Дискретный логарифм и алгоритмы его вычисления. Смотреть что такое "Дискретный логарифм" в других словарях

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Валентина:

Вы спасли нашего сына от увольнения! Дело в том что недоучившись в институте, сын пошел в армию. А вернувшись, восстанавливаться не захотел. Работал без диплома. Но недавно начали увольнять всех, кто не имеет «корочки. Поэтому решили обратиться к вам и не пожалели! Теперь спокойно работает и ничего не боится! Спасибо!

Кстати, после завтрашнего апдейта можно будет прикручивать бесплатный TLS к dyndns хостам! Это суперкруто, все хомяки теперь будут с сертификатами.

Защищаемся от Side channel атак

Не секрет, что нынче информацию о ключах шифрования можно удаленно снимать чуть ли не через вентилятор. Поэтому, все большую популярность обретают constant-time алгоритмы, которые не зависят от входных данных. Немцы выпустили минимальные требования для реализаций, выполнение которых усложнит задачу получения секретных данных через побочные каналы данных. , советую ознакомиться.

На этом у меня всё, до новых встреч!

Дискретное логарифмирование (DLOG) - задача обращения функции g x {\displaystyle g^{x}} в некоторой конечной мультипликативной группе G {\displaystyle G} .

Наиболее часто задачу дискретного логарифмирования рассматривают в мультипликативной группе кольца вычетов или конечного поля , а также в группе точек эллиптической кривой над конечным полем. Эффективные алгоритмы для решения задачи дискретного логарифмирования в общем случае неизвестны.

Для заданных g и a решение x уравнения называется дискретным логарифмом элемента a по основанию g . В случае, когда G является мультипликативной группой кольца вычетов по модулю m , решение называют также индексом числа a по основанию g . Индекс числа a по основанию g гарантированно существует, если g является первообразным корнем по модулю m .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Задача вычисления дискретного логарифма

✪ Дискретное логарифмирование (часть 11)| Криптография | Программирование

✪ Протокол Ди́ффи - Хе́ллмана (часть 12) | Криптография | Программирование

✪ Переносная шифровальная машина «Эни́гма» (часть 6) | Криптография | Программирование

✪ Шифр Вернама (часть 4) | Криптография | Программирование

Субтитры

Нам нужна числовая процедура, которая легко выполняется в одном направлении и гораздо труднее в обратном. Это приводит нас к модульной арифметике, также известной как "арифметика часов" (или "остатков"). Например, для нахождения 46 по модулю 12 можно взять веревку длиной 46 единиц и свернуть ее вокруг часов, которые называют модулем. То место, где веревка заканчивается, и есть решение. То есть 46 по модулю 12 эквивалентно 10-ти. Все просто. Теперь для выполнения этого возьмем простой модуль. 17, к примеру. Затем найдем первообразный корень 17-ти, в этом случае -- три. Он имеет очень важное свойство при возведении в различные степени -- значения равномерно распределяются вокруг часов. 3 называют порождающим элементом или генератором. Если возвести 3 в любую степень x, то результат равновероятно может оказаться любым числом от 1 до 16. То есть обратная процедура довольно сложна. Скажем, какая степень 3 даст в результате 12? Это и есть задача вычисления дискретного логарифма. И теперь у нас есть односторонняя функция. Простая для прямого и сложная для обратного выполнения. Для заданного числа 12 нам приходится прибегнуть к перебору многих ошибочных вариантов, чтобы найти нужный показатель степени. Так насколько это сложно? Ну, с небольшими значениями это просто, но если использован простой модуль длиной в сотни знаков, задача становится практически неразрешимой. Даже если есть доступ ко всем вычислительным мощностям Земли, перебор всех вариантов может занять тысячи лет. Таким образом, сила односторонней функции основана на времени, необходимом для обратного преобразования.

Постановка задачи

Пусть в некоторой конечной мультипликативной абелевой группе G {\displaystyle G} задано уравнение

Решение задачи дискретного логарифмирования состоит в нахождении некоторого целого неотрицательного числа x {\displaystyle x} , удовлетворяющего уравнению (1). Если оно разрешимо, у него должно быть хотя бы одно натуральное решение, не превышающее порядок группы. Это сразу даёт грубую оценку сложности алгоритма поиска решений сверху - алгоритм полного перебора нашел бы решение за число шагов не выше порядка данной группы.

Чаще всего рассматривается случай, когда G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } , то есть группа является циклической , порождённой элементом g {\displaystyle g} . В этом случае уравнение всегда имеет решение. В случае же произвольной группы вопрос о разрешимости задачи дискретного логарифмирования, то есть вопрос о существовании решений уравнения (1), требует отдельного рассмотрения.

Пример

Рассмотрим задачу дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Пусть задано сравнение

Для чисел специального вида результат можно улучшить. В некоторых случаях можно построить алгоритм, для которого константы будут c ≈ 1 , 00475 {\displaystyle c\approx 1,00475} , d = 2 5 {\displaystyle d={\frac {2}{5}}} . За счёт того, что константа c {\displaystyle c} достаточно близка к 1, подобные алгоритмы могут обогнать алгоритм с d = 1 3 {\displaystyle d={\frac {1}{3}}} .

В произвольном конечном поле

Задача рассматривается в поле GF(q) , где q = p n {\displaystyle q=p^{n}} , p {\displaystyle p} - простое.

В группе точек на эллиптической кривой

Рассматривается группа точек эллиптической кривой над конечным полем. В данной группе определена операция сложения двух точек. Тогда m P {\displaystyle mP} - это P + … + P ⏟ m {\displaystyle \underbrace {P+\ldots +P} \limits _{m}} . Решением задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой является нахождение такого натурального числа m {\displaystyle m} , что m P = A {\displaystyle mP=A} для заданных точек P {\displaystyle P} и A . {\displaystyle A.}

До 1990 года не существовало алгоритмов дискретного логарифмирования, учитывающих особенностей строения группы точек эллиптической кривой. Впоследствии, Менезес (Alfred J. Menezes), Окамото (Tatsuaki Okamoto) и Венстон (Scott A. Vanstone) предложили алгоритм, использующий спаривание Вейля . Для эллиптической кривой, определённой над полем G F (q) {\displaystyle GF(q)} , данный алгоритм сводит задачу дискретного логарифмирования к аналогичной задаче в поле G F (q k) {\displaystyle GF(q^{k})} . Однако, данное сведение полезно, только если степень k {\displaystyle k} мала. Это условие выполняется, в основном, для суперсингулярных эллиптических кривых. В остальных случаях подобное сведение практически никогда не приводит к субэкспоненциальным алгоритмам.

Вычислительная сложность и приложения в криптографии

Задача дискретного логарифмирования является одной из основных задач, на которых базируется криптография с открытым ключом . Классическими криптографическими схемами на её основе являются схема выработки общего ключа Диффи-Хеллмана , схема электронной подписи Эль-Гамаля , криптосистема Мэсси-Омуры для передачи сообщений. Их криптостойкость основывается на предположительно высокой вычислительной сложности обращения показательной функции. Хотя сама показательная функция вычисляется достаточно эффективно, даже самые современные алгоритмы вычисления дискретного логарифма имеют очень высокую сложность, которая сравнима со сложностью наиболее быстрых алгоритмов

План:

Введение

• 1 Постановка задачи
• 2 Пример
• 3 Алгоритмы решения
  • 3.1 В произвольной мультипликативной группе
  • 3.2 В кольце вычетов по простому модулю
    • 3.2.1 Алгоритмы с экспоненциальной сложностью
    • 3.2.2 Субэкспоненциальные алгоритмы
  • 3.3 В произвольном конечном поле
  • 3.4 В группе точек на эллиптической кривой
• 4 Вычислительная сложность и приложения в криптографии

Введение

Дискретное логарифмирование (DLOG) – задача обращения функции g x в некоторой конечной мультипликативной группе G .

Наиболее часто задачу дискретного логарифмирования рассматривают в мультипликативной группе кольца вычетов или конечного поля, а также в группе точек эллиптической кривой над конечным полем. Эффективные алгоритмы для решения задачи дискретного логарифмирования в общем случае неизвестны.

Для заданных g и a решение x уравнения g x = a называется дискретным логарифмом элемента a по основанию g . В случае, когда G является мультипликативной группой кольца вычетов по модулю m , решение называют также индексом числа a по основанию g . Индекс числа a по основанию g гарантированно существует, если g является первообразным корнем по модулю m .

1. Постановка задачи

Пусть в некоторой конечной мультипликативной абелевой группе G задано уравнение

Решение задачи дискретного логарифмирования состоит в нахождении некоторого целого неотрицательного числа x , удовлетворяющего уравнению (1). Если оно разрешимо, у него должно быть хотя бы одно натуральное решение, не превышающее порядок группы. Это сразу даёт грубую оценку сложности алгоритма поиска решений сверху - алгоритм полного перебора нашел бы решение за число шагов не выше порядка данной группы.

Чаще всего рассматривается случай, когда , то есть группа является циклической, порождённой элементом g . В этом случае уравнение всегда имеет решение. В случае же произвольной группы вопрос о разрешимости задачи дискретного логарифмирования, то есть вопрос о существовании решений уравнения (1), требует отдельного рассмотрения.

2. Пример

Проще всего рассмотреть задачу дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа.

Пусть задано сравнение

Будем решать задачу методом перебора. Выпишем таблицу всех степеней числа 3. Каждый раз мы вычисляем остаток от деления на 17 (например, 3 3 ≡27 - остаток от деления на 17 равен 10).

Теперь легко увидеть, что решением рассматриваемого сравнения является x=4 , поскольку 3 4 ≡13.

На практике модуль обычно является достаточно большим числом, и метод перебора является слишком медленным, поэтому возникает потребность в более быстрых алгоритмах.

3. Алгоритмы решения

3.1. В произвольной мультипликативной группе

Разрешимости и решению задачи дискретного логарифмирования в произвольной конечной абелевой группе посвящена статья J. Buchmann, M. J. Jacobson и E. Teske. В алгоритме используется таблица, состоящая из пар элементов и выполняется умножений. Данный алгоритм медленный и не пригоден для практического использования. Для конкретных групп существуют свои, более эффективные, алгоритмы.

3.2. В кольце вычетов по простому модулю

Рассмотрим уравнение

где p - простое, b не делится на p . Если a является образующим элементом группы , то уравнение (2) имеет решение при любых b . Такие числа a называются ещё первообразными корнями, и их количество равно φ(p − 1) , где φ - функция Эйлера. Решение уравнения (2) можно находить по формуле:

Однако, сложность вычисления по этой формуле хуже, чем сложность перебора.

Следующий алгоритм имеет сложность

Алгоритм

Конец алгоритма

Существует также множество других алгоритмов для решения задачи дискретного логарифмирования в поле вычетов. Их принято разделять на экспоненциальные и субэкспоненциальные. Полиномиального алгоритма для решения этой задачи пока не существует.

3.2.1. Алгоритмы с экспоненциальной сложностью

3.2.2. Субэкспоненциальные алгоритмы

Данные алгоритмы имеют сложность арифметических операций, где и - некоторые константы. Эффективность алгоритма во многом зависит от близости c к 1 и d - к 0.

Наилучшими параметрами в оценке сложности на данный момент является , .

Для чисел специального вида результат можно улучшить. В некоторых случаях можно построить алгоритм, для которого константы будут , . За счёт того, что константа c достаточно близка к 1, подобные алгоритмы могут обогнать алгоритм с .

3.3. В произвольном конечном поле

Задача рассматривается в поле GF(q) , где q = p n , p - простое.

3.4. В группе точек на эллиптической кривой

Рассматривается группа точек эллиптической кривой над конечным полем. В данной группе определена операция сложения двух точек. Тогда m P - это . Решением задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой является нахождение такого натурального числа m , что

для заданных точек P и A .

До 1990 года не существовало алгоритмов дискретного логарифмирования, учитывающих особенностей строения группы точек эллиптической кривой. Впоследствии, Менезес (Alfred J. Menezes), Окамото (Tatsuaki Okamoto) и Венстон (Scott A. Vanstone) предложили алгоритм, использующий спаривание Вейля. Для эллиптической кривой, определённой над полем G F (q ) , данный алгоритм сводит задачу дискретного логарифмирования к аналогичной задаче в поле G F (q k ) . Однако, данное сведение полезно, только если степень k мала. Это условие выполняется, в основном, для суперсингулярных эллиптических кривых. В остальных случаях подобное сведение практически никогда не приводит к субэкспоненциальным алгоритмам.

4. Вычислительная сложность и приложения в криптографии

Задача дискретного логарифмирования является одной из основных задач, на которых базируется криптография с открытым ключом. Идея, лежащая в основе подобных систем, опирается на высокую вычислительную сложность обращения некоторых числовых функций. В данном случае, операция дискретного логарифмирования является обратной к показательной функции. Последняя вычисляется достаточно просто, в то время как даже самые современные алгоритмы вычисления дискретного логарифма имеют очень высокую сложность, которая сравнима со сложностью наиболее быстрых алгоритмов разложения чисел на множители.

Другая возможность эффективного решения задачи вычисления дискретного логарифма связана с квантовыми вычислениями. Теоретически доказано, что, используя их, дискретный логарифм может быть вычислен за полиномиальное время . В любом случае, если полиномиальный алгоритм вычисления дискретного логарифма будет реализован, это будет означать практическую непригодность криптосистем на его основе.