Что такое середина перпендикуляра. Окружность, описанная около треугольника.Треугольник, вписанный в окружность

Словарь терминов планиметрии - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Коллинеарные точки

Конкурентные прямые - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Окружность Аполония - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Чевиана - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Глоссарий планиметрии - Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия

Задача Аполлония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия

Задача Аполония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия

Диаграмма Вороного - случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

Дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений.

Ввести понятие ГМТ.

Дать определение серединного перпендикуляра научить строить его и доказать терему о серединном перпендикуляре, а так же обратную ей.

С помощью системы компьютерного черчения “Компас-3D” выполнить геометрические построения, которые рекомендуется проводить в курсе геометрии с помощью циркуля и линейки.

Раздаточный материал (Приложение №1)

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ : Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение : По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство : Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование : Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

построить середину данного отрезка;
построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла равного данному.

Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация

О – середина АВ

Описание построения (слайд №4 ):

Луч а; А – начало луча

Окружность (А; r =m)

Окружность а = В; АВ = m

Окружность 1 (А; r 1 > m/2)

Окружность 2 (В; r 1)

Окружность 1 Окружность 2 =

MN ; MN AB =0, (МN = L)

где MN AB, O – середина AB

III. Доказательство (слайд №5, 6)

1. Рассмотрим AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона

(Рисунок 3)

Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),

Следовательно

1= 2 (по определению равных )

3= 4 (по определению равных )

2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) ->

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )

3. Из пунктов 1 и 2 -> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB

4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV. Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

Известные вам ГМТ:

Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.

(Рисунок 4)

Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство:

1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) -> O – середина отрезка АВ, MOАВ

2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные

МО – общий катет

АО = ВО (О – середина АВ) -> АМО = ВМО (по 2-м катетам) ->АМ=ВМ (по определению равных треугольников, как соответствующие стороны)

Что и требовалось доказать

Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”

Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.

(Рисунок 5)

Дано: АВ; МА=МВ

Доказать : Точка М лежит на серединном перпендикуляре

Доказательство:

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

Практикум

Материально техническое оснащение:

Дистрибутив: 29 574 Кбайт

ОС: Windows 9x/2000/XP

Сайт: http://www.ascon.ru

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8 , 9).

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10 ).

Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты " текст.

Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11 ).

m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13 ).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16 ).

Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18 ).

Используемая литература:

Угринович Н.Д “Информатика. Базовый курс” 7 класс. - М.: БИНОМ – 2008 – 175 с.
Угринович Н.Д “Практикум по информатике и информационным технологиям”. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
Угринович Н.Д “Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе 8-11 классы М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2008. - 180 с.
Угринович Н.Д Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас – 3D v 5.11-8.0 Практикум для начинающих” – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2006 – 272 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ” – М: Просвещение 2006 – 384 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Изучение геометрии 7-9 класс. Методические рекомендации к учебнику” – М: Просвещение 1997 г. – 255 с.
Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. “Поурочные планы по учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.” - Волгоград “Учитель” 2010 г., 166 с.

Приложение № 1

План решения задач на построение циркулем и линейкой.

Анализ.
Построение.
Доказательство.
Исследование.

Пояснение

При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.
По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?

Примеры элементарных задач на построение

Отложить отрезок, равный данному.
Построить серединный перпендикуляр к отрезку.
Построить середину отрезка.
Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
Построить биссектрису угла.
Построить угол равный данному.

Приложение №2

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры ГМТ:

Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.
Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса ) - прямая , перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину .

Свойства

p_a=\tfrac{2aS}{a^2+b^2-c^2}, p_b=\tfrac{2bS}{a^2+b^2-c^2}, p_c=\tfrac{2cS}{a^2-b^2+c^2},

где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр,

S

- площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами

a \geqslant b \geqslant c.

p_a \geq p_b

p_c \geq p_b.

Иными словами у треугольника наименьший серединный перпендикуляр относится к среднему отрезку.

Напишите отзыв о статье "Серединный перпендикуляр"

Примечания

Отрывок, характеризующий Серединный перпендикуляр

Кутузов, остановившись жевать, удивленно, как будто не понимая того, что ему говорили, уставился на Вольцогена. Вольцоген, заметив волнение des alten Herrn, [старого господина (нем.) ] с улыбкой сказал:
– Я не считал себя вправе скрыть от вашей светлости того, что я видел… Войска в полном расстройстве…
– Вы видели? Вы видели?.. – нахмурившись, закричал Кутузов, быстро вставая и наступая на Вольцогена. – Как вы… как вы смеете!.. – делая угрожающие жесты трясущимися руками и захлебываясь, закричал он. – Как смоете вы, милостивый государь, говорить это мне. Вы ничего не знаете. Передайте от меня генералу Барклаю, что его сведения неверны и что настоящий ход сражения известен мне, главнокомандующему, лучше, чем ему.
Вольцоген хотел возразить что то, но Кутузов перебил его.
– Неприятель отбит на левом и поражен на правом фланге. Ежели вы плохо видели, милостивый государь, то не позволяйте себе говорить того, чего вы не знаете. Извольте ехать к генералу Барклаю и передать ему назавтра мое непременное намерение атаковать неприятеля, – строго сказал Кутузов. Все молчали, и слышно было одно тяжелое дыхание запыхавшегося старого генерала. – Отбиты везде, за что я благодарю бога и наше храброе войско. Неприятель побежден, и завтра погоним его из священной земли русской, – сказал Кутузов, крестясь; и вдруг всхлипнул от наступивших слез. Вольцоген, пожав плечами и скривив губы, молча отошел к стороне, удивляясь uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на это самодурство старого господина. (нем.) ]
– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		пересекаются в одной точке .

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного середина гипотенузы .
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
		,
Площадь треугольника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке .

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы .

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R 2 sin A sin B sin C ,

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство.