Биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение и распределение паскаля.

Геометрическое распределение выражается следующим образом:

Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равнымq =1- p . Действительно

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событиеА имеет вероятностьp , тогда число опытовX до первого появления событияА как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первыхn -1 опытах событиеА не произойдет, равна(1- p ) n -1 .А вероятность появления его приn -ом испытании равнаp . Отсюда получаем вероятность реализации такой серии событий равна
.

Математическое ожидание

Дисперсия

5.5.Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина X , принимающая значения x m = m , где

m =0,1,…, n , имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой:

число сочетаний из n поm , а параметрp имеет смысл вероятности, то есть
.

Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие А имеет вероятностьp и опыт повторяетсяn раз, то вероятность того, что это событие произойдетm раз, рана
. Действительно, конкретная реализацияn испытаний, в которых событиеA произошлоm раз, а противоположное событиесоответственноn - m раз, имеет вероятность
. Ноm событий средиn испытаний могут распределитьсяравновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1).

так как q =1- p а
. Выражение
является членом разложения бинома Ньютона(p + q ) n , поэтому это распределение называется биномиальным.

Математическое ожидание

Дисперсия

Квадратичное отклонение

. (5.5.4)

Если n устремить к бесконечности и одновременноp к нулю так, чтобы выполнялось соотношение

где а положительная константа, то в пределе

а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при
и
биномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.

5.6.Распределение Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х , которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …

Говорят, что случайная величина Х распределена позакону Пуассона , если вероятность того, что она примет определённое значениеm , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемаяпараметром распределения Пуассона .

Ряд распределения по закону Пуассона:

Убедимся, что суммарная вероятность равна единице.

Но

Следовательно

Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.

Вычислим вероятность того, что Х окажется больше 0:

Математическое ожидание

Т.е. параметр а - есть математическое ожидание.

Дисперсия

Но

Следовательно
.

Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона.

Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Ох случайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям:

Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок l зависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднем точек.

Точки распределяются независимо.

Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше).

Выделим на оси отрезок длиной l и рассмотрим дискретную случайную величинуХ – число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значенияХ : 0, 1, 2, …,m , …

Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок l попадётm точек.

На участок  х попадёт х точек. Это математическое ожидание. Поскольку участок х мал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало и х есть вероятность попадания одной точки на участок х .

Пусть существует число n , такое, что
. Тогда вероятность попадания в один отрезок равна
. А вероятность попадания вm отрезков равна

Обозначим
, тогда

Что и требовалось доказать.

Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр а равен
, то для плоского случая
(здесьS - площадь области), а для объёмного
(V – объём области).

Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Причём параметр
.

Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Если подставить
, то получим

что уже было доказано. При большом n приближённо вероятность можно считать:

Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.

дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, ... в соответствии с формулой

где 0<р<1 и целое r>0 - параметры.

Производящая функция и характеристич. функция П. р. равны соответственно

Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p 2 .

П. р. с параметрами r и рвозникает естественным образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" ри вероятностью "неудачи" q=1-ркак распределение числа "неудач" до наступления r-го "успеха". При r=1 П. р. совпадает с геометрическим распределением с параметром р, а при r>1 - с распределением суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковое геометрич. распределение с параметром р. В соответствии с этим сумма независимых случайных величин X 1 ,...,X п, имеющих П. р. с параметрами ри r 1 ,...,r п соответственно, имеет П. р. с параметрами р и r 1 +.. .+-r n .

Функция распределения П. р. при k=0 ,1,2,... задается формулой

где в правой части стоит значение функции бета-распределения в точке p(B(r, k +l) - бета-функция). Используя это соотношение, можно доопределить F(k).для всех действительных r>0. В таком обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным распределением.

Лит. : Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

"ПАСКАЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах

5. «Светская жизнь» Паскаля

Из книги Блез Паскаль автора Стрельцова Галина Яковлевна

5. «Светская жизнь» Паскаля Врачи не раз советовали Блезу отвлекаться от научных занятий и отдавать дань своей молодости, уделяя внимание тем развлечениям, которые подобают его возрасту. Еще в Руане Паскаль изредка посещал светские салоны, приобрел немногих друзей,

Философия Паскаля

Из книги Блез Паскаль. Его жизнь, научная и философская деятельность автора Филиппов Михаил Михайлович

Философия Паскаля Паскаль не оставил после себя ни одного цельного философского трактата, тем не менее в истории философии он занимает вполне определенное место. Его миросозерцание, кажется, всего точнее может быть определено как христианский скептицизм. В истории

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ

Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр Александрович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного

II. ЖИЗНЬ ПАСКАЛЯ

Из книги Паскаль автора Мережковский Дмитрий Сергеевич

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана

Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их

Паскаля закон

БСЭ

Паскаля теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Паскаля треугольник

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Паскаля улитка

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Закон Паскаля

Из книги Универсальный энциклопедический справочник автора Исаева Е. Л.

Закон Паскаля Основной закон гидростатики: давление, производимое внешними силами на поверхность жидкости или газа, передается одинаково по всем

Улитка паскаля

Из книги Большая Советская Энциклопедия (УЛ) автора БСЭ

Структура Паскаля

Из книги Давайте создадим компилятор! автора Креншоу Джек

СФЕРА ПАСКАЛЯ **

Из книги Проза разных лет автора Борхес Хорхе

СФЕРА ПАСКАЛЯ ** Быть может, всемирная история - это история нескольких метафор. Цель моего очерка - сделать набросок одной главы такой истории.За шесть веков до христианской эры рапсод Ксенофан Колофонский, устав от гомерических стихов, которые он пел, переходя из

"Мысли" Паскаля

Из книги Избранное. Том I-II. Религия, культура, литература автора Элиот Томас Стернз

"Мысли" Паскаля Может показаться, что о Блезе Паскале и о тех двух сочинениях, на которых основана его слава, сказано все, что следует сказать. Подробности его жизни известны с той полнотой, на какую только можно надеяться; его открытия в математике и физике многократно

Треугольник Паскаля

Из книги Невероятно - не факт автора Китайгородский Александр Исаакович

Треугольник Паскаля Однажды я медленно шёл по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настойчиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивился, что игорный дом работает среди бела дня, – это не

дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, ... в соответствии с формулой где 0<р<1 и целое r>0 - параметры. Производящая функция и характеристич. функция П. р. равны соответственно и Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p2. П. р. с параметрами r и рвозникает естественным образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" ри вероятностью "неудачи" q=1-ркак распределение числа "неудач" до наступления r-го "успеха". При r=1 П. р. совпадает с геометрическим распределением с параметром р, а при r>1 - с распределением суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковое геометрич. распределение с параметром р. В соответствии с этим сумма независимых случайных величин X1,...,X п, имеющих П. р. с параметрами ри r1,...,r п соответственно, имеет П. р. с параметрами р и r1+...+-rn. Функция распределения П. р. при k=0,1,2,... задается формулой где в правой части стоит значение функции бета-распределения в точке p(B(r, k+l) - бета-функция). Используя это соотношение, можно доопределить F(k).для всех действительных r>0. В таком обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным распределением. Лит.: Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967. А. В. Прохоров.

Смотреть значение Паскаля Распределение в других словарях

Распределение — распределения, ср. 1. только ед. Действие по глаг. распределить-распределять. доходов. продуктов. работы. 2. только ед. Расположение по времени или последовательности.........
Толковый словарь Ушакова

Распределение Ср. — 1. Процесс действия по знач. глаг.: распределять, распределить. 2. Расположение по времени или последовательности. 3. Процесс раздела, определяемый производственными отношениями.
Толковый словарь Ефремовой

Асимметричное Распределение, Разброс — Распределение вероятностей, при котором выше и ниже среднего значения находится неравное количество наблюдений.
Экономический словарь

Временной Спред, Распределение По Времени — Стратегия в операциях с опционами (option), при которой инвестор приобретает и продает опционные контракты "пут" (put option) и "колл" (call option) с одной и той же ценой исполнения........
Экономический словарь

Вторичное Распределение Ценных Бумаг — - торговля ценными бумагами их первым держателем.
Экономический словарь

Выделение, Распределение, Передача, Назначение — Число акций, выделенное каждому участнику инвестиционного банковского синдиката (syndicate), образованного для размещения нового займа. Участников такого займа называют........
Экономический словарь

Горизонтальное Распределение Труда — - разделение работы в организации на составляющие компоненты.
Экономический словарь

Динамичное Распределение Активов — Стратегия распределения активов, предполагающая механическое изменение структуры активов в ответ на изменение рыночных условий. Данная стратегия близка к стратегии страхования портфеля.
Экономический словарь

Интенсивное Распределение — -
обеспечение наличия запасов
товара в возможно большем числе торговых предприятий.
Экономический словарь

Календарное Распределение Опционов, Календарный Спред — Стратегия в операциях с опционами, которая позволяет приобрести два опциона на одни и те же ценные бумаги, но с различными сроками исполнения. Если цена исполнения (exercise........
Экономический словарь

Ликвидационное Распределение — В правовом регулировании: порядок приоритетных выплат оставшейся суммы активов страховщика, объявленного неплатежеспособным, ликвидация которого производится в........
Экономический словарь

Нормальное Распределение — NORMAL DISTRIBUTIONКуполообразная кривая, отражающая симметричное вероятностное распределение непрерывной случайной переменной. Распределение характеризуется средней величиной........
Экономический словарь

Нормальное Распределение Вероятностей — Распределение вероятностей для постоянной случайной переменной, формирующее симметричную колоколообразную кривую вокруг средней величины.
Экономический словарь

Нормальное Распределение Вероятностей (normal Probability Distribution) — симметричное колоколообразное распределение, полностью описываемое математическим ожиданием и дисперсией.
Экономический словарь

Ограничение На Распределение Активов — Соглашение об эмиссии облигаций, каким-либо образом ограничивающее возможности компании по продаже крупных активов.
Экономический словарь

Постатейное Распределение Средств — APPORTIONMENTПри управлении имуществом и трастом - распределение поступлений и расходов между основной суммой и статьями дохода. Предмет является настолько важным, что привел........
Экономический словарь

Распределение — -я; ср.
1. к Распредели́ть - распределя́ть и Распредели́ться - распределя́ться. Р. доходов. Р. работы между сотрудниками. Р. людей по машинам. Р. химических элементов в........
Толковый словарь Кузнецова

Пропорциональное Распределение (proration, Apportionment) — 1.
Начисление косвенных затрат на несколько объектов
учета затрат, которые предположительно являются их носителями. В более общем
смысле -
разделение........
Экономический словарь

Размещение, Распределение Активов — Распределение средств инвестиционных фондов между различными категориями активов, такими, как эквиваленты наличных средств (cash equivalents), акции (stocks), вложения с фиксированным........
Экономический словарь

Распределение — -
процесс определения количественных пропорций, доли, которой участники хозяйственной деятельности участвуют в произведенном
продукте
Экономический словарь

Распределение (allocation) — 1. Разнесение (распределение) затрат, которые невозможно отнести напрямую к объектам учета затрат

2. Разнесение статьи или группы статей затрат на один или несколько........
Экономический словарь

Распределение Валютного Риска — Соглашение, заключаемое участниками
сделки, согласно которому стороны разделяют
валютный риск, связанный со сделкой. Данное
соглашение предполагает, что........
Экономический словарь

Распределение Вероятностей (probability Distribution) — описание частот возможных значений, принимаемых случайной величиной.
Экономический словарь

Распределение Вероятности — Также называется
вероятностная функция: функция, описывающая все значения, которые может принимать случайная
переменная, и
вероятность, связанную с каждой их них.
Экономический словарь

Распределение Внутри Домохозяйства — Процессы, посредством которых
ресурсы (в широком понимании – включая
доходы и
потребительские товары,
обязанности, досуг и
инвестиции в человеческий........
Экономический словарь

Распределение Вторичное — операции, связанные с механизмом распределения первичных доходов (прямые
налоги,
дивиденды,
субсидии, социальные выплаты).
Экономический словарь

Распределение Вторичное (secondary Distribution) — Перепродажа ценных бумаг компании после того, как они были проданы первоначально. Вторичное
распределение происходит на фондовой бирже или на внебиржевом рынке.
Экономический словарь

Распределение Вторичное Ценных Бумаг — торговля ценными бумагами их первым держателем.
Экономический словарь

Распределение Доходов — - получение
дохода от
выпуска и реализации товаров и оказания услуг в соответствии с долей основных факторов производства (земли,
капитала,
труда и предпринимательских........
Экономический словарь

Распределение Доходов Между Бюджетами — - разграничение бюджетных ресурсов по отдельным звеньям бюджетной системы страны.
Экономический словарь

Задание 19 () .

Задание 20 () .

Задание 21 () .

Задание 19 (на биномиальное распределение вероятности) .

Пять одинаковых игральных кубиков одновременно бросили наудачу один раз. Какова вероятность того, что при этом одновременно выпадут ровно две единицы?

Решение.

Задание на схему Бернулли (повторных однородных независимых испытаний). Действительно, вместо одновременного бросания наудачу пяти одинаковых игральных кубиков мы можем считать, что мы последовательно друг за другом бросили пять раз подряд один и тот же игральный кубик. Однако вероятностная последняя модель уже изучена и является схемой повторных однородных независимых испытаний (схемой Бернулли) . Действительно, результат каждого бросания кубика не зависит от других бросаний, и вероятность выпадения единицы в каждом бросании постоянна.

Тогда, согласно биномиального распределения вероятности искомая вероятность равна P (A n , m )= p m (1- p ) n - m . Здесь p =1\6 – вероятность выпадения единицы при каждом отдельном бросании кубика. Точнее, P (A 1,1)= p =1\6. В нашем задании n =5 и m =2, поэтому имеем P (A 5,2 )=

= p 2 (1- p ) 5-2 = p 2 (1- p ) 3 =10 (1\6) 2 (1-1\6) 3 =10 (1\6) 2 (5\6) 3 =

10 (1\36) (125\216)= 1250/7776»0,161

P (A ) »0,161.

Задание 20 (на гипергеометрическое распределение вероятности) .

Из непрозрачного ящика (урны) с пятью (M =5) белыми и тремя (N-M =3) черными шарами наудачу без возвращения обратно извлекли три шара. Найти вероятность извлечения при этом двух белых (m =2) и одного черного (n-m =1) шара.

Задание 20 – на урновую схему без возвращения, ибо шары после каждого извлечения из урны не возвращались в нее обратно. Искомая вероятность будет описываться гипергеометрическим распределением вероятности. Обозначим интересующее нас событие через A N , M , n , m .В нашем задании M =5, N-M =3, m =2, n-m =1. Решая эти уравнения, находим N=8, M =5, n =3, m =2. Подставляя это в формулу для гипергеометрического распределения вероятности, имеем P (A N , M , n , m )== / = / = / =10×3/56=30/56= 15/28=0,534.

Ответ: Искомая вероятность равна P (A N , M , n , m )»0,534.

Задание 21 (на распределение Паскаля или на отрицательно биномиальное распределение вероятности) .

Вероятность появления единицы (события А ) в результате бросания наудачу одной игральной кости (в одном опыте) равна р . Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до появления события А ровно m раз, после чего опыты прекращаются. Найти вероятность того, что опыты прекратятся после ровно n +m штук бросаний кости (тогда событие А произойдет ровно m раз и не произойдет ровно n раз), n≥ 0, m≥ 1.