Что такое боковые грани призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний

В основании призмы может лежать любые многоугольник – треугольник, четырехугольник, и т.д. Оба основания абсолютно одинаковы, а соответственно, которыми углы параллельных граней соединяются между собой, всегда параллельны. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. У прямой призмы ребра между боковыми гранями перпендикулярны основанию. При этом в основании прямой призмы может лежать многоугольник с любым количеством углов. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямоугольник – частный случай параллелограмма. Если в основании лежит именно эта фигура, а боковые грани расположены к основанию под прямым углом, параллелепипед называется прямоугольным. Второе название этого геометрического тела – прямоугольная .

Как она выглядит

Прямоугольных призм в окружении современного человека довольно много. Это, например, обычная картонная из-под обуви, компьютерных комплектующих и т.п. Оглядитесь по сторонам. Даже в комнате вы наверняка увидите множество прямоугольных призм. Это и компьютерный корпус, и книжная , и холодильник, и шкаф, и множество других предметов. Форма чрезвычайно популярна главным образом потому, что позволяет использовать место максимально эффективно, вне зависимости от того, оформляете вы интерьер или укладываете вещи в картонные перед переездом.

Свойства прямоугольной призмы

Прямоугольная призма обладает рядом специфических свойств. Любая пара граней может служить ее , поскольку все соседние грани расположены друг к другу под одним и тем же углом, и угол этот составляет 90°. Объем и площадь поверхности прямоугольной призмы вычислить проще, чем у любой другой. Возьмите любой предмет, имеющий форму прямоугольной призмы. Измерьте его длину, ширину и высоту. Чтобы найти объем , достаточно перемножить эти мерки. То есть формула выглядит так: V=a*b*h, где V – объем, a и b – стороны основания, h - высота, которая у этого геометрического тела совпадает с боковым ребром. Площадь основания вычисляется по формуле S1=a*b. Чтобы боковой поверхности, нужно сначала вычислить периметр основания по формуле P=2(a+b), а затем умножить его на высоту. Получается формула S2=P*h=2(a+b)*h. Для вычисления полной поверхности прямоугольной призмы сложите удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности. Получится формула S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

«Урок теорема Пифагора» - Теорема Пифагора. Определить вид четырехугольника KMNP. Разминка. Знакомства с теоремой. Определить вид треугольника: План урока: Исторический экскурс. Решение простейших задач. И обрете лестницу долготою 125стоп. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Показ картинок. Доказательство теоремы.

«Объём призмы» - Понятие призмы. Прямая призма. Объем исходной призмы равен произведению S · h. Как найти объем прямой призмы? Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Проведение высоты треугольника ABC. Решение задачи. Цели урока. Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы? Изучение теоремы об объеме призмы.

«Многогранники призма» - Дайте определение многогранника. DABC – тетраэдр, выпуклый многогранник. Применение призм. Где применяются призмы? ABCDMP – октаэдр, составлен из восьми треугольников. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, выпуклый многогранник. Выпуклый многогранник. Понятие многогранника. Многогранник А1А2..АnB1B2..Bn- призма.

«Призма 10 класс» - Призмой называется многогранник у которого грани находятся в параллельных плоскостях. Применение призмы в быту. Sбок.= Pоснован. + h Для прямой призмы: Sп.п = Pоснов. h + 2Sоснов. Наклонная. Правильная. Прямая. Призма. Формулы нахождения площади. Применение призмы в архитектуре. Sп.п = Sбок.+2Sоснован.

«Доказательство теоремы Пифагора» - Геометрическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. Теорема Пифагора. Доказательство Евклида. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Доказательства теоремы. Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Многогранники

Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .

Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).

Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.

Призма

Определение и свойства призмы

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.

Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:

1. Основания призмы равны.

2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.

Прямая призма

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .

Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.

Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.

Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.

Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).

Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:

где – периметр основания прямой призмы.

Параллелепипед

Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).

Теорема 13.3 . В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .

Задачи

13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма

13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.

Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы

Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми .
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы , концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы , а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра. Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Правильной называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.

Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^ - периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.

V = SH
S п = S б + 2S о
S б = P ^ l

Определение 1 . Призматической поверхностью называется фигура, образованная частями нескольких плоскостей, параллельных одной прямой ограниченными теми прямыми, по которым эти плоскости последовательно пересекаются одна с другой*; эти прямые параллельны между собой и называются рёбрами призматической поверхности .
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую

Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.

Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.

Определение 3 . Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы ; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями ; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы . В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники . Все боковые грани призмы - параллелограммы ; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".

Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").

Определение 5 . Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности. В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро ; боковые грани будут прямоугольниками .
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.

Теорема 2 . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.

Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.

Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).

Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).

Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.

Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.

Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:

27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:

Площадь боковой поверхности:

73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.

Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:

Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.

Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.

Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.

Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).

Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:

АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.

Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности:

76485. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8√3, а высота равна 6.

Площадь боковой поверхности указанной призмы из трёх равных по площади граней (прямоугольников). Чтобы найти площадь требуется знать длину ребра основания призмы (высота нам известна). Если рассматривать проекцию (вид сверху), то имеем правильный треугольник вписанный в окружность. Сторона этого треугольника выражается через радиус как:

Подробности этой взаимосвязи . Значит она будет равна

Тогда площадь боковой грани равна: 24∙6=144. А искомая площадь:

245354. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.