Что означает в математике запись у = f(x) — Гипермаркет знаний.
На данном примере рассмотрим, как оценивается надежность полученного уравнение регрессии. Этот же тест используется для проверки гипотезы о том, что коэффициенты регрессии одновременно равны нулю, a=0 , b=0 . Другими словами, суть расчетов - ответить на вопрос: можно ли его использовать для дальнейшего анализа и прогнозов?
Для установления сходства или различия дисперсий в двух выборках используйте данный t-критерий .
Итак, целью анализа является получение некоторой оценки, с помощью которой можно было бы утверждать, что при некотором уровне α полученное уравнение регрессии - статистически надежно. Для этого используется коэффициент детерминации R 2
.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k 1 =(m) и k 2 =(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2 (или через функцию Excel FРАСПОБР(вероятность;1;n-2)).
F табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k 1 =1 и k 2 =48, F табл = 4
Выводы : Поскольку фактическое значение F > F табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна ) .
Дисперсионный анализ
.Показатели качества уравнения регрессии
Пример
. По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: X - цена на товар А, тыс. руб.; Y - прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y ср) 2 = 138000. Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину этого показателя, на основе этого результата и с помощью F-критерия Фишера
сделайте вывод о качестве модели регрессии.
Решение. По этим данным можно определить эмпирическое корреляционное отношение : , где ∑(y ср -y x) 2 = ∑(y i -y ср) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92 000.
η 2 = 92 000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7 < η < 0.9 - связь между X и Y высокая).
F-критерий Фишера
: n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46. F табл (1; 23) = 4.27
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.
Вопрос: Какую статистику используют для проверки значимости модели регрессии?
Ответ: Для значимости всей модели в целом используют F-статистику (критерий Фишера).
Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Таблица производных некоторых функций
$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)
Что означает в математике запись у = f(x)
Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х 2 .
Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).
Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.
Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х 2 , т. е. речь идет о функции у = х 2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9 и т. д.
Если же использовать обозначение f(x) = х 2 , то запись становится более экономной:
f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.
Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка : фраза «значение функции у = х 2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:
«если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(2) = 4».
А вот образец обратного перевода:
Если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(- 3) = 9. По-другому - значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.
П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х 3 . Вычислить:
а) f(1); б) f(- 4); в) f(о); г) f(2а);
д) f(а-1); е) f(3х); ж) f(-х).
Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:
Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.
Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2 , и у = g (х), где g (х) = х 3 . Доказать, что:
а) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).
Р е ш е н и е. а) Так как f(x) = х 2 , то f(- х) = (- х) 2 = х 2 . Итак, f(x) = х 2 , f(- х) = х 2 , значит, f(- x) =f (x)
б) Так как g{x) = х 3 , то g(- x) = -x 3 , т.e. g(-x) = -g(x).
Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.
Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у - f(x) - такое описание свойств обычно называют чтением графика.
Чтение графика - это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика - это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.
Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).
1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] - область определения функции.
Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.
2. y наим = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].
3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.
4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.
5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.
6. Функция возрастает на отрезке [-4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].
По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.
Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) - непрерывные.
Пример 5
. Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.
Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика - единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь
справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х 2
будем рассматривать функцию у = х 2 , где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х 2 .
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.
Таким образом, график функции построен - это парабола у = х 2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).
Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:
1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0 о, 2) и
2. у наим = 0 (достигается при х = 0), у наиб _ не существует.
3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).
4. у = 0, если х = 0.
5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале .
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиСессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.
Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика , термодинамика и молекулярная физика , электричество . Их и возьмем!
Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика
Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое прямолинейное и равномерное движение.
Формулы кинематики:
Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.
После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику
Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!
Основные формулы молекулярной физики и термодинамики
Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.
Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева - все эти милые сердцу формулы собраны ниже.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .
Основные формулы по физике: электричество
Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.
И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.
На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса . Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».