Основни правила за добавяне на десетични знаци. Добавяне на десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетични числа е подобно на събирането и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

правило. се състои от цифрите на целите и дробните части като естествени числа.

Когато е написано събиране и изваждане на десетични знацизапетаята, разделяща цялата част от дробната част, трябва да е в членовете, а сумата или умаленото, субтрахента и разликата в една колона (запетая под запетая от условието до края на изчислението).

Събиране и изваждане на десетични знацикъм реда:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Събиране и изваждане на десетични знацив колона:

Добавянето на десетични дроби изисква горен допълнителен ред за запис на числа, когато сборът на цифрата минава през десет. Изваждането на десетични знаци изисква горният допълнителен ред да маркира цифрата, в която 1 се заема.

Ако няма достатъчно цифри от дробната част отдясно на термина или намалено, тогава могат да се добавят толкова нули вдясно в дробната част (увеличете битовата дълбочина на дробната част), колкото има цифри в друг термин или намалена.

Десетично умножениесе извършва по същия начин, както умножението на естествени числа, по същите правила, но в произведението се поставя запетая според сбора на цифрите на множителите в дробната част, като се брои отдясно наляво (сумата от цифрите на факторите е броят на цифрите след десетичната запетая за факторите, взети заедно).

Пример:

При умножение на десетични знацив колона първата значима цифра вдясно се подписва под първата значима цифра вдясно, както при естествените числа:

Записване умножение на десетични знацив колона:

Записване десетично делениев колона:

Подчертаните знаци са знаци за обвиване със запетая, тъй като делителят трябва да е цяло число.

правило. При деление на дробиделителя на десетичната дроб се увеличава с толкова цифри, колкото цифри има в нейната дробна част. За да не се променя частта, дивидентът се увеличава със същия брой цифри (в дивидента и делителя запетаята се прехвърля на същия брой знаци). Запетая се поставя в частното на етапа на деление, когато се разделя цялата част от дробта.

За десетичните дроби, както и за естествените числа, се запазва правилото: Не можете да разделите десетична запетая на нула!

Изучаваме други действия, които могат да се извършват с десетични дроби. В тази статия ще научим как да изчисляваме правилно разликата между десетичните дроби. Отделно ще анализираме правилата за крайни и безкрайни дроби (както периодични, така и непериодични), а също така ще видим как да преброим разликата от дроби като колона. Във втората част ще обясним как се изважда десетична запетая от естествено число, обикновена дроб, смесено число.

Предварително отбелязваме, че в тази статия се разглеждат само случаите, когато по-малка дроб се изважда от по-голяма, т.е. резултатът от това действие е положителен; други случаи се отнасят до намиране на разликата между рационални и реални числа и трябва да бъдат обяснени отделно.

Процесът на изчисляване както на крайни, така и на безкрайни периодични десетични дроби може да се сведе до намиране на разликата между обикновените дроби. По-рано говорихме за това как десетичните дроби могат да бъдат записани като обикновени дроби. Въз основа на това правило ще анализираме няколко примера за намиране на разликата.

Пример 1

Намерете разликата 3,7 - 0,31.

Решение

Пренаписваме десетичните дроби под формата на обикновени: 3, 7 \u003d 37 10 и 0, 31 \u003d 31 100.

Какво да правим по-нататък, вече сме проучили. Получихме отговора, който превеждаме обратно в десетична запетая: 339 100 = 3 , 39 .

Удобно е да се правят изчисления, свързани с десетични дроби в колона. Как да използвате този метод? Нека покажем, като решим проблема.

Пример 2

Изчислете разликата между периодичната дроб 0 , (4) и периодичната десетична дроб 0 , 41 (6) .

Решение

Нека преведем записите на периодични дроби в обикновени и изчислим.

0 , 4 (4) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 (6) = 0 , 41 + (0 , 006 + 0 , 0006 + . . .) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12

Общо: 0 , (4) - 0 , 41 (6) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36

Ако е необходимо, можем да изразим отговора като десетична дроб:

Отговор: 0 , (4) − 0 .41 (6) = 0 .02 (7) .

Ще анализираме по-нататък как да намерим разликата, ако имаме безкрайни непериодични дроби в условията. Този случай може също да се сведе до намиране на разликата между крайните десетични числа, за което трябва да закръглите безкрайните дроби до определена цифра (обикновено най-малката възможна).

Пример 3

Намерете разликата 2,77369... - 0,52.

Решение

Втората дроб в условието е крайна, а първата е безкрайна непериодична. Можем да го закръглим до четири знака след десетичната запетая: 2,77369 ... ≈ 2,7737. След това можете да извадите: 2, 77369 ... - 0, 52 ≈ 2, 7737 - 0, 52.

Отговор: 2, 2537.

Изваждането в колона е бърз и визуален начин да откриете разликата между крайните десетични знаци. Процесът на броене е много подобен на този за естествените числа.

ако в посочените десетични дроби броят на десетичните знаци е различен, ние го изравняваме. За да направите това, добавете нули към желаната фракция;
напишете частта, която трябва да се извади под намалената, като поставите стойностите на цифрите стриктно една под друга, а запетаята под запетаята;
ще извършим преброяването на колоните по същия начин, както правим за естествените числа, като игнорираме запетаята;
в отговора отделяме необходимия брой числа със запетая, така че да се намира на едно и също място.

Нека да разгледаме конкретен пример за използване на този метод на практика.

Пример 4

Намерете разликата 4452,294 - 10,30501.

Решение

Първо, нека направим първата стъпка - да изравним броя на десетичните знаци. Нека добавим две нули към първата дроб и ще получим дроб от формата 4 452 , 29400 , чиято стойност е идентична с първоначалната.

Нека напишем получените числа едно под друго в правилния ред, за да получим колона:

Ние броим както обикновено, игнорирайки запетаите:

В получения отговор поставете запетая на правилното място:

Изчисленията приключиха.

Нашият резултат: 4452,294 − 10,30501 = 4441,98899.

Намирането на разликата между крайна десетична дроб и естествено число е най-лесно по описания по-горе начин - колона. За целта числото, от което изваждаме, трябва да се запише като десетична дроб, в чиято дробна част има нули.

Пример 5

Пресметнете 15 - 7, 32.

Нека запишем намаленото число 15 като дроб 15, 00, тъй като дробта, която трябва да извадим, има два знака след десетичната запетая. След това извършваме броенето в колона, както обикновено:

Така че 15 − 7,32 = 7,68.

Ако трябва да извадим безкрайна периодична дроб от естествено число, тогава отново свеждаме този проблем до подобно изчисление. Заменяме периодичната десетична дроб с обикновена.

Пример 6

Изчислете разликата 1 - 0 , (6) .

Решение

Периодичната десетична дроб, посочена в условието, съответства на обичайното 2 3 .

Разглеждаме: 1 − 0 , (6) = 1 − 2 3 = 1 3 .

Полученият отговор може да се преведе в периодична дроб 0 , (3) .

Ако дадената в условието дроб е непериодична, процедираме по същия начин, като предварително сме я закръглили до желаната цифра.

Пример 7

Извадете 4, 274... от 5.

Решение

Ще закръглим посочената безкрайна дроб до стотни и ще получим 4, 274 ... ≈ 4, 27.

След това изчисляваме 5 − 4 , 274 ... ≈ 5 − 4 , 27 .

Нека преобразуваме 5 в 5, 00 и запишем колоната:

В резултат на това 5 − 4,274 ... ≈ 0,73.

Ако сме изправени пред обратната задача - да извадим естествено число от десетична дроб, тогава изваждаме от целочислената част на дробта и изобщо не докосваме дробната част. Правим това както с крайни, така и с безкрайни дроби.

Пример 8

Намерете разликата 37, 505 - 17.

Решение

Отделяме цялата част 37 от фракцията и изваждаме от нея търсеното число. Получаваме 37, 505 − 17 = 20, 505.

Този проблем също трябва да се сведе до изваждане на обикновени дроби - както в случай на смесени числа, така и в случай на десетични дроби.

Пример 9

Пресметнете разликата 0. 25 - 4 5 .

Решение

Нека представим 0, 25 като обикновена дроб - 0, 25 \u003d 25 100 \u003d 1 4.

Сега трябва да намерим разликата между 1 4 и 4 5 .

Разглеждаме: 4 5 - 0, 25 \u003d 4 5 - 1 4 \u003d 16 20 - 5 20 \u003d 11 20.

Нека запишем отговора като десетичен запис: 0, 55.

Ако условието съдържа смесено число, от което е необходимо да се извади крайна или периодична десетична дроб, тогава процедираме по подобен начин.

Пример 10

Условие: Извадете 0 , (18) от 8 4 11 .

Нека пренапишем периодичната дроб под формата на обикновена дроб. 0 , (18) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0, 18 1 - 0, 01 = 0, 18 0, 99 = 18 99 = 2 11

Оказва се, че 8 4 11 - 0 , (18) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .

В десетична форма отговорът може да бъде записан като 8 , (18) .

По същия начин процедираме, когато изваждаме смесено число или обикновена дроб от крайна или периодична дроб.

Пример 11

Пресметнете 9 40 - 0,03 .

Решение

Заменяме дробта 0,03 с обикновен 3100.

Получаваме, че: 9 40 - 0, 03 = 9 40 - 3 100 = 90 400 - 12 400 = 78 400 = 39 200

Отговорът може да бъде оставен както е или преобразуван в десетична 0, 195.

Ако трябва да извършим изваждане, включващо безкрайни непериодични дроби, тогава ще трябва да ги редуцираме до крайни. Правим същото със смесени числа. За целта записваме обикновена дроб или смесено число като десетична дроб и закръгляме дробта, която трябва да извадим, до определена цифра. Нека илюстрираме нашата идея с пример:

Пример 12

Извадете 4, 38475603 ... . от 10 2 7 .

Решение

Преобразувайте смесеното число в неправилна дроб.

Резултатът е 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , (285714) - 4 , 38475603 . . . .

Сега нека закръглим извадените числа до седмия знак след десетичната запетая: 10, (285714) = 10, 285714285714 … ≈ 10, 2857143 и 4, 38475603 … ≈ 4, 3847560

Тогава 10 , (285714) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .

Единственото нещо, което остава да направите, е да извадите един последен десетичен знак от другия. Нека преброим колоните:

Отговор: 10 2 7 - 4, 38475603. . . ≈ 5,9009583

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Училищният курс по математика е достатъчно голям, така че веднага щом учениците свикнат да добавят обикновени дроби и смесени числа, те трябва да научат нови правила за добавяне на десетични дроби. За да не се учите отново, трябва да разберете темата веднъж и никога повече да не правите грешки.

Видове дроби

Има два основни подвида дроби:

Обикновени дроби.Това включва числа, които са записани с дробна черта. Тези числа винаги имат числител и знаменател.
Десетични знаци.За десетичните дроби числителят се записва в реда, а знаменателят може да се определи от позицията на запетаята. Броят на десетичните знаци е равен на степента, на която трябва да повдигнете числото 10, за да получите знаменателя.

Има смесени числа както сред обикновените, така и сред десетичните дроби. В този случай не може да има неправилна десетична дроб. Системата за нотиране е такава, че цялата част от десетичната дроб се маркира автоматично.

Така че знаменателят на числото 0,17 е числото 100, тъй като дробта има 2 знака след десетичната запетая. Десетичната дроб се нарича, защото знаменателят винаги е степента на 10, това се подразбира от самата система за писане на такива числа.

Правила за събиране на обикновени дроби

За да добавите обикновени дроби, трябва да се уверите, че и двете числа имат еднакъв знаменател.

Ако обикновените дроби имат различни знаменатели, тогава не можете да ги събирате!

Първата стъпка е да поставите дроби с различни знаменатели под един и същ знаменател. Следващата стъпка е да добавите числителите. Знаменателите остават същите. Общият знаменател на две или повече числа е LCM на знаменателите.

Добавяне на десетични знаци

С десетичните дроби въпросът е по-сложен. Както вече споменахме, тук знаменателят не се вижда. Означава се със запетая. За да добавите две десетични знаци, трябва да се уверите, че и двете числа имат еднакъв брой десетични знаци.

За това се избира дроб с най-голям брой знаци, всички знаци се преизчисляват. След това необходимият брой нули се присвоява на числото с по-малко знаци вдясно. След това дробите се събират като обикновените числа, а запетаята се премества на същата позиция.

За да съберете две десетични дроби в колона, напишете едното число под другото, така че запетаята да е под запетаята. След подобно допълнение знакът няма да се премести на друго място и няма да сгрешите.

Помислете за малък пример за добавяне на десетични знаци:

0,12 + 0,1258 - най-големият брой десетични знаци 4. И така, за да решите примера, трябва да го напишете така:

0.1200 + 0.1258 - за да не объркате позицията на запетаята в резултата, можете да използвате трик и да извадите общия множител

0.1200+0.1258=0.0001*(1200+1258)=0.0001*2458=0.2458 - Не е нужно да използвате този трик. При изчисляване в колона не трябва да има грешка. Но този трик ще ви помогне правилно да добавите десетични дроби към низ.

Какво научихме?

Говорихме за разликите в събирането на десетични знаци и обикновени дроби. Те казаха как правилно да добавят десетични дроби в колона и в ред. Те също така дадоха пример, в който обмислиха малък трик за опростяване на изчислението.

Тематическа викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.4. Общо получени оценки: 48.

Добавяне на десетични знаципроизведени по правилата за добавяне в колона.

Десетичните дроби се добавят в колона, като естествени числа, без да се обръща внимание на запетаите.

В крайния резултат под запетаите се поставя запетая, както в оригиналните дроби.

Забележка! Ако първоначалните десетични дроби имат различен брой десетични знаци (цифри), тогава необходимия брой нули трябва да се добавят към дроба, в който броят на десетичните знаци е по-малък, за да се изравни броят на десетичните знаци в дробите.

Помислете за пример. Определете сбора на десетичните знаци:

0,678 + 13,7 =

Изравнете броя на десетичните знаци в десетичните дроби. Добавете 2 нули отдясно на десетичната запетая 13,7 :

0,678 + 13,700 =

Запишете отговора:

0,678 + 13,7 = 14,378

Основни правила за добавяне на десетични знаци:

Изравнете броя на десетичните знаци.
Напишете десетичните дроби една под друга, така че запетаите да са една под друга.
Извършете събиране на десетични дроби, като игнорирате запетаите, според правилата за събиране в колона от естествени числа.
Поставете запетая под запетаите в отговора си.

При писмено събиране и изваждане на десетични дроби запетаята, която разделя цялата част от дробната част, трябва да се намира при членовете и сбора в една колона (запетая под запетаята от условието до края на изчислението) .

Например.Добавяне на десетични знаци към низ:

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции една по една.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичният дроб има цяла част и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се добавят отделно.

Например, нека добавим десетичните знаци 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Първо, записваме тези две дроби в колона, като целите части трябва да са под целите части, а дробните под дробните. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая".

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Започваме да добавяме дробните части: 2 + 3 \u003d 5. Записваме петте в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Записваме осмицата в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 8.5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има подводни камъни, за които сега ще говорим.

Места в десетични знаци

Десетичните числа, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са десети места, стотни места, хилядни места. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Десетичните цифри съхраняват полезна информация. По-специално, те съобщават колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната запетая 0,345

Позицията, в която се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, в която се намира петицата, се нарича хилядни

Нека да разгледаме тази фигура. Виждаме, че в категорията на десетите има тройка. Това предполага, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите и тогава ще получим оригиналната десетична дроб 0,345

Вижда се, че първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична дроб и получихме 0,345.

При събиране на десетични дроби се спазват същите принципи и правила, както при събиране на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби става чрез цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, е необходимо да следвате правилото "запетая под запетая". Запетая под запетая осигурява същия ред, в който десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо събираме дробните части 5 + 4 = 9. Записваме деветката в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, отново спазваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 4.9. Значи стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая"

Първо, добавете дробната част, а именно стотните 1+2=3. Записваме тройката в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десети от 5+2=7. Записваме седемте в десетата част на нашия отговор:

Сега съберете целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Разделяме със запетая цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетаята“:

Получих отговор 4.73. Значи стойността на израза 3,51 + 1,22 е 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при събиране на десетични дроби, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колона:

Добавете стотни от 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега съберете целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Получих отговор 5,92. Значи стойността на израза 2,65 + 3,27 е 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Запишете този израз в колона

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и прехвърляме единицата към следващата цифра или по-скоро я прехвърляме към цяло число част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Когато събирате десетични дроби, броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно цифри, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, докато дробта 1,7 има само една. Така че в дробта 1,7 в края трябва да добавите две нули. След това получаваме дробта 1700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядни от 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотни от 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десети от 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговора 14 425. Значи стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични знаци

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчислете цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговора 0,3. Значи стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. В дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, а в дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да се добавят две нули в края, за да бъде броят на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получих отговор 4253. Значи стойността на израза 7,353 − 3,1 е 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседния бит, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. От числото 6 не изваждайте числото 9. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. След като вземем единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можем да изчислим стотните от 16−9=7. Записваме седемте в стотната част на нашия отговор:

Сега извадете десети. Тъй като взехме една единица в категорията десети, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, десетото място вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части 3−2=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.07. Значи стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставете запетая и добавете една нула:

Сега извадете десети: 0−2. Не изваждайте от нула числото 2. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Записваме осемте в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части. Преди това числото 3 се намираше в цялото число, но ние взехме назаем една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно изваждаме 1 от 2. 2−1=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.8. Значи стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Десетично умножение

Умножаването на десетични числа е лесно и дори забавно. За да умножите десетични числа, трябва да ги умножите като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Ние умножаваме тези десетични дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число е необходимо да се отдели със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 2,5 и 1,5. В първата дроб има една цифра след десетичната запетая, във втората дроб също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 х 1,5 = 3,75

Пример 2Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични знаци, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 12,85 и 2,7. В дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговора 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 х 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога има ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетично и обикновено число, трябва да ги умножите, независимо от запетаята в десетичната запетая. След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това в отговора да преброите същия брой цифри вдясно и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножаваме десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорираме запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 х 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Необходимо е да извършите умножението, като игнорирате запетаята в десетичната дроб, след което в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите същия брой цифри отдясно, колкото е имало цифри след десетичната запетая в десетичната запетая фракция.

Например умножете 2,88 по 10

Нека умножим десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорираме запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че в дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 28.80. Изхвърляме последната нула - получаваме 28,8. Значи стойността на израза 2,88 × 10 е 28,8

2,88 х 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с една цифра, получаваме 28,8.

2,88 х 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с две цифри, получаваме 288

2,88 х 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага гледаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Третата цифра я няма, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да се умножават дроби като обикновени числа и да се постави запетая в отговора, като се преброят толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 3,25 и 0,1. В дробта 3.25 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 0.1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След като преброим три цифри, установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да поставите запетая:

Получихме отговора 0,325. Значи стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-лесен и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Премествайки запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. В резултат на това получаваме 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага погледнете множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 3.25 преместваме запетаята наляво с две цифри, получаваме 0.0325

3,25 х 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Незабавно погледнете множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетичните знаци по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешка, която повечето хора правят.

При умножение с 10, 100, 1000 запетаята се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

А при умножение по 0,1, 0,01 и 0,001 запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво.

В един от предишните уроци казахме, че при разделяне на по-малко число на по-голямо се получава дроб, в чийто числител е делимото, а в знаменателя е делителя.

Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. Резултатът е дроб. Така всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дроб е отговорът на проблем как да разделя една ябълка между две

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата дробна черта във всяка дроб означава деление, което означава, че това деление е разрешено и в дроб. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. А тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава смачкване, разделяне, разделяне. Това означава, че модулът може да бъде разделен на колкото желаете части, а не само на две части.

При разделянето на по-малко число на по-голямо се получава десетична дроб, в която цялата част ще бъде 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Не може човек да се раздели на две просто така. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно, на частно пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да извадим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножаваме 5 по 2, получаваме 10

Получихме отговора 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представим как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четири? Въобще не. Пишем частно 0 и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, вдясно от 4 добавяме нула и разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осемте на частно.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5 и получаваме 40:

Получихме отговора 0,8. Значи стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа 125 има в пет? Въобще не. Пишем 0 на лично и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем 0 под петицата. Незабавно извадете от петте 0

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направите това, вдясно от тези пет пишем нула:

Разделете 50 на 125. Колко числа 125 има в 50? Въобще не. Така че в частното отново записваме 0

Умножаваме 0 по 125, получаваме 0. Записваме тази нула под 50. Веднага изваждаме 0 от 50

Сега разделяме числото 50 на 125 части. За да направите това, вдясно от 50 пишем още една нула:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Записваме четирите насаме:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125 и получаваме 500

Получихме отговора 0,04. Значи стойността на израза 5:125 е 0,04

Деление на числа без остатък

Така че, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Добавете нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте насаме:

40−40=0. Получено 0 в остатъка. Така разделението е напълно завършено. Разделянето на 9 на 5 води до десетичен знак от 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделяме 84 на 5 както обикновено с остатък:

Получени на лично 16 и още 4 в остатъка. Сега разделяме този остатък на 5. Поставяме запетая в частния и добавяме 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на редовно число, първо трябва:

разделете цялата част от десетичната дроб на това число;
след разделянето на цялата част, трябва незабавно да поставите запетая в частната част и да продължите изчислението, както при обикновеното деление.

Например, нека разделим 4,8 на 2

Нека напишем този пример като ъгъл:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е две. Пишем двойката насаме и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да смятаме, както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получих отговор 2.4. Стойност на израза 4,8: 2 е равно на 2,4

Пример 2Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Веднага поставете запетая след двете:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Делим 24 на 3, получаваме 8. Записваме осмицата на частно. Веднага го умножаваме по делителя, за да намерим остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Нулата все още не е записана. Вземете последните три от дивидента и разделете на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Получих отговор 2.81. Значи стойността на израза 8,43:3 е равна на 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, в дивидента и в делителя, преместете запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната точка в делителя, и след това разделете на редовно число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз като ъгъл

Сега, в делителя и в делителя, преместваме запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че трябва да преместим запетаята надясно с една цифра в делителя и в делителя. Прехвърляне:

След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 5,95 се превърна в дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обичайното число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена надясно, за да се улесни разделянето. Това е позволено поради факта, че при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е една от интересните характеристики на разделението. Нарича се частна собственост. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще се случи:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато поставим запетая в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята с една цифра надясно в делителя и делителя. След преместване на запетаята дробта 5,91 беше преобразувана във фракцията 59,1, а фракцията 1,7 беше преобразувана в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес се извърши умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя зависи от това по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в делителя и в делителя запетаята ще бъде преместена надясно.

Десетично деление на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, нека разделим 2,1 на 10. Нека решим този пример с ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с една цифра. Преместваме запетаята наляво с една цифра и виждаме, че вече няма останали цифри. В този случай добавяме още една нула преди числото. В резултат на това получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В числото 100 има две нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В числото 1000 има три нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Десетично деление на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В делителя и в делителя трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 се превръща в обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1, след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Значи стойността на израза 6,3:0,1 е равна на 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в дивидента се прехвърля надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3:0,1. Нека да разгледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с една цифра. Преместваме запетаята надясно с една цифра и получаваме 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят 0,01 има две нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да се добави още една нула в края. В резултат на това получаваме 630

Нека опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци