Сбор на числата от 1 до 5. Занимателна математика: Правило на Гаус

Съдържание:

Целите числа са числа, които не съдържат дробна или десетична част. Ако задачата изисква добавяне на определен брой цели числа от 1 до дадена стойност N, тогава не е необходимо те да се добавят ръчно. Вместо това използвайте формулата (N(N+1))/2, където N е най-голямото число в серията.

стъпки

1. 1 Определете най-голямото цяло число (N).Като сумирате целите числа от 1 до всяко дадено число N, трябва да определите стойността на N (N не може да бъде десетично число, дроб или отрицателно число).
   • Пример. Намерете сумата на всички цели числа от 1 до 100. В този случай N=100, тъй като това е най-голямото (и крайно) число от дадената ви числова серия.
2. 2 Умножете N по (N + 1) и разделете на 2.Когато определите целочислената стойност N, заместете я във формулата (N(N+1))/2 и ще намерите сумата на всички цели числа от 1 до N.
   • Пример. Заместете N=100 и вземете (100(100+1))/2.
3. 3 Запишете отговора.Крайният отговор е сумата от всички числа от 1 до даденото N.
   • Пример.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Сумата от всички числа от 1 до 100 е 5050.
4. 4 Извеждане на формулата (N(N+1))/2.Разгледайте горния пример отново. Мислено разделете реда 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два реда - първият от 1 до 50, а вторият от 51 до 100. Ако добавите първото число (1) от първото ред и последното число (100) от втория ред, получавате 101. Получавате също 101, ако съберете 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т.н. Ако всяко число от първата група се добави към съответното число от втората група, тогава в крайна сметка получаваме 50 числа, всяко от които е равно на 101. Следователно 50 * 101 \u003d 5050 е сумата от числа от 1 до 100. Обърнете внимание, че 50 \u003d 100/2 и 101 = 100 + 1. Всъщност това е вярно за сумата от всички положителни цели числа: тяхното сумиране може да бъде разделено на два етапа с два реда числа и съответните числа във всеки ред могат да се добавят един към друг и резултатът от добавянето ще бъде същият.
   • Можем да кажем, че сумата от цели числа от 1 до N е (N/2)(N+1). Опростена версия на тази формула е формулата (N(N+1))/2.

Изчисляване на сумата от числа, разположени между две числа, като се използва сумата от 1 до N

1. 1 Определете опцията за сумиране (включително или не).Често в задачите, вместо да намерят сумата на числата от 1 до дадено число N, от тях се иска да намерят сумата на цели числа от N 1 ​​до N 2, където N 2 > N 1 и двете числа > 1. Изчисляването на такова сума е доста проста, но преди Преди да продължите с изчисленията, трябва да определите дали дадените числа в N 1 и N 2 са включени в крайната сума или не.
2. 2 За да намерите сумата от цели числа между две числа N 1 и N 2 , поотделно намерете сумата до N 1 , отделно намерете сумата до N 2 и ги извадете едно от друго (извадете сумата до по-малкото N от сумирайте до по-голямото N). В този случай е важно да знаете дали да обобщите включително или не. При сумиране включително трябва да извадите 1 от дадената стойност N 1 ​​; в противен случай трябва да извадите 1 от дадената стойност N 2 .
   • Пример. Намерете сумата („включително“) на цели числа от N 1 ​​= 75 до N 2 = 100. С други думи, трябва да намерим 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. За да решим задачата, трябва да намерим сумата от цели числа от 1 до N 1 -1 и след това я извадете от сумата на числата от 1 до N 2 (помнете: когато сумираме включително, изваждаме 1 от N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Сборът на числата от 75 до 100 ("включително") е 2275.
   • Сега нека намерим сбора на числата, без да включваме дадените числа (с други думи, трябва да намерим 76 + 77 + ... + 99). В този случай изваждаме 1 от N 2:
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 \u003d 2100. Сумата от числата от 75 до 100 (без да се включват тези числа) е 2100.
3. 3 Разберете процеса.Представете си сумата от цели числа от 1 до 100 като 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 и сумата от цели числа от 1 до 75 като 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Сборът на целите числа от 75 до 100 ("включително") е изчислението: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сборът на числата от 1 до 75 и сборът на числата от 1 до 100 са равни на числото 75, но сборът на числата от 1 до 100 след числото 75 продължава: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. По този начин, изваждането на сбора на числата от 1 до 75 от сумата на числата от 1 до 100, „изолираме“ сумата от цели числа от 75 до 100.
   • Ако сумираме включително, трябва да използваме сумата от 1 до 74, а не сумата от 1 до 75, за да включим числото 75 в крайната сума.
   • По същия начин, ако сумираме без да включваме тези числа, трябва да използваме сумата от 1 до 99, а не сумата от 1 до 100, за да изключим числото 100 от крайната сума. Можем да използваме сбора от 1 до 75, тъй като изваждането му от сбора от 1 до 99 елиминира числото 75 от крайния сбор.

• Резултатът от изчисляването на сумата винаги е цяло число, тъй като N или N + 1 е четно число, което се дели на 2 без остатък.
• Сума = Сума - Сума.
• С други думи: Сума = n(n+1)/2

Предупреждения

• Въпреки че не е много трудно този метод да се разшири до отрицателни числа, тази статия разглежда само всички положителни числа N, където N е по-голямо или равно на 1.

помогнете ми моля!! пресметнете сбора на естествените числа от 1+2+3+4+...+97+98+99+100. и получи най-добрия отговор

Отговор от Александър Хейнонен [гуру]
Изключителният немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855) е наричан от своите съвременници "кралят на математиката".
Още в ранна детска възраст той показва изключителни математически способности. На тригодишна възраст Гаус вече коригира сметките на баща си.
Казват, че в началното училище, където учил Гаус (6-годишен), учителят, за да заеме класа за дълго време със самостоятелна работа, дал задача на учениците - да изчислят сумата от всички естествени числа от 1 до 100. Малкият Гаус отговори почти моментално на въпроса, което невероятно изненада всички и най-вече учителя.
Нека се опитаме да решим устно задачата за намиране на сбора от горните числа. Първо, нека вземем сумата на числата от 1 до 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаус откри, че 1 + 10 = 11 и 2 + 9 = 11 и т.н. Той установи, че при събиране на естествени числа от 1 до 10 се получават 5 такива двойки и че 5 по 11 е равно на 55.
Гаус видя, че добавянето на числата от цялата серия трябва да се извършва по двойки и той направи алгоритъм за бързо добавяне на числа от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо е да преброим броя на двойките числа в редицата от 1 до 100. Получаваме 50 двойки.
2. Добавете първото и последното число от цялата последователност. В нашия случай това са 1 и 100. Получаваме 101.
3. Умножаваме броя на двойките числа в последователността по сумата, получена в параграф 2. Получаваме 5050.
Така сумата от естествените числа от 1 до 100 е 5050.
Проста формула: сбор от числа от 1 до n = n * (n+1) : 2. Заменете n с последното число и изчислете.
Виж това! Работи!

Отговор от Яня Фертикова[новак]
5050

Отговор от Михаил Медведев[активен]
5050

Отговор от Павел Соломенников[новак]
5050

Отговор от Алевтина башкова[новак]
5050

Отговор от Ђигр Тихомирова[активен]
5050

Отговор от Мария Дубровина[новак]
5050

Отговор от Аавил Бадиров[новак]
5050

Отговор от Дмитрий[активен]
5050

Отговор от Евгений Саяпов[активен]
5050

Отговор от 2 отговора[гуру]

Цикълът "Занимателна математика" е посветен на децата, които обичат математиката и родителите, които отделят време за развитието на своите деца, "подхвърляйки" ги с интересни и занимателни задачи, пъзели.

Първата статия от тази серия е посветена на правилото на Гаус.

Малко история

Известният немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855) се отличава от връстниците си от ранна детска възраст. Въпреки факта, че е от бедно семейство, той се научи да чете, пише и брои доста рано. В биографията му дори се споменава, че на 4-5 години той успява да коригира грешката в неправилните изчисления на баща си, просто като го наблюдава.

Едно от първите му открития е направено на 6-годишна възраст в урок по математика. Учителят трябваше да увлече децата за дълго време и предложи следния проблем:

Намерете сбора на всички естествени числа от 1 до 100.

Младият Гаус се справи с тази задача доста бързо, след като намери интересен модел, който стана широко разпространен и все още се използва в умственото броене.

Нека се опитаме да решим тази задача устно. Но първо, нека вземем числата от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Погледнете внимателно тази сума и се опитайте да отгатнете какво е необичайно за Гаус? За да отговорите, трябва да имате добра представа за състава на числата.

Гаус групира числата, както следва:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Така малкият Карл получи 5 двойки числа, всяка от които поотделно дава общо 11. След това, за да изчислите сбора на естествените числа от 1 до 10, трябва

Да се ​​върнем към първоначалния проблем. Гаус забеляза, че преди сумирането е необходимо да се групират числата по двойки и по този начин изобрети алгоритъм, благодарение на който можете бързо да добавяте числа от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Намерете броя на двойките в редица от естествени числа. В този случай има 50.

Сумирайте първото и последното число от тази серия. В нашия пример това са 1 и 100. Получаваме 101.

Умножаваме получената сума на първия и последния член на серията по броя на двойките на тази серия. Получаваме 101 * 50 = 5050

Следователно сборът на естествените числа от 1 до 100 е 5050.

Задачи за използване на правилото на Гаус

А сега вашето внимание е поканено на задачи, в които правилото на Гаус се използва в една или друга степен. Тези пъзели са напълно способни да бъдат разбрани и решени от четвъртокласник.

Можете да дадете на детето възможност да разсъждава за себе си, така че той сам да „изобрети“ това правило. И можете да го разглобите и да видите как той може да го използва. Сред задачите по-долу има примери, в които трябва да разберете как да модифицирате правилото на Гаус, за да го приложите към дадена последователност.

Във всеки случай, за да може детето да работи с това в своите изчисления, е необходимо да разбере алгоритъма на Гаус, тоест способността да се разделя правилно на двойки и да брои.

важно!Ако една формула се запомни без разбиране, тогава тя ще бъде забравена много бързо.

Задача 1

Намерете сбора на числата:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Отначало можете да дадете на детето възможност да реши първия пример сам и да предложите да намери начин, по който е лесно да го направите наум. След това анализирайте този пример с детето и покажете как го е направил Гаус. За по-голяма яснота е най-добре да запишете поредица и да свържете двойки числа с редове, които дават едно и също число. Важно е детето да разбере как се образуват двойки - вземаме най-малкото и най-голямото от останалите числа, при условие че броят на числата в редицата е четен.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача2

Има 9 теглилки с тегло 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Могат ли тези тежести да бъдат разделени на три купчини с еднакво тегло?

Решение.

Използвайки правилото на Гаус, намираме сумата от всички тегла:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

И така, ако можем да групираме тежестите, така че всяка купчина да съдържа тежести с общо тегло 15 g, тогава проблемът е решен.

Един от вариантите:

• 9g, 6g
• 8g, 7g
• 5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Намерете други възможни варианти сами с детето си.

Обърнете внимание на детето, че когато се решават такива задачи, е по-добре винаги да започва групирането с по-голямо тегло (номер).

Задача 3

Възможно ли е циферблатът на часовника да се раздели на две части с права линия, така че сумите на числата във всяка част да са равни?

Решение.

Като начало приложете правилото на Гаус към редицата от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 2:

Така че можете да споделите. Сега да видим как.

Затова е необходимо да начертаете линия на циферблата, така че 3 чифта да попаднат в едната половина, а три в другата.

Отговор: линията ще минава между числата 3 и 4, а след това между числата 9 и 10.

Задача4

Възможно ли е да начертаете две прави линии върху циферблата на часовника, така че сборът на числата във всяка част да е еднакъв?

Решение.

Като начало прилагаме правилото на Гаус към редицата от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 се дели на 3 без остатък, така че можете да разделите. Сега да видим как.

Според правилото на Гаус получаваме 6 двойки числа, всяка от които дава 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Затова е необходимо да начертаете линии на циферблата, така че 2 чифта да попаднат във всяка част.

Отговор: първият ред ще премине между числата 2 и 3, а след това между числата 10 и 11; вторият ред е между числата 4 и 5, а след това между 8 и 9.

Задача 5

Ято птици лети. Напред е една птица (водач), следвана от две, след това три, четири и т.н. Колко птици има в ятото, ако има 20 от тях на последния ред?

Решение.

Получаваме, че трябва да съберем числа от 1 до 20. И за да изчислим такава сума, можем да приложим правилото на Гаус:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как да поставим 45 заека в 9 клетки, така че всички клетки да имат различен брой зайци?

Решение.

Ако детето е решило и разбрало с разбиране примерите от задача 1, то веднага се запомня, че 45 е сумата от числата от 1 до 9. Затова поставяме зайците така:

• първа клетка - 1,
• второ - 2,
• трети - 3,
• осми - 8,
• девети - 9.

Но ако детето не може да го разбере веднага, опитайте се да му дадете идеята, че подобни проблеми могат да бъдат решени с груба сила и трябва да започнете с минималния брой.

Задача 7

Изчислете сумата, като използвате трика на Гаус:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Има комплект от 12 теглилки с тегло 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. От комплекта бяха извадени 4 тежести, чиято обща маса е равна на една трета от общата маса на целия комплект тежести. Могат ли останалите тежести да се поставят на две везни, по 4 броя на всяка, така че да са в равновесие?

Решение.

Прилагаме правилото на Гаус, за да намерим общата маса на тежестите:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Изчисляваме масата на премахнатите тежести:

Следователно останалите тежести (с обща маса 78-26 \u003d 52 g) трябва да бъдат поставени по 26 g върху всяка везна, така че да са в баланс.

Не знаем кои тежести са премахнати, така че трябва да разгледаме всички възможни варианти.

Прилагайки правилото на Гаус, можете да разделите тежестите на 6 двойки с еднакво тегло (13g всяка):

1g и 12g, 2g и 11g, 3g и 10, 4g и 9g, 5g и 8g, 6g и 7g.

Тогава най-добрият вариант е при премахване на 4 тежести, два чифта от горните ще бъдат премахнати. В този случай ще ни останат 4 двойки: 2 двойки на една скала и 2 двойки на друга.

Най-лошият случай е, когато 4 премахнати тежести ще счупят 4 чифта. Ще имаме 2 неразрушени чифта с общо тегло 26 g, което означава, че ги поставяме на една везна, а останалите тежести могат да бъдат поставени на друга везна и те също ще бъдат 26 g.

Успех в развитието на вашите деца.