружава обяснението на нова тема. Учителят подбира практическите и домашните задачи по свое усмотрение.

Оборудване:компютър, проектор, екран.

Напредък на обяснението

Слайд 1. Най-голям общ делител.

устна работа.

1. Изчислете:

а) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

б) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Отговори: а) 8; б) 3.

2. Оборете твърдението: Числото “2” е общият делител на всички числа.”

Очевидно нечетните числа не се делят на 2.

3. Как се наричат ​​числата, кратни на 2?

4. Назовете число, което е делител на произволно число.

Писмено.

1. Разложете числото 2376 на прости множители.

2. Намерете всички общи делители на 18 и 60.

Делители на числото 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Делители на 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; тридесет; 60.

Кой е най-големият общ делител на 18 и 60.

Опитайте се да формулирате кое число се нарича най-голям общ делител на две естествени числа

правило. Най-голямото естествено число, което може да се дели без остатък, се нарича най-голям общ делител.

Те пишат: НОД (18; 60) = 6.

Моля, кажете ми, удобен ли е разглежданият метод за намиране на GCD?

Числата може да са твърде големи и за тях е трудно да изброят всички делители.

Нека се опитаме да намерим друг начин за намиране на GCD.

Нека разложим числата 18 и 60 на прости множители:

18 =

Дайте примери за делители на числото 18.

Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Дайте примери за делители на числото 60.

Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; тридесет; 60.

Дайте примери за общи делители на 18 и 60.

Числа: 1; 2; 3; 6.

Как можете да намерите най-големия общ делител на 18 и 60?

Алгоритъм.

1. Разложете тези числа на прости множители.

Помня!

Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, то се нарича просто.

Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.

Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число, останалите прости числа са нечетни.

Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Няма обаче последно просто число. В секцията "За изучаване" можете да изтеглите таблица на простите числа до 997.

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

Например:

• числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
• 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели по равно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12), се наричат ​​делители на числото.

Помня!

Делителят на естествено число а е такова естествено число, което дели даденото число "а" без остатък.

Естествено число, което има повече от два множителя, се нарича съставно число.

Забележете, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.

Общият делител на две дадени числа "a" и "b" е числото, на което и двете дадени числа "a" и "b" се делят без остатък.

Помня!

Най-голям общ делител(НОД) на две дадени числа "a" и "b" - това е най-голямото число, на което се делят без остатък двете числа "a" и "b".

Накратко най-големият общ делител на числата "a" и "b" се записва по следния начин:

gcd (a; b) .

Пример: gcd (12; 36) = 12 .

Делителите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".

D(7) = (1, 7)

D(9) = (1, 9)

gcd (7; 9) = 1

Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива номера се наричат взаимнопрости числа.

Помня!

Взаимопрости числаса естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният GCD е 1.

Как да намерим най-големия общ делител

За да намерите gcd на две или повече естествени числа, трябва:

1. разлагат делителите на числата на прости множители;

Изчисленията са удобно написани с помощта на вертикална лента. Отляво на реда първо запишете дивидента, отдясно - делителя. По-нататък в лявата колона записваме стойностите на private.

Нека веднага обясним с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.

1. Подчертайте едни и същи прости множители и в двете числа.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Намираме произведението на еднакви прости множители и записваме отговора;
   НОД (28; 64) = 2 2 = 4

   Отговор: НОД (28; 64) = 4

Можете да подредите местоположението на GCD по два начина: в колона (както беше направено по-горе) или „в линия“.

градски район на Толиати

„Най-голям общ делител. Взаимопрости числа.

Учител Костина Т.К.

отивам. Толиати

Презентация на тема: „Най-голям общ делител.

взаимно прости числа"

Предварителна подготовка за урока:учениците трябва да познават следните теми: „Делители и кратни“, „Признаци за делимост на 10, 5, 2, 3, 9“, „Прости и съставни числа“, „Разлагане на прости множители“

Цели на урока:

1. 
   Образователни: изучаване на понятията НОД и относително прости числа; учат учениците да намират GCD числа; създават условия за развиване на способността да обобщават изучения материал, да анализират, сравняват и да правят изводи.
2. 
   Образователни: формиране на умения за самоконтрол; възпитаване на чувство за отговорност.
3. 
   Развитие: развитие на паметта, въображението, мисленето, вниманието, изобретателността.

По време на часовете

Протоколи за логически задачи Устна работа.

1. Баба и дядо донесоха нечетен брой кайсии от градината за двамата си внуци. Могат ли тези кайсии да се разделят поравно между внуците? [Мога]

2. От едно село до друго 3 км. Двама души излязоха от тези села един към друг с еднаква скорост. Срещата се проведе половин час по-късно. Намерете скоростта на всеки.

3. Туристът е изминал 2/5 от целия път. След това трябваше да измине 4 км повече от него. Намерете целия път.

4. Броят на яйцата в кошницата е по-малко от 40. Ако се броят по двойки, тогава ще остане 1 яйце. Ако ги броите на тризнаци, пак ще има по едно яйце. Колко яйца има в кошницата? (31)

2. Повторение.

По таблицата повтаряме определението за делител, кратно, признаци за делимост, определението за прости и съставни числа. На екрана има слайдове, изобразяващи животни, карта на Самарска област, снимки на ВАЗ.

3. Усвояване на нов материал под формата на разговор.

• 
  Какви са делителите на числото 18, 21, 24.
• 
  Площта на VAZ е 500 хектара. На какви прости множители може да се разложи това число? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
• 
  Кои са общите делители на числата 120 и 80.
• 
  Теглото на мечката е 525 кг. Масата на слона е 5025 кг. Назовете някои общи делители
• 
  Бобърът тежи 24 кг и е дълъг 97 см. Кои числа са прости или сложни? Назовете техните общи делители.
• 
  56640 тона кислород се изразходват от 1 пътнически самолет за 9 часа работа. Това количество кислород се отделя по време на фотосинтезата на 35 000 хектара гора. Назовете някои делители на това число.
• 
  Кои от тези числа са прости и кои съставни? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?

• 
  Кое число се дели на всички числа без остатък?
• 
  Какъв е делителят на всяко естествено число?
• 
  Дели ли се изразът 34*28+85*20 на 17?
• 
  Изразът 4132*7008 дели ли се на 3?
• 
  Какво е частното (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
• 
  Какво е произведението на (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
• 
  Назовете някои прости числа.

Колкото по-напред отиваме в естествената редица от числа, толкова по-трудно става намирането на прости числа. Представете си, че летим в самолет, който лети по естествена линия. Наоколо е тъмно и само простите числа са маркирани със светлини. Има много светлини в началото на пътуването, а след това все по-малко.

Древногръцкият учен Евклид доказа преди 2300 години, че има безкрайно много прости числа и че няма най-голямо просто число.

Проблемът с простите числа е изучаван от много математици, включително древногръцкия учен Ератостен. Неговият метод за намиране на прости числа е наречен ситото на Ератостен.

Голдбах и Ойлер, живели през 18 век и членове на Петербургската академия на науките, се занимават с проблема за простите числа. Те приемат, че всяко естествено число може да бъде представено като сбор от прости числа, но това не е доказано. През 1937 г. съветският академик Виноградов доказва това твърдение.

• 
  Индийски слон е живял 65 години, крокодил - 51 години, камила - 23 години, а кон - 19 години. Кои от тези числа са прости и съставни?
• 
  Вълкът преследва заека, той трябва да мине през лабиринта. Можете да преминете, ако отговорът е просто число [лабиринти под формата на кръгове, върху които има три примера, а в центъра има къща]

1. 
   1000-2; 250*2+9; 310/5
2. 
   24/4, 2 2 +41, 23+140
3. 
   10-3; 133+12; 28*5

Към задачата от записа на дъската:

Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48

Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36

НОД (48; 36) \u003d 12  12 подаръци  определяне на НОД на делителя  правило за намиране на НОД

И как да намерим НОД на големи числа, когато е трудно да изброим всички делители. По таблицата и учебника извеждаме правилото. Маркираме основните думи: разлагам, съставям, умножавам.

Показвам примери за намиране на НОД от големи числа, тук можем да кажем, че НОД на големи числа може да се намери с помощта на Евклидовия алгоритъм. С този алгоритъм ще се запознаем подробно в класната стая на математическата школа.

Алгоритъмът е правило, според което се извършват действията. През 9 век такива правила са дадени от арабския математик Алхваруими.

4. Работа в групи от по 4 човека.

Всеки получава една от 4 опции за задачи, където е посочено следното:

1. 
   Ученикът трябва да изучи теорията от учебника и да отговори на един въпрос
2. 
   Проучете пример за намиране на GCD
3. 
   Изпълнете задачи за самостоятелна работа.

В края на работата се извършва малка самостоятелна работа.

КСО карти

Опция 1

1. Кое число се нарича просто? Какво е съставно число?

2. Намерете НОД (96; 36)

За да намерите НОД на числа, трябва да разложите дадените числа на прости множители.

96=2 5 *3

Разширяването на числото, което е НОД на числата 96 и 36, ще включва общите прости множители с най-малък показател:

НОД (96;36)=2 2 *3=4*3=12

3. Решете сами. НОД(102; 84), НОД(75; 28), НОД(120; 144)

Вариант 2

1. Какво означава да разложим естествено число на прости множители? Какъв е общият делител на тези числа?

2. Примерен GCD (54; 72)=18

3. Решете сами НОД(144; 128), НОД(81; 64), НОД(360; 840)

Вариант 3

1. Кои числа се наричат ​​относително прости? Дай пример.

2. Примерен GCD (72; 96) =24

3. Решете сами НОД(102; 170), НОД(45; 64), НОД(864; 192)

Вариант 4

1. Как се намира общ делител на числата?

2. Примерен GCD (360; 432)

3. Решете сами НОД (135; 105), НОД (128; 75), НОД (360; 8400)

Самостоятелна работа

Решаване на задачи от задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург за 6 клас по математика на тема:

146 Намерете всички общи делители на числата 18 и 60; 72, 96 и 120; 35 и 88.
РЕШЕНИЕ

147 Намерете разлагането на прости множители на най-големия общ делител на a и b, ако a = 2 2 3 3 и b = 2 3 3 5; a = 5 5 7 7 7 и b = 3 5 7 7.
РЕШЕНИЕ

148 Намерете най-големия общ делител на числата 12 и 18; 50 и 175; 675 и 825; 7920 и 594; 324, 111 и 432; 320, 640 и 960.
РЕШЕНИЕ

149 Еднопрости ли са числата 35 и 40; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ

150 Дали числата 35 и 40 са прости; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ

151 Запишете всички правилни дроби със знаменател 12, чийто числител и знаменател са относително прости числа.
РЕШЕНИЕ

152 Момчетата получиха същите подаръци на новогодишното дърво. Всички подаръци заедно съдържаха 123 портокала и 82 ябълки. Колко деца присъстваха на коледната елха? Колко портокали и колко ябълки имаше във всеки подарък?
РЕШЕНИЕ

153 За пътуване извън града на служителите на завода бяха разпределени няколко автобуса с еднакъв брой места. 424 души отидоха в гората, а 477 отидоха в езерото. Всички места в автобусите бяха заети, нито един човек не остана без място. Колко автобуса бяха разпределени и колко пътници имаше във всеки от тях?
РЕШЕНИЕ

154 Пресметнете устно в колона
РЕШЕНИЕ

155 Използвайки фигура 7, определете дали числата a, b и c са прости.
РЕШЕНИЕ

156 Има ли куб, чийто ръб се изразява с естествено число и за който сборът от дължините на всички ръбове се изразява с просто число; площ, изразена като просто число?
РЕШЕНИЕ

157 Разложете на множители числата 875; 2376; 5625; 2025 г.; 3969; 13125.
РЕШЕНИЕ

158 Защо, ако едно число може да се разложи на два прости множителя, а второто - на три, то тези числа не са равни?
РЕШЕНИЕ

159 Възможно ли е да се намерят четири различни прости числа, така че произведението на две от тях да е равно на произведението на другите две?
РЕШЕНИЕ

160 По колко начина могат да се настанят 9 пътника в деветместен микробус? По колко начина могат да се настанят, ако някой от тях, който познава добре маршрута, седне до шофьора?
РЕШЕНИЕ

161 Намерете стойностите на изрази (3 8 5-11):(8 11); (2 2 3 5 7):(2 3 7); (2 3 7 1 3):(3 7); (3 5 11 17 23): (3 11 17).
РЕШЕНИЕ

162 Сравнете 3/7 и 5/7; 11/13 и 8/13; 1 2/3 и 5/3; 2 2/7 и 3 1/5.
РЕШЕНИЕ

163 Използвайте транспортир, за да начертаете AOB=35° и DEF=140°.
РЕШЕНИЕ

164 1) Лъч OM раздели развития ъгъл AOB на две: AOM и MOB. Ъгълът на AOM е 3 пъти MOB. Какви са ъглите AOM и BOM. Изградете ги. 2) Лъч ОК раздели развития ъгъл COD на две: SOK и KOD. Ъгълът SOC е 4 пъти по-малък от KOD. Какви са ъглите COK и KOD? Изградете ги.
РЕШЕНИЕ

165 1) Работници поправиха път с дължина 820 m за три дни. Във вторник ремонтираха 2/5 от този път, а в сряда 2/3 от останалите. Колко метра от пътя ремонтираха работниците в четвъртък? 2) Фермата съдържа крави, овце и кози, общо 3400 животни. Овцете и козите заедно съставляват 9/17 от всички животни, а козите съставляват 2/9 от общия брой на овцете и козите. Колко крави, овце и кози има във фермата?
РЕШЕНИЕ

166 Изразете като обикновена дроб числата 0,3; 0,13; 0,2 и като десетична дроб 3/8; 4 1/2; 3 7/25
РЕШЕНИЕ

167 Изпълнете действието, като запишете всяко число като десетична дроб 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
РЕШЕНИЕ

168 Изразете като сбор от простите членове числата 10, 36, 54, 15, 27 и 49, така че да има възможно най-малко членове. Какви предложения можете да направите относно представянето на числата като сбор от прости членове?
РЕШЕНИЕ

169 Намерете най-големия общ делител на a и b, ако a = 3 3 5 5 5 7, b = 3 5 5 11; a = 2 2 2 3 5 7, b = 3 11 13 .