Что такое хи квадрат в статистике. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат пирсона

Рассмотрим применение в MS EXCEL критерия хи-квадрат Пирсона для проверки простых гипотез.

После получения экспериментальных данных (т.е. когда имеется некая выборка ) обычно производится выбор закона распределения, наиболее хорошо описывающего случайную величину, представленную данной выборкой . Проверка того, насколько хорошо экспериментальные данные описываются выбранным теоретическим законом распределения, осуществляется с использованием критериев согласия . Нулевой гипотезой , обычно выступает гипотеза о равенстве распределения случайной величины некоторому теоретическому закону.

Сначала рассмотрим применение критерия согласия Пирсона Х 2 (хи-квадрат) в отношении простых гипотез (параметры теоретического распределения считаются известными). Затем - , когда задается только форма распределения, а параметры этого распределения и значение статистики Х 2 оцениваются/рассчитываются на основании одной и той же выборки .

Примечание : В англоязычной литературе процедура применения критерия согласия Пирсона Х 2 имеет название The chi-square goodness of fit test .

Напомним процедуру проверки гипотез:

• на основе выборки вычисляется значение статистики , которая соответствует типу проверяемой гипотезы. Например, для используется t -статистика (если не известно);
• при условии истинности нулевой гипотезы , распределение этой статистики известно и может быть использовано для вычисления вероятностей (например, для t -статистики это );
• вычисленное на основе выборки значение статистики сравнивается с критическим для заданного значением ();
• нулевую гипотезу отвергают, если значение статистики больше критического (или если вероятность получить это значение статистики () меньше уровня значимости , что является эквивалентным подходом).

Проведем проверку гипотез для различных распределений.

Дискретный случай

Предположим, что два человека играют в кости. У каждого игрока свой набор костей. Игроки по очереди кидают сразу по 3 кубика. Каждый раунд выигрывает тот, кто выкинет за раз больше шестерок. Результаты записываются. У одного из игроков после 100 раундов возникло подозрение, что кости его соперника – несимметричные, т.к. тот часто выигрывает (часто выбрасывает шестерки). Он решил проанализировать насколько вероятно такое количество исходов противника.

Примечание : Т.к. кубиков 3, то за раз можно выкинуть 0; 1; 2 или 3 шестерки, т.е. случайная величина может принимать 4 значения.

Из теории вероятности нам известно, что если кубики симметричные, то вероятность выпадения шестерок подчиняется . Поэтому, после 100 раундов частоты выпадения шестерок могут быть вычислены с помощью формулы
=БИНОМ.РАСП(A7;3;1/6;ЛОЖЬ)*100

В формуле предполагается, что в ячейке А7 содержится соответствующее количество выпавших шестерок в одном раунде.

Примечание : Расчеты приведены в файле примера на листе Дискретное .

Для сравнения наблюденных (Observed) и теоретических частот (Expected) удобно пользоваться .

При значительном отклонении наблюденных частот от теоретического распределения, нулевая гипотеза о распределении случайной величины по теоретическому закону, должна быть отклонена. Т.е., если игральные кости соперника несимметричны, то наблюденные частоты будут «существенно отличаться» от биномиального распределения .

В нашем случае на первый взгляд частоты достаточно близки и без вычислений сложно сделать однозначный вывод. Применим критерий согласия Пирсона Х 2 , чтобы вместо субъективного высказывания «существенно отличаться», которое можно сделать на основании сравнения гистограмм , использовать математически корректное утверждение.

Используем тот факт, что в силу закона больших чисел наблюденная частота (Observed) с ростом объема выборки n стремится к вероятности, соответствующей теоретическому закону (в нашем случае, биномиальному закону ). В нашем случае объем выборки n равен 100.

Введем тестовую статистику , которую обозначим Х 2:

где O l – это наблюденная частота событий, что случайная величина приняла определенные допустимые значения, E l – это соответствующая теоретическая частота (Expected). L – это количество значений, которые может принимать случайная величина (в нашем случае равна 4).

Как видно из формулы, эта статистика является мерой близости наблюденных частот к теоретическим, т.е. с помощью нее можно оценить «расстояния» между этими частотами. Если сумма этих «расстояний» «слишком велика», то эти частоты «существенно отличаются». Понятно, что если наш кубик симметричный (т.е. применим биномиальный закон ), то вероятность того, что сумма «расстояний» будет «слишком велика» будет малой. Чтобы вычислить эту вероятность нам необходимо знать распределение статистики Х 2 (статистика Х 2 вычислена на основе случайной выборки , поэтому она является случайной величиной и, следовательно, имеет свое распределение вероятностей ).

Из многомерного аналога интегральной теоремы Муавра-Лапласа известно, что при n->∞ наша случайная величина Х 2 асимптотически с L - 1 степенями свободы.

Итак, если вычисленное значение статистики Х 2 (сумма «расстояний» между частотами) будет больше чем некое предельное значение, то у нас будет основание отвергнуть нулевую гипотезу . Как и при проверке параметрических гипотез , предельное значение задается через уровень значимости . Если вероятность того, что статистика Х 2 примет значение меньше или равное вычисленному (p -значение ), будет меньше уровня значимости , то нулевую гипотезу можно отвергнуть.

В нашем случае, значение статистики равно 22,757. Вероятность, что статистика Х 2 примет значение больше или равное 22,757 очень мала (0,000045) и может быть вычислена по формулам
=ХИ2.РАСП.ПХ(22,757;4-1) или
=ХИ2.ТЕСТ(Observed; Expected)

Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() специально создана для проверки связи между двумя категориальными переменными (см. ).

Вероятность 0,000045 существенно меньше обычного уровня значимости 0,05. Так что, у игрока есть все основания подозревать своего противника в нечестности (нулевая гипотеза о его честности отвергается).

При применении критерия Х 2 необходимо следить за тем, чтобы объем выборки n был достаточно большой, иначе будет неправомочна аппроксимация распределения статистики Х 2 . Обычно считается, что для этого достаточно, чтобы наблюденные частоты (Observed) были больше 5. Если это не так, то малые частоты объединяются в одно или присоединяются к другим частотам, причем объединенному значению приписывается суммарная вероятность и, соответственно, уменьшается число степеней свободы Х 2 -распределения .

Для того чтобы улучшить качество применения критерия Х 2 (), необходимо уменьшать интервалы разбиения (увеличивать L и, соответственно, увеличивать количество степеней свободы ), однако этому препятствует ограничение на количество попавших в каждый интервал наблюдений (д.б.>5).

Непрерывный случай

Критерий согласия Пирсона Х 2 можно применить так же в случае .

Рассмотрим некую выборку , состоящую из 200 значений. Нулевая гипотеза утверждает, что выборка сделана из .

Примечание : Cлучайные величины в файле примера на листе Непрерывное сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) . Поэтому, новые значения выборки генерируются при каждом пересчете листа.

Соответствует ли имеющийся набор данных можно визуально оценить .

Как видно из диаграммы, значения выборки довольно хорошо укладываются вдоль прямой. Однако, как и в для проверки гипотезы применим Критерий согласия Пирсона Х 2 .

Для этого разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы с шагом 0,5 . Вычислим наблюденные и теоретические частоты. Наблюденные частоты вычислим с помощью функции ЧАСТОТА() , а теоретические – с помощью функции НОРМ.СТ.РАСП() .

Примечание : Как и для дискретного случая , необходимо следить, чтобы выборка была достаточно большая, а в интервал попадало >5 значений.

Вычислим статистику Х 2 и сравним ее с критическим значением для заданного уровня значимости (0,05). Т.к. мы разбили диапазон изменения случайной величины на 10 интервалов, то число степеней свободы равно 9. Критическое значение можно вычислить по формуле
=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;9) или
=ХИ2.ОБР(1-0,05;9)

На диаграмме выше видно, что значение статистики равно 8,19, что существенно выше критического значения – нулевая гипотеза не отвергается.

Ниже приведена , на которой выборка приняла маловероятное значение и на основании критерия согласия Пирсона Х 2 нулевая гипотеза была отклонена (не смотря на то, что случайные значения были сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) , обеспечивающей выборку из стандартного нормального распределения ).

Нулевая гипотеза отклонена, хотя визуально данные располагаются довольно близко к прямой линии.

В качестве примера также возьмем выборку из U(-3; 3). В этом случае, даже из графика очевидно, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

Критерий согласия Пирсона Х 2 также подтверждает, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

Хи-квадрат Пирсона - это наиболее простой критерий проверки значимости связи между двумя категоризованными переменными. Критерий Пирсона основывается на том, что в двувходовой таблице ожидаемые частоты при гипотезе "между переменными нет зависимости" можно вычислить непосредственно. Представьте, что 20 мужчин и 20 женщин опрошены относительно выбора газированной воды (марка A или марка B ). Если между предпочтением и полом нет связи, то естественно ожидать равного выбора марки A и марки B для каждого пола.

Значение статистики хи-квадрат и ее уровень значимости зависит от общего числа наблюдений и количества ячеек в таблице. В соответствии с принципами, обсуждаемыми в разделе , относительно малые отклонения наблюдаемых частот от ожидаемых будет доказывать значимость, если число наблюдений велико.

Имеется только одно существенное ограничение использования критерия хи-квадрат (кроме очевидного предположения о случайном выборе наблюдений), которое состоит в том, что ожидаемые частоты не должны быть очень малы. Это связано с тем, что критерий хи-квадрат по своей природе проверяет вероятности в каждой ячейке; и если ожидаемые частоты в ячейках, становятся, маленькими, например, меньше 5, то эти вероятности нельзя оценить с достаточной точностью с помощью имеющихся частот. Дальнейшие обсуждения см. в работах Everitt (1977), Hays (1988) или Kendall and Stuart (1979).

Критерий хи-квадрат (метод максимального правдоподобия). Максимум правдоподобия хи-квадрат предназначен для проверки той же самой гипотезы относительно связей в таблицах сопряженности, что и критерий хи-квадрат Пирсона. Однако его вычисление основано на методе максимального правдоподобия. На практике статистика МП хи-квадрат очень близка по величине к обычной статистике Пирсона хи-квадрат . Подробнее об этой статистике можно прочитать в работах Bishop, Fienberg, and Holland (1975) или Fienberg (1977). В разделе Логлинейный анализ эта статистика обсуждается подробнее.

Поправка Йетса. Аппроксимация статистики хи-квадрат для таблиц 2x2 с малыми числом наблюдений в ячейках может быть улучшена уменьшением абсолютного значения разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами на величину 0.5 перед возведением в квадрат (так называемая поправка Йетса ). Поправка Йетса, делающая оценку более умеренной, обычно применяется в тех случаях, когда таблицы содержат только малые частоты, например, когда некоторые ожидаемые частоты становятся меньше 10 (дальнейшее обсуждение см. в Conover, 1974; Everitt, 1977; Hays, 1988; Kendall and Stuart, 1979 и Mantel, 1974).

Точный критерий Фишера. Этот критерий применим только для таблиц 2x2. Критерий основан на следующем рассуждении. Даны маргинальные частоты в таблице, предположим, что обе табулированные переменные независимы. Зададимся вопросом: какова вероятность получения наблюдаемых в таблице частот, исходя из заданных маргинальных? Оказывается, эта вероятность вычисляется точно подсчетом всех таблиц, которые можно построить, исходя из маргинальных. Таким образом, критерий Фишера вычисляет точную вероятность появления наблюдаемых частот при нулевой гипотезе (отсутствие связи между табулированными переменными). В таблице результатов приводятся как односторонние, так и двусторонние уровни.

Хи-квадрат Макнемара. Этот критерий применяется, когда частоты в таблице 2x2 представляют зависимые выборки. Например, наблюдения одних и тех же индивидуумов до и после эксперимента. В частности, вы можете подсчитывать число студентов, имеющих минимальные успехи по математике в начале и в конце семестра или предпочтение одних и тех же респондентов до и после рекламы. Вычисляются два значения хи-квадрат : A/D и B/C . A/D хи-квадрат проверяет гипотезу о том, что частоты в ячейках A и D (верхняя левая, нижняя правая) одинаковы. B/C хи-квадрат проверяет гипотезу о равенстве частот в ячейках B и C (верхняя правая, нижняя левая).

Коэффициент Фи. Фи-квадрат представляет собой меру связи между двумя переменными в таблице 2x2. Его значения изменяются от 0 (нет зависимости между переменными; хи-квадрат = 0.0 ) до 1 (абсолютная зависимость между двумя факторами в таблице). Подробности см. в Castellan and Siegel (1988, стр. 232).

Тетрахорическая корреляция. Эта статистика вычисляется (и применяется) только для таблиц сопряженности 2x2. Если таблица 2x2 может рассматриваться как результат (искусственного) разбиения значений двух непрерывных переменных на два класса, то коэффициент тетрахорической корреляции позволяет оценить зависимость между двумя этими переменными.

Коэффициент сопряженности. Коэффициент сопряженности представляет собой основанную на статистике хи-квадрат меру связи признаков в таблице сопряженности (предложенную Пирсоном). Преимущество этого коэффициента перед обычной статистикой хи-квадрат в том, что он легче интерпретируется, т.к. диапазон его изменения находится в интервале от 0 до 1 (где 0 соответствует случаю независимости признаков в таблице, а увеличение коэффициента показывает увеличение степени связи). Недостаток коэффициента сопряженности в том, что его максимальное значение "зависит" от размера таблицы. Этот коэффициент может достигать значения 1 только, если число классов не ограничено (см. Siegel, 1956, стр. 201).

Интерпретация мер связи. Существенный недостаток мер связи (рассмотренных выше) связан с трудностью их интерпретации в обычных терминах вероятности или "доли объясненной вариации", как в случае коэффициента корреляции r Пирсона (см. Корреляции). Поэтому не существует одной общепринятой меры или коэффициента связи.

Статистики, основанные на рангах. Во многих задачах, возникающих на практике, мы имеем измерения лишь в порядковой шкале (см. Элементарные понятия статистики ). Особенно это относится к измерениям в области психологии, социологии и других дисциплинах, связанных с изучением человека. Предположим, вы опросили некоторое множество респондентов с целью выяснения их отношение к некоторым видам спорта. Вы представляете измерения в шкале со следующими позициями: (1) всегда , (2) обычно , (3) иногда и (4) никогда . Очевидно, что ответ иногда интересуюсь показывает меньший интерес респондента, чем ответ обычно интересуюсь и т.д. Таким образом, можно упорядочить (ранжировать) степень интереса респондентов. Это типичный пример порядковой шкалы. Для переменных, измеренных в порядковой шкале, имеются свои типы корреляции, позволяющие оценить зависимости.

R Спирмена. Статистику R Спирмена можно интерпретировать так же, как и корреляцию Пирсона (r Пирсона) в терминах объясненной доли дисперсии (имея, однако, в виду, что статистика Спирмена вычислена по рангам). Предполагается, что переменные измерены как минимум в порядковой шкале. Всестороннее обсуждение ранговой корреляции Спирмена, ее мощности и эффективности можно найти, например, в книгах Gibbons (1985), Hays (1981), McNemar (1969), Siegel (1956), Siegel and Castellan (1988), Kendall (1948), Olds (1949) и Hotelling and Pabst (1936).

Тау Кендалла. Статистика тау Кендалла эквивалентна R Спирмена при выполнении некоторых основных предположений. Также эквивалентны их мощности. Однако обычно значения R Спирмена и тау Кендалла различны, потому что они отличаются как своей внутренней логикой, так и способом вычисления. В работе Siegel and Castellan (1988) авторы выразили соотношение между этими двумя статистиками следующим неравенством:

1 < = 3 * Тау Кендалла - 2 * R Спирмена < = 1

Более важно то, что статистики Кендалла тау и Спирмена R имеют различную интерпретацию: в то время как статистика R Спирмена может рассматриваться как прямой аналог статистики r Пирсона, вычисленный по рангам, статистика Кендалла тау скорее основана на вероятности . Более точно, проверяется, что имеется различие между вероятностью того, что наблюдаемые данные расположены в том же самом порядке для двух величин и вероятностью того, что они расположены в другом порядке. Kendall (1948, 1975), Everitt (1977), и Siegel and Castellan (1988) очень подробно обсуждают тау Кендалла. Обычно вычисляется два варианта статистики тау Кендалла: tau b и tau c . Эти меры различаются только способом обработки совпадающих рангов. В большинстве случаев их значения довольно похожи. Если возникают различия, то, по-видимому, самый безопасный способ - рассматривать наименьшее из двух значений.

Коэффициент d Соммера: d(X|Y), d(Y|X). Статистика d Соммера представляет собой несимметричную меру связи между двумя переменными. Эта статистика близка к tau b (см. Siegel and Castellan, 1988, стр. 303-310).

Гамма-статистика. Если в данных имеется много совпадающих значений, статистика гамма предпочтительнее R Спирмена или тау Кендалла. С точки зрения основных предположений, статистика гамма эквивалентна статистике R Спирмена или тау Кендалла. Ее интерпретация и вычисления более похожи на статистику тау Кендалла, чем на статистику R Спирмена. Говоря кратко, гамма представляет собой также вероятность ; точнее, разность между вероятностью того, что ранговый порядок двух переменных совпадает, минус вероятность того, что он не совпадает, деленную на единицу минус вероятность совпадений. Таким образом, статистика гамма в основном эквивалентна тау Кендалла, за исключением того, что совпадения явно учитываются в нормировке. Подробное обсуждение статистики гамма можно найти у Goodman and Kruskal (1954, 1959, 1963, 1972), Siegel (1956) и Siegel and Castellan (1988).

Коэффициенты неопределенности. Эти коэффициенты измеряют информационную связь между факторами (строками и столбцами таблицы). Понятие информационной зависимости берет начало в теоретико-информационном подходе к анализу таблиц частот, можно обратиться к соответствующим руководствам для разъяснения этого вопроса (см. Kullback, 1959; Ku and Kullback, 1968; Ku, Varner, and Kullback, 1971; см. также Bishop, Fienberg, and Holland, 1975, стр. 344-348). Статистика S (Y,X ) является симметричной и измеряет количество информации в переменной Y относительно переменной X или в переменной X относительно переменной Y . Статистики S(X|Y) и S(Y|X) выражают направленную зависимость.

Многомерные отклики и дихотомии. Переменные типа многомерных откликов и многомерных дихотомий возникают в ситуациях, когда исследователя интересуют не только "простые" частоты событий, но также некоторые (часто неструктурированные) качественные свойства этих событий. Природу многомерных переменных (факторов) лучше всего понять на примерах.

• · Многомерные отклики
• · Многомерные дихотомии
• · Кросстабуляция многомерных откликов и дихотомий
• · Парная кросстабуляция переменных с многомерными откликами
• · Заключительный комментарий

Многомерные отклики. Представьте, что в процессе большого маркетингового исследования, вы попросили покупателей назвать 3 лучших, с их точки зрения, безалкогольных напитка. Обычный вопрос может выглядеть следующим образом.

Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.

1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.

Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:

варианты………..х 1 х 2 … х s

частоты………….п 1 п 2 … п s ,

где х i – значения середин интервалов, а п i – число вариант, попавших в i -й интервал (эмпирические частоты).

По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение σ В . Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M (X ) = , D (X ) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п , которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i -й интервал:

,

где а i и b i - границы i -го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: п i =n·p i .Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины

. (20.1)

Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины (20.1) при стремится к закону распределения (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s – 1 – r , где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием

(20.2)

где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - .

Итак, для проверки нулевой гипотезы Н 0: генеральная совокупность распределена нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:

, (20.1`)

а по таблице критических точек распределения χ 2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = s – 3. Если - нулевую гипотезу принимают, при ее отвергают.

2. Проверка гипотезы о равномерном распределении.

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности

необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение , оценить параметры а и b по формулам:

где а* и b* - оценки а и b . Действительно, для равномерного распределения М (Х ) = , , откуда можно получить систему для определения а* и b *: , решением которой являются выражения (20.3).

Затем, предполагая, что , можно найти теоретические частоты по формулам

Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле (20.1`), а критическое – по таблице с учетом того, что число степеней свободы k = s – 3. После этого границы критической области определяются так же, как и для проверки гипотезы о нормальном распределении.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении.

В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i – й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот n i (число вариант выборки, попавших в i – й интервал). Вычислим по этим данным и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле

Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2.

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F (x ) и эмпирическим распределением F * п (x ) , которая приближенно подчиняется закону распределения χ 2 . Гипотеза Н 0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов M . Наблюдаемая частота попаданий в i - й разряд n i . В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i -й разряд составляет F i . Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – F i ). Для нахождения общей степени расхождения между F (x ) и F * п (x ) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

Величина χ 2 при неограниченном увеличении n имеет χ 2 -распределение (асимптотически распределена как χ 2). Это распределение зависит от числа степеней свободы k , т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся M –1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются S параметров распределения, то число степеней свободы составит k = M – S –1.

Область принятия гипотезы Н 0 определяется условием χ 2 < χ 2 (k ; a ) , где χ 2 (k ; a ) – критическая точка χ2-распределения с уровнем значимости a . Вероятность ошибки первого рода равна a , вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n >200, допускается применение при n >40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Алгоритм проверки по критерию

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

H 0: f (x ) = f 0 (x ),

H 1: f (x ) ¹ f 0 (x ),

где f 0 (x ) - плотность вероятности гипотетического закона распределения (например, равномерного, экспоненциального, нормального).

Замечание . Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

,

где
частота попадания вi -тый интервал;

p i - теоретическая вероятность попадания случайной величины вi - тый интервал при условии, что гипотезаH 0 верна.

Формулы для расчета p i в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

. (3.8)

При этом A 1 = 0, B m = +¥.

Равномерный закон

Нормальный закон

. (3.10)

При этом A 1 = -¥, B M = +¥.

Замечания . После вычисления всех вероятностей p i проверить, выполня­ется ли контрольное соотношение

Функция Ф(х )- нечетная. Ф(+¥) = 1.

4. Из таблицы " Хи-квадрат" Приложения выбирается значение
, гдеa - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01), а k - число степеней свободы, определяемое по формуле

k = M - 1 - S .

Здесь S - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H 0 закон распределения. Значения S для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если
, то гипотезаH 0 отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить: с вероятностью 1 - b она верна, а с вероятностью - b неверна, но величина b неизвестна.

Пример3 . 1. С помощью критерия c 2 выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X , вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 1.2. Уровень значимости a равен 0,05.

Решение . По виду гистограмм выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H 0: f (x ) = N (m , s);

H 1: f (x ) ¹ N (m , s).

Значение критерия вычисляем по формуле:

(3.11)

Как отмечалось выше, при проверке гипотезы предпочтительнее использовать равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности p i рассчитываем по формуле (3.10). При этом полагаем, что

p 1 = 0,5(Ф((-4,5245+1,7)/1,98)-Ф((-¥+1,7)/1,98)) = 0,5(Ф(-1,427)-Ф(-¥)) =

0,5(-0,845+1) = 0,078.

p 2 = 0,5(Ф((-3,8865+1,7)/1,98)-Ф((-4,5245+1,7)/1,98)) =

0,5(Ф(-1,104)+0,845) = 0,5(-0,729+0,845) = 0,058.

p 3 = 0,094; p 4 = 0,135; p 5 = 0,118; p 6 = 0,097; p 7 = 0,073; p 8 = 0,059; p 9 = 0,174;

p 10 = 0,5(Ф((+¥+1,7)/1,98)-Ф((0,6932+1,7)/1,98)) = 0,114.

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

100 × (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

0,0285 + 0,0315 + 0,0017) = 100 × 0,1207 = 12,07.

После этого из таблицы "Хи - квадрат" выбираем критическое значение

.

Так как
то гипотезаH 0 принимается (нет основания ее отклонить).

Критерий хи-квадрат.

Критерий хи-квадрат в отличие от критерия z применяется для сравнения любого количества групп.

Исходные данные: таблица сопряжённости.

Пример таблицы сопряженности минимальной размерности 2*2, приведен ниже. A,B,C,D – так называемые, реальные частоты.

Расчёт критерия основан на сравнении реальных частот и ожидаемых частот, которые вычисляются в предположении отсутствия взаимного влияния сравниваемых признаков друг на друга. Таким образом, если реальные и ожидаемые частоты достаточно близки друг к другу, то влияния нет и значит признаки будут распределены примерно одинаково по группам.

Исходные данные для применения этого метода должны быть занесены в таблицу сопряженности, по столбцам и по строчкам которой указываются варианты значений изучаемых признаков. Числа в этой таблице будут называться реальными или экспериментальными частотами. Далее необходимо рассчитать ожидаемые частоты исходя из предположения, что сравниваемые группы абсолютно равны по распределению признаков. В этом случае пропорции по итоговой строчке или столбцу «всего» должны сохраняться в любой строчке и столбце. Исходя из этого, определяются ожидаемые частоты (см. пример).

Затем рассчитывают значение критерия как сумму по всем ячейкам таблицы сопряженности отношения квадрата разности между реальной частотой и ожидаемой частотой к ожидаемой частоте:

где - реальная частота в ячейке; - ожидаемая частота в ячейке.

, где N = A+ B + C + D .

При расчёте по основной формуле для таблицы 2*2 (только для такой таблицы ), также необходимо применить поправку Йейтса на непрерывность:

.

Критическое значение критерия определяется по таблице (см. приложение) с учетом числа степеней свободы и уровня значимости. Уровень значимости принимают стандартным: 0,05; 0,01 или 0,001. Число степеней свободы определяется как произведение числа строк и столбцов таблицы сопряженности уменьшенных каждое на единицу:

,

где r – число строк (число градаций одного признака), с – число столбцов (число градаций другого признака). Это критическое значение можно определить в электронной таблице Microsoft Excel используя функцию =хи2обр(a, f ), где вместо a надо ввести уровень значимости, а вместо f – число степеней свободы.

Если значение критерия хи-квадрат больше критического, то гипотезу о независимости признаков отвергают и их можно считать зависимыми на выбранном уровне значимости.

У этого метода есть ограничение по применимости: ожидаемые частоты должны быть 5 или более (для таблицы 2*2). Для произвольной таблицы это ограничение менее строгое: все ожидаемые частоты должны быть 1 или больше, а доля ячеек с ожидаемыми частотами меньше 5 не должна превышать 20%.

Из таблицы сопряженности большой размерности можно «вычленить» таблицы меньшей размерности и для них рассчитать значение критерия c 2 . Это фактически будут множественные сравнения, аналогичные описанным для критерия Стьюдента. В этом случае также надо применять поправку на множественные сравнения в зависимости от их количества.

Для проверки гипотезы с помощью критерия c 2 в электронных таблицах Microsoft Excel можно применить следующую функцию:

ХИ2ТЕСТ(фактический_интервал; ожидаемый_интервал).

Здесь фактический_интервал – исходная таблица сопряженности с реальными частотами (указываются только ячейки с самими частотами без заголовков и «всего»); ожидаемый_интервал – массив ожидаемых частот. Следовательно, ожидаемые частоты должны быть вычислены самостоятельно.

Пример:

В некотором городе произошла вспышка инфекционного заболевания. Есть предположение, что источником заражения явилась питьевая вода. Проверить это предположение решили с помощью выборочного опроса городского населения, по которому необходимо установить влияет ли количество выпиваемой воды на количество заболевших.

Исходные данные приведены в следующей таблице:

Рассчитаем ожидаемые частоты. Пропорция по всего должна сохраниться и внутри таблицы. Поэтому вычислим, например, какую долю составляют всего по строчкам в общей численности, получим для каждой строчки коэффициент. Такая же доля должна оказаться в каждой ячейке соответствующей строчки, поэтому для вычисления ожидаемой частоты в ячейке умножаем коэффициент на всего по соответствующему столбцу.

Число степеней свободы равно (3-1)*(2-1)=2. Критическое значение критерия .

Экспериментальное значение больше критического (61,5>13,816), т.е. гипотеза об отсутствия влияния количества выпиваемой воды на заболеваемость отвергается с вероятностью ошибки менее 0,001. Таким образом, можно утверждать, что именно вода стала источником заболевания.

У обоих описанных критериев существуют ограничения, которые обычно не выполняются, если число наблюдений невелико или отдельные градации признаков редко встречаются. В этом случае используют точный критерий Фишера . Он основан на переборе всех возможных вариантов заполнения таблицы сопряженности при данной численности групп. Поэтому ручной расчет его довольно сложен. Для его расчёта можно воспользоваться статистическими пакетами прикладных программ.

Критерий z является аналогом критерия Стьюдента, но применяется для сравнения качественных признаков. Экспериментальное значение критерия рассчитывается как отношение разности долей к средней ошибке разности долей.

Критические значение критерия z равны соответствующим точкам нормированного нормального распределения: , , .

Критерий хи-квадрат применяется для сравнения любого количества групп по значениям качественных признаков. Исходные данные должны быть представлены в виде таблицы сопряжённости. Экспериментальное значение критерия рассчитывают как сумму по всем ячейкам таблицы сопряженности отношения квадрата разности между реальной частотой и ожидаемой частотой к ожидаемой частоте. Ожидаемые частоты вычисляются в предположении равенства сравниваемых признаков во всех группах. Критические значения определяются по таблицам распределения хи-квадрат.

ЛИТЕРАТУРА.

Гланц С. – Глава 5.

Реброва О.Ю. – Глава 10,11.

Лакин Г.Ф. – с. 120-123

Вопросы для самопроверки студентов.

1. В каких случаях можно применять критерий z?

2. На чём основано вычисление экспериментального значения критерия z?

3. Как найти критическое значение критерия z?

4. В каких случаях можно применять критерий c 2 ?

5. На чём основано вычисление экспериментального значения критерия c 2 ?

6. Как найти критическое значение критерия c 2 ?

7. Что ещё можно применить для сравнения качественных признаков, если нельзя применить по ограничениям критерии z и c 2 ?

Задачи.