Доказать что предел последовательности равен 0. Вычисление пределов функций онлайн
Члена последовательности.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется |xn-a |
Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))=)=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.
Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.
Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.
Совет 2: В какой последовательности смотреть фильмы Марвел про мстителей?
Вселенная «Марвел» основана на комиксах издательства Marvel, но далеко не все экранизации комиксов – часть киновселенной. В нее входит только снятое Marvel Studios или совместно с ней. Киновселенная «Марвел» разделена на фазы, каждый фильм в ней имеет свое место. Однако сериалы и короткометражки, являясь частью вселенной, в хронологии могут быть между фазами. Т.е. могут не принадлежать к конкретным частям киновселенной.
Сериалы Netflix и канала abc отличаются от вселенной «Марвел». У киновселенной есть две особенности:
- каждый фильм наделен собственной историей;
- глобальный сюжет переходит из одного фильма в другой, в итоге каждый из них двигает этот сюжет вперед.
Сериалы канала abc связаны с глобальным сюжетом киновселенной, но не продвигают, а только дополняют его. Сериалы Netflix - это и вовсе самостоятельные истории, со своим сюжетом и своим глобальным миром.
За годы существования вселенная «Марвел» разрослась, и продолжает расширяться. Поэтому разобраться с хронологией ее фильмов неподготовленному человеку сложно, ведь не каждому понятно, что нельзя смотреть «Железного человека 3» сразу после «Железного человека 2». А чтобы разобраться, надо изучить хронологию, которая включает три фазы.
Первая фаза:
- Фильм «Железный человек», 2008 года. Эта картина закладывает фундамент и общий тон следующим экранизациям, ее действие происходит в 2010 году.
- Фильм «Невероятный Халк», 2008 года. В этой экранизации зрители понимают, что истории двух разных героев случаются в одной вселенной, поскольку и в «Железном человеке», и в «Невероятном Халке» упомянут Щ.И.Т., программа «суперсолдат», встречается логотип StarkIndusries и т.д. Действие фильма разворачивается в 2011 году. Картина не продолжает историю фильма «Халк» 2003 года.
- Фильм «Железный человек 2», 2010 года. Эта история - нечто вроде затравки к Мстителям, она вводит в сюжет Черную Вдову, дает много предпосылок к будущим проектам и рассказывает о новых проблемах Тони Старка, с которыми он столкнулся через год после первой части «Железного человека».
- Фильм «Тор», 2011 года. Это тоже подготовка к Мстителям, и главная цель картины - познакомить зрителя с Тором и Локи. Действие сюжета происходит параллельно с историей «Невероятного Халка» и «Железного человека 2».
- Фильм «Первый мститель», 2011 года. В нем рассказывают о Капитане Америка - первом супергерое Земли, который, как и Халк, появился из-за сыворотки «суперсолдат». Первая и последняя сцены фильма происходят в 2011 году, а основные действия - в период с 1943 по 1945 годы. В фильме появляется Тессеракт, один из шести Камней Бесконечности, и выясняется, что «отцом» Щ.И.Т.а была организация СНР (Стратегический Научный Резерв).
- Короткометражка «Консультант», 2011 года. Здесь разъясняется финальная сцена фильма «Невероятный Халк».
- Короткометражка «Забавный случай по пути к молоту Тора», 2011 года.
- Фильм «Мстители», 2012 года. Действие сюжета разворачивается в 2012 году, когда Щ.И.Т. ради спасения мира объявляет «общий сбор».
Вторая фаза:
- Фильм «Железный человек 3», 2013 года. Действие происходит зимой 2012 года, когда Тони Старк возвращается домой после «Битвы за Нью-Йорк», но его мучают кошмары. Спать он не может, и посвящает свое время созданию новых костюмов.
- Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», 2013 года.
- Фильм «Тор 2: Царство Тьмы», 2013 года. В картине рассказывают, как Тор вернулся домой и обнаружил, что все девять миров погружены в хаос. И о том, как Тор наводил порядок.
- Короткометражка «Да здравствует король», 2014 год. Это история о Треворе Слеттери, которая происходит после событий фильма «Железный человек 3».
- Фильм «Первый мститель: Другая Война», 2014 года. Это история о Капитане Америка, который не может вернуться домой, потому ищет себе новое дело и становится агентом Щ.И.Т.а, работая в команде с Черной Вдовой. Фильм лучше смотреть между 16 и 17 сериями «Агентов Щ.И.Т.а».
- Фильм «Стражи Галактики», 2014 год. Смотреть надо после 1 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а». Это история о преступниках вне Земли, которые создали команду, чтобы остановить более опасного преступника Ронана, и не дать ему получить Камень Бесконечности.
- Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», второй сезон, 2014 год.
- Сериал «Агент Картер», 2016 год. Это история о том, как Пегги Картер и дворецкий Эдвин Джарвис помогают Говарду Старку вернуть его доброе имя.
- Фильм «Мстители: Эра Альтрона», 2015 года. В этой картине Мстители снова собрались, чтобы спасти мир, но этот раз они стали полноценной командой. Смотреть лучше между 19 и 20 сериями второго сезона «Агентов Щ.И.Т.а».
- Фильм «Человек-Муравей», 2015 года. Смотреть после 2 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а».
Третья фаза:
- Фильм «Первый Мститель: Противостояние», 2016 года. После «Заковийского договора» Мстители обязаны подчиняться правительству, но это разбивает их на два лагеря: тех, кто за регистрацию, и тех, кто против нее.
Это все фильмы, которые уже вышли в прокат. Но не вся история. В третьей фазе планируется еще 14 фильмов, а потом - четвертая фаза.
Связанная статья
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a| < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x n < a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке x o, если предел
.
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.
Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3 . . Найти .
Решение. .
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3 .4 . Найти ().
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.
Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Виджет для вычисления пределов on-line
В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.
Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .
Определение
.
{
x n }
,
если для любого положительного числа ε > 0
существует такое натуральное число N ε
,
зависящее от ε
,
что для всех натуральных n > N ε
выполняется неравенство
|
x n - a|
< ε
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .
Преобразуем неравенство:
;
;
.
Открытый интервал (a - ε, a + ε ) называют ε - окрестностью точки a .
Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .
Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.
Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1)
.
Определение, что число a не является пределом
Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.
Число a
не является пределом последовательности
,
если существует такое ,
что для любого натурального n
существует такое натуральное m >
n
,
что
.
Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2)
.
Утверждение, что число a
не является пределом последовательности
, означает, что
можно выбрать такую ε
- окрестность точки a
,
за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности
.
Рассмотрим пример
. Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε
- окрестность точки с ε = 1
.
Это будет интервал (-1, +1)
.
Все элементы, кроме первого, с четными n
принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n
находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2
.
Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.
Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое ,
так что, для любого натурального n
,
существует нечетное ,
для которого выполняется неравенство
.
Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.
Эквивалентное определение
Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a .
Определение окрестности точки
Окрестностью точки a
называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: ,
где ε 1
и ε 2
- произвольные положительные числа.
Тогда определение предела будет следующим.
Эквивалентное определение предела последовательности
Число a
называется пределом последовательности
,
если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N
,
что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.
Это определение можно представить и в развернутом виде.
Число a
называется пределом последовательности
,
если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N
,
зависящее от и ,
что для всех натуральных выполняются неравенства
.
Доказательство равносильности определений
Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.
Пусть число a
является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любого положительного числа ε
выполняются неравенства:
(4)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1
и ε 2
.
И пусть ε
- наименьшее из них: .
Тогда ;
;
.
Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при .
Тогда и неравенства (5) выполняются при .
То есть мы нашли такую функцию ,
при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
.
Первая часть доказана.
Теперь пусть число a
является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить .
Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.
Примеры
Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .
Пример 1
Доказать, что .
(1)
.
В нашем случае ;
.
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.
Пример 2
С помощью определения предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.
Пример 3
.
Вводим обозначения ,
.
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ...
имеем:
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Пример 4
Используя определение предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.