Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора

Считаются одной из важных вех в истории человеческой мысли. Теория множеств , которую он создал, является краеугольным камнем современной математики.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге, куда незадолго до его рождения эмигрировал его отец, богатый датский коммерсант. Из-за болезни легких его отцу в 1856 году пришлось эмигрировать снова, на этот раз во Франкфурт. Именно там Георг учился в нескольких частных школах. В возрасте 15 лет его приняли в училище в Висбадене.

Кантор рано проявил жаркий интерес к математике . В 1862 году он начал изучать математику наряду с философией и физикой в Берлинском университете.

Там его учителями были Леопольд Кронекер (1823-1891), Эрнст Куммер (1810-1893) и Карл Вейерштрасс (1815-1897). Последний оказал на него наибольшее влияние, а Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал самым жестким критиком идей Кантора. В 1867 году Кантор получил степень доктора, а два года спустя - должность в Университете Галле, достаточно важном образовательном центре страны, который все же не входил в число наиболее престижных в Германии. Он начал работу в должности внештатного профессора, что означало, что его жалование зависело от числа студентов в классах. Лишь в 1879 году он получил должность полного профессора.

В 29 лет Кантор женился на Валли Гуттман и опубликовал свою первую работу о теории множеств в «Журнале чистой и прикладной математики», основанном Августом Креллем. В этой работе он доказал удивительный факт: несмотря на то, что множество рациональных чисел является плотным на прямой, оно является счетным, то есть число элементов в нем не превышает количество натуральных чисел. Он также доказал (окончательно оформив доказательство в 1891 году), что в этом отношении вещественные числа являются особыми, поскольку между множеством вещественных и множеством натуральных чисел нельзя установить взаимно однозначного соответствия. Это была первая попытка штурма крепости под названием «бесконечность».

1877 год также стал очень важным для Кантора: именно тогда он доказал, что, вопреки распространенному мнению, между прямой и плоскостью можно установить взаимно однозначное соответствие . Как и в 1874 году, эту статью Кантор также отправил в Журнал Крелля.

Статья встретила непреклонный отпор Кронекера, одного из редакторов журнала, которому удалось отложить публикацию до следующего года. Кронекер был убежденным противником бесконечности и признавал ее только как стенографическую запись многократно повторяемых процессов. Кантор же, напротив, изучал мир, полный истинных бесконечностей, и всякий раз рассматривал бесконечности все более сложной структуры, к примеру, трансфинитные числа , над которыми он непрерывно работал в зрелые годы.

Все указывает на то, что Кантор страдал от заболевания, которое сейчас именуют маниакально-депрессивным синдромом - болезнью эндогенного характера, при которой фазы эйфории сменяются депрессией.

Последние 20 лет жизни Кантор периодически лечился в психиатрических клиниках, куда он обращался по собственному желанию. Это не мешало ему продолжать работу и публиковать свои теории в промежутках между курсами лечения. В последний раз он был помещен в клинику в 1917 году - единственный раз против своей воли. В письмах Кантор жаловался на холод, одиночество и скудное питание. Несмотря на то, что к тому моменту его теории уже получили широкое признание научного сообщества , 6 января 1918 года он умер в одиночестве и в поистине удручающих условиях.

КАНТОР Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв. Окончил Университет Берлина (1867), профессор Университета Халле (1879-1913). Главный труд: "Основы общего учения о многообразиях" (1902). Исследования К., инициированные необходимостью решения насущных проблем теории бесконечных рядов Фурье, стали основой для дальнейших фундаментальных исследований в направлении теории числовых множеств, где им были введены: общее определение множества, трансфинитные числа, общее понятие "мощность множества" (как количество элементов множества), мощности различных трансфинитных множеств. Под множеством К. понимал "...вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...". Основополагающим в понятии множества является акт объединения различных объектов в единое целое, определяемое как множество. Элементами множеств могут быть любые объекты реальной дейсвительности, человеческой интуиции или интеллекта. Наличие в определении К. словосочетания "...совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона..." полностью определяет множество его элементами или законом (характеристическими признаками, свойствами), согласно которому происходит акт объединения различных объектов в единое целое - множество. Поэтому фундаментальным понятием теории множеств является не само понятие множества, а отношение принадлежности объектов множеству. К Аристотелю восходит традиция разделения бесконечности на актуальную и потенциальную: "Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует" (Аристотель, "Физика"). Эта традиция продолжалась Декартом ("Бесконечность распознаваема, но не познаваема") и даже во времена К.Гаусса ("В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность - не более чем facon de parle /манера выражаться - С.С /, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают"). К., как писал М.Клайн, отошел от давней традиции "уже тем, что рассматривал бесконечные множества как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму". Резко расходясь со своими коллегами-математиками во взглядах на математическую бесконечность, К. мотивировал необходимость введения актуально бесконечных множеств тем, что "потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности". Классическим примером актуально бесконечного множества по К. являются десятичные разложения иррациональных чисел, т.к. каждый "конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу". К 1873 относится начало исследований К. по классификации актуально бесконечных множеств. Немного позднее К. определил бесконечное множество как множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с его собственным подмножеством (т.е. отличным от всего множества). Одним из следствий такого подхода стала, например, возможность установления взаимно однозначного соответствия между точками прямой линии и точками многообразия любой размерности. Основываясь на собственном определении бесконечных множеств, К. смог установить для каждой пары из них отношение эквивалентности (равномощности). В 1874 К. доказал несчетность множества всех действительных чисел, установив при этом существование пар бесконечных множеств, имеющих различные мощности (неэквивалентных множеств). Систематически основы своей теории математической бесконечности К. изложил в 1879-1884. Основанием иерархии бесконечностей К. стала доказанная в первой половине 1890-х широко известная теорема К.-Бернштейна: "если два множества А и В таковы, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и подмножеством множества В и между множеством В и подмножеством множества А, то возможно установить также и взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В", т.е. установить равномощность (эквивалентность) множеств А и В. При этом, К. определял, что если множество А возможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством В, а множество В невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством А, то множество В по определению больше множества А. По мнению М.Клайна, такое определение обобщает на случай бесконечных множеств то, что "непосредственно очевидно в случае конечных множеств". Следуя данному подходу, К. доказал, что для любого "заданного множества всегда найдется множество, большее исходного" (например, множество всех подмножеств данного множества больше первоначального множества). То, что между двумя мощностями возможно установление отношений "равенство", "больше" и "меньше", дало К. основание назвать "числами" символы обозначения мощностей бесконечных множеств (для конечных множеств символы обозначения их мощности суть числа натурального ряда, определяющие количество элементов в каждом из эквивалентных конечных множеств). В отличие от чисел натурального ряда [ординальных чисел /от нем. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - числительные порядковые - C.C.I, К. назвал кардинальными числами (от нем. Die Kardinalzahl - числительные количественные)] "числа" обозначения мощности бесконечных множеств. К. считал, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами, т.к. об "актуальном бесконечном также возможно доказательное знание". Если понятие мощности было расширенным понятием "количество" для бесконечных множеств, то понятие кардинального числа стало расширенным обобщением понятия "числа вообще". Расширение К. понятия "числа" в область Бесконечного ознаменовало переход математики на качественно новый уровень мышления. Фактически, мощность множеств по К. отражает в сознании человека-исследователя определенные отношения множеств, т.е. мощность множеств по К. - это наиболее общая характеристика эквивалентных бесконечных множеств. Больцано еще в начале 19 в. пришел к понятию взаимно однозначного соответствия между множествами (а, следовательно, и к понятию мощностей множеств и выражению их кардинальными числами). Однако под "количеством" до середины 19 в. понималась величина. А так как каждую величину посредством избранной единицы измерения возможно выразить числом, то представление о количестве ассоциировалось с понятием числа. Поэтом Больцано был вынужден отступить перед серьезными затруднениями, вытекавшими из понятия "количество". Математика того времени вообще определялась как наука , исследующая зависимости между величинами и выражающими их числами. Однако, как пишет В.А.Волков, "как бы ни были важны различные виды величин и зависимости между ними для практических приложений математики, они охватывают далеко не все богатства различных количественных отношений и пространственных форм действительного мира". К. также было введено в математику понятие "предельная точка производного множества", построен пример совершенного множества ("множество К."), сформулирована одна из аксиом непрерывности ("аксиома К."). Следствия из теории К. выявили противоречия в достаточно серьезно изученных областях оснований математики. Эти противоречия лидеры математики того времени назвали парадоксами (антиномиями) по одной той причине, что парадокс "может быть объяснен, а математиков не покидала надежда, что все встретившиеся трудности им в конце концов удастся разрешить". Теорию математической бесконечности К., в отличие от большинства ведущих математиков того времени, поддерживали Рассел и Гильберт. Рассел, считая К. одним из великих мыслителей 19 в., писал в 1910, что решение К. проблем, "издавна окутывающих тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век /20 в. - С.С./". Гильберту в 1926 представлялось, что теория К. - это "самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления". А Э.Борель и А.Лебег уже в самом начале 20 в. обобщили понятие интеграла и развивали теории меры и измерений, в основании которых лежала теория К. К 1897 К. был вынужден прекратить активные математические исследования вследствие резкого сопротивления его идеям (в частности, со стороны Л.Кронекера, называвшего К. шарлатаном), выдвинув так называемый "закон сохранения невежества": "нелегко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причем, чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются". К. всегда разделял философские идеи Платона и верил в то, что в окружающем нас Мире "идеи существуют независимо от человека. И чтобы осознать реальность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними". К., будучи в соответствии с давней религиозной традицией своей семьи ревностным лютеранином, в своих высказываниях часто применял и теологическую аргументацию. Особенно это проявилось после отхода его от занятий математикой.

История Философии: Энциклопедия. - Минск: Книжный Дом . А. А. Грицанов, Т. Г. Румянцева, М. А. Можейко . 2002 .

Смотреть что такое "КАНТОР Георг (1845-1918)" в других словарях:

Кантор, Георг - КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы так называемой теории множеств совокупностей объектов произвольной природы, рассматриваемых как одно целое. Идеи Кантора оказали большое влияние на развитие математики. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

- (Cantor) (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей большое влияние на развитие математики. * * * КАНТОР Георг КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей… … Энциклопедический словарь

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств .

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое» .

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества . Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.

Давид Гильберт

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (3 марта 1845 - 6 января 1918) - выдающийся немецкий математик, известный как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Созданная Кантором теория множеств (некоторые ее идеи встречались у его предшественников, в частности сравнительно подробно разработаны Б. Больцано) не только лежит ныне в основе математического анализа, но и послужила причиной общего пересмотра логических основ математики и оказала влияние на всю современную структуру математики.

Кантор родился в Петербурге. Отец его Георг Вольдемар Кантор был родом из Копенгагена. Он прибыл в Петербург в молодости и держал там маклерскую контору под собственным именем. Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына.

Георг Кантор, одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился. Он посещал некоторое время гимназию в Висбадене, а также частные школы во Франкфурте на Майне. Затем поступил, весной 1859 года, в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, оттуда он перешел в 1860 году на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности.

С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 года и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам:

Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..

Осенью 1862 года Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 года он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронекера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 года провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам.

В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел. Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 года приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−1872 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии.

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн. У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично. В дальнейшем Кантор постоянно выражал почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда.

В 1869 году Кантор стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Работы Кантора представляют большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Некоторые христианские богословы увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное».

К сорока годам у Кантора начинаются проблемы с пснхикой. Первый известный приступ депрессии он испытал в 1884 году. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. Сейчас я не могу абсолютно ничего делать с ней, и ограничил себя лишь самым необходимым занятием - чтением лекций; насколько бы я был счастливее быть активнее в научном плане, если бы только у меня была необходимая свежесть мыслей.

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон. Результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в 1896 и 1897 годах.

Через некоторое время Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, именно защищая теорию Кантора от критики, Давид Гильберт смело заявил:

Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году. В то время его репутация была достаточно сильна, несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Более широкий план Кантора − основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением Международных математических конгрессов.

Более сорока лет Кантор занимался преподавательской деятельностью в университете Галле; выдающемся преимуществом его лекций была строгость и четкость в определении понятий. Изложение, по рассказам его учеников, было ясным и упорядоченным, но в то же время оживленным и возбуждающим интерес. В человеческом отношении Кантор был верным и отзывчивым другом своих слушателей; дом его всегда был открыт для них, как и для многих студентов других специальностей, привлекая их интимной атмосферой, музыкой и возбуждающей, юношески свежей общительностью; значительную роль в этом играла его любезная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость. В частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый, обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет в нем дружески расположенного слушателя и советчика.

Кантор завершил свои математические публикации в 1897 году, но продолжал преподавательскую работу. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Международное празднование семидесятилетия Кантора было намечено на 1915 год, но не могло состояться из-за войны; все же многие немецкие математики явились в Галле воздать ему честь. Тогда же был заложен мраморный бюст Кантора, с 1928 года стоящий в вестибюле университета Галле. Его золотой докторский юбилей не мог быть публично отмечен, вследствие состояния его здоровья.

В честь математика Немецкое математическое общество учредило Медаль Кантора.

Имя Кантора носят следующие математические объекты:

• канторово множество
• функция Кантора
• теорема Кантора
• теорема Кантора-Бернштейна
• теорема Кантора-Гейне
• аксиома Кантора
• антиномия Кантора.

По материалам статьи Адольфа Френкеля «Жизнь Георга Кантора».

Происхождение и образование

В философии математики анализировал проблему бесконечности . Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Георг Кантор настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, он в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии. Некоторые христианские богословы, преимущественно представители неотомизма, увидели в трудах Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.

В вопросе существования в математике различал интрасубъективную (имманентную, то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную (транзистентную, то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Георг Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем.

Возражения философского плана идеям Кантора высказал Людвиг Витгенштейн .

Последние годы

В 1897 году научная деятельность Кантора прервалась из-за тяжёлой болезни. Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца его дней приступы депрессии некоторое время ставили в вину современникам Кантора, занявшим слишком агрессивную позицию, эти приступы, как считают, были проявлением биполярного расстройства и маниакально-депрессивного психоза.

Был женат на Валли Гутман, с которой имел шестеро детей, последний из которых родился в 1886 году . Несмотря на скромное академическое жалование, математик оказался в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству.

Умер 6 января 1918 года в Галле (Заале).

Его именем был ударный кратер на обратной стороне Луны.