Энергия ферми формула. Энергия Ферми

Фе́рми-эне́ргия - значение энергии, ниже которой при температуре абсолютного нуля Т=0 К, все энергетические состояния системы частиц, подчиняющихся Ферми - Дирака статистике , заняты, а выше - свободны. Уровень Ферми - некоторый условный уровень, соответствующий энергии Ферми системы фермионов ; в частности электронов твердого тела, играет роль химического потенциала для незаряженных частиц. Статистический смысл уровня Ферми - при любой температуре его заселенность равна 1/2 .

Положение уровня Ферми является одной из основных характеристик состояния электронов (электронного газа) в твердом теле. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами, определяется функцией Ферми F(E):

F(E) =1/(e (E-E F)/kT +1) , где

Е - энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется,

E F - энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична;

Т - абсолютная температура;

При абсолютном нуле из вида функции следует, что

F(E) = 1 при Е F ;

F(E) = 0 при Е >E F .

То есть все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, полностью заняты электронами, а выше него свободны.

Энергия Ферми E F - максимальное значение энергии, которое может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. Энергия Ферми совпадает со значениями химического потенциала газа фермионов при Т =0 К , то есть уровень Ферми для электронов играет роль уровня химического потенциала для незаряженных частиц. Соответствующий ей потенциал j F = E F /е называют электрохимическим потенциалом.

Таким образом, уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT ). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 свободны от электронов.

Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.

С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2. В реальных условиях изменение E Fс увеличением температуры мало. Например, для Ag, имеющего при Т=0 значение E F равное 5, 5 эВ, изменение энергии Ферми при температуре плавления составляет всего около 0, 03% от исходного значения.

В полупроводниках при очень низких температурах уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны . (Для донорных полупроводников - полупроводников n -типа проводимости - уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем). С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, и уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны. Аналогичные закономерности проявляются и полупроводниках р -типа проводимости.

Существование энергии Ферми является следствием Принципа Паули . Величина энергии Ферми существенно зависит от свойств системы. Понятие об энергии Ферми используется в физике твердого тела, в ядерной физике, в астрофизике и т. д.

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, помимо плотности квантовых состояний N(W) необходимо знать вероятность того, что данное состояние с энергией W занято частицей, т.е. нужно знать функцию распределения f(W ). В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми – Дирака

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; W F – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу при условии постоянства объема и температуры.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми – Дирака при различных температурах. Из формулы следует, что в случае Т = 0 в интервале энергии имеем f n = 1 и f n = 0 для . Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

Рассмотрим случай, когда Т > 0. Из распределения Ферми – Дирака для значения энергии, равной значению энергии Ферми (W = W F ), имеем f n = 1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность наполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. При Т > 0 часть электронов в результате теплового движения перейдет в состояния с энергией, большей энергии ферми (W > W F ), и соответственно часть состояний, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. В этом случае число частиц, перешедших на более высокие энергетические уровни, будет равно количеству образовавшихся свободных состояний в области W < W F .

Произведем оценку области изменения функции распределения f n (W ) для случая Т > 0. Для этого подсчитаем f n (W ) для разных значений энергии. Для энергий, отличающихся от W F на ± kT , значение на f n (W ) составляет (1+е ) -1 = 0,27 и (1+1/е ) -1 = 0,73. При W - W F = ± 2kT значения f n равны 0,118 и 0,882 , а при W - W F = ± 3kT – 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля лишь в пределах (23) kT вблизи значения W = W F (рис. 1).

Рис. 1. Вид функции распределения Ферми – Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака характеризует вероятность заполнения данного квантового состояния электроном. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией W электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электронов.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией W – W F >> kT , выражения для f n и f p имеют вид:

,

т.е. совпадают с функцией распределения Больцмана для частиц, подчиняющихся классической статистике. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то электронный газ невырожден и соответственно полупроводник с таким распределением носителей заряда принято называть невырожденным.

Таким образом, для большинства полупроводников (невырожденных)можно пользоваться статистикой Максвелла - Больцмана и только в некоторых случаях для полупроводников (вырожденных)необходимо использовать статистику Ферми - Дирака. Разница в этих двух функциях распределения электронов по энергиям показана на рис. 2.

Положение уровня Ферми в полупроводнике будет определять и дрейфовую и диффузионную составляющие тока.

Одно из фундаментальных положений физики твердого тела – постоянство (одинаковость) уровня Ферми для всех частей равновесной системы твердых тел, какой бы разнородной оно не была. Другими словами, в условиях равновесия, когда направленного движения носителей заряда нет, должно иметь место условие: , т.е. , тогда ток в полупроводнике .

Рис. 2. Вероятность заполнения электронами энергетических уровней при различных температурах: сплошная – по статистике Ферми-Дирака, пунктир – по статистике Максвелла-Больцмана для электронов в зоне проводимости и в валентной зоне

Для собственного полупроводника уровень Ферми определяется выражением: ,

где – эффективная масса дырок и электронов соответственно.

При температуре абсолютного нуля уровень Ферми для собственного полупроводника лежит в середине запрещенной зоны. У собственного полупроводника скорость изменения уровня Ферми с температурой пропорциональна отношению эффективных масс дырок и электронов. В результате этого с повышением температуры уровень Ферми отдаляется от зоны с тяжелыми носителями заряда, приближаясь к зоне с легкими носителями заряда. Например, при уровень Ферми с повышением температуры линейно смещается к днй зоны проводимости. И если расстояние от уровня Ферми до этой зоны становится соизмеримо с kT , то в ней наступает вырождение и соответствующий интеграл Ферми – Дирака уже не может быть заменен экспонентой. При этом, чем сильнее различаются эффективные массы электронов и дырок, тем раньше наступает вырождение.

В случае положение уровня Ферми не зависит от температуры и определяется серединой запрещенной зоны: .

Более точный анализ показывает, что сама ширина запрещенной зоны изменяется с температурой. Рост амплитуды тепловых колебаний атомов решетки приводит к ее уменьшению. Кроме того, с увеличением температуры изменяются межатомные расстояния, что также оказывает влияние на ширину запрещенной зоны. В результате зависимость ΔW з(Т ) может иметь сложный характер. В качестве примера на рис. 3 показаны изменения ширины запрещенной зоны в зависимости от температуры для германия, кремния и арсенида галлия.

Рис. 3. Зависимость ширины запрещенной зоны германия, кремния и арсенида галлия от температуры

Для этих полупроводников значения ширины запрещенной зоны при 0 К составляют 0,89; 1,16 и 1,52 эВ соответственно. У них, как следует из рис. 3, в диапазоне температур 175 – 350 К ширина запрещенной зоны меняется линейно с температурой. При этом температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны α = d ΔW з/dT < 0 зависит от материала полупроводника (табл. 1). У PbS α < 0, ширина запрещенной зоны возрастает от 0,34 эВ при 0 К до 0,41 эВ при 300 К.

Таблица 1

Температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны

В этих случаях зависимость подчиняется линейному закону вида

где ΔW з(0) – экстраполированная ширина запрещенной зоны при 0 К.

Теоретический анализ показывает:

откуда следует, что

Таким образом, если ширина запрещенной зоны полупроводника линейно зависит от температуры, график зависимости ln(n i T -3/2) от 1/Т также представляет собой прямую линию, наклон которой характеризуется значением ΔW з(0), которое является экстраполированной шириной запрещенной зоны при 0 К. Истинное значение ширины запрещенной зоны полупроводника при данной температуре определяется по формуле .

Для примесных полупроводников уровень Ферми можно определить из соотношений (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

,

где N C , N V – эффективная плотность разрешенных уровней в зоне проводимости и валентной зоне соответственно, N Д, N А – количество донорных и акцепторных уровней (степень легирования).

При решении задач удобнее использовать следующие соотношения (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

.

Таким образом, положение уровня Ферми в примесных полупроводниках зависит от температуры, степени легирования и ширины запрещенной зоны.

Для определения поведения уровня Ферми в области низких температур необходимо уточнить функцию Ферми – Дирака для примесных полупроводников.

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь с концентрацией N Д. Если бы на примесном уровне согласно принципу Паули могли расположиться 2 электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы Ферми – Дирака

в которой вместо W следовало бы поставить W Д – энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне W Д может быть только один электрон (атом донора может удержать один электрон), следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизированным состоянием. Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией W Д будет определяться выражением

Предэкспоненциальный множитель 1/2 в общем случае можно записать через g -1 . Таким образом, для одновалентной донорной примеси (может отдать для участия в проводимости только 1 электрон), примесный уровень двукратно вырожден и фактор (степень) спинового вырождения g = 2.

Аналогично для акцепторного полупроводника, например кремния, легированного бором. Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует 3 ковалентных связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершенную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная W А. В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заряженный ион бора. Таким образом, на энергетическом уровне акцепторной примеси находится 1 электрон с произвольным направлением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется 2 электрона с антипараллельными спинами, в случае когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизированное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцепторного уровня g = 2.

В области низких температур (рис. 4) положение уровня Ферми будет определяться соотношением вида

где – g фактор спинового вырождения,

а энергия активации будет:

т.е. равна половине энергии ионизации донорной примеси. В невырожденном донорном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси.

Строгий теоретический анализ показывает, что в области достаточно низких температур (несколько градусов по шкале Кельвина), когда gN c <N Д, уровень Ферми вначале повышается до некоторого максимального значения, а затем начинает снижаться и при gN c =N d снова имеем W F =1/2 (W П + W Д), как и для случая Т=0. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростом N c и в области температуры, когда gN c >N Д, уровень Ферми продолжает снижаться. Такому перемещению уровня Ферми соответствует экспоненциальная температурная зависимость концентрации электронов

Эта область изменения уровня Ферми с температурой, которая описывается предыдущей формулой, является областью слабой ионизации примеси (или областью вымораживания). Она обозначена цифрой 1 на рис. 4, на котором проиллюстрировано изменение уровня Ферми и концентрации электронов в зависимости от температуры для донорного полупроводника.

Рис. 4. Изменение положения уровня Ферми (а ) и концентрации электронов (б ) с температурой для донорного полупроводника

При дальнейшем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости становится сравнимой с концентрацией примеси и предыдущие выражения для W F и n n в этом случае неприменимы. Однако теперь можно рассматривать другой крайний случай, когда температура достаточно высока и выполняется неравенство

При этом функция Ферми аппроксимируется выражением , которому соответствует:

Это означает, что практически вся донорная примесь ионизирована, и концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры. Эта область температур, при которой имеет место полная ионизация примеси, носит название области истощения примеси (или область полной ионизации примеси) и на рис.4 отмечена цифрой 2.

Условие полной ионизации донорной примеси, когда n n = N Д , соответствует положению уровню Ферми на несколько kT ниже уровня примеси W Д. Это значит, что при повышении температуры уровень Ферми, понижаясь, пересекает уровень W Д и уходит вниз. Температура, при которой W F = W Д, носит название температуры истощения T S , ее можно определить из условия

Как следует из выражения, температура истощения тем ниже, чем меньше энергия ионизации (W П – W Д), и концентрация донорной примеси N Д и чем больше эффективная масса электронов, определяющая величину N С . При малых значениях (W П – W Д) истощение примеси наступает при очень низких температурах. Например, в электронном германии, легированном сурьмой в количестве N Д = 10 16 см -3 , для которой энергия ионизации равна 0,0096 эВ, насыщение наступает уже при Т S = 32К.

При дальнейшей повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет осуществляться за счет переходов электронов из валентной зоны. В этом случае положение уровня Ферми и концентрация электронов будут определяться уравнениями для W Fi . и n i . На рис. 4 область 3 соответствует области собственной проводимости. В этом случае W Fi и можно определить

Отсюда получаем

Анализ этого выражения показывает, что температура T i , при которой наступает собственная проводимость у донорного полупроводника, тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значение эффективных масс носителей заряда.

Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение концентрации электронов и положения уровня Ферми в запрещенной зоне электронного полупроводника во всей области изменения температуры.

В качестве примера на рис. 5 приведены температурные зависимости уровня Ферми и концентрация равновесных электронов n 0 и дырок р 0 для германия, легированного сурьмой в количестве N Д ≈ 10 16 см -3 . Кроме того, на этих кривых пунктиром показан ход W Fi и n i в собственном германии. При построении графиков учтена зависимость ширины запрещенной зоны германия от температуры.

Рис. 5. Температурная зависимость уровня Ферми (а) и концентрации носителей заряда (б) для германия, легированного сурьмой

Из этого рисунка следует, что при температуре абсолютного нуля уровень Ферми в германии расположен посередине между дном зоны проводимости W П и уровнем донорной примеси W Д. При повышении температуры он опускается и приближается к уровню примеси W Д. При температуре насыщения T S на донорной примеси электроны находятся в количестве, равном:

а в зоне проводимости соответственно 1/3 N Д электронов. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми продолжает опускаться и наступает область истощения; вся примесь ионизирована, и концентрация электронов проводимости остается постоянной и равной n n = N Д. В этой температурной области имеет место уже ионизация атомов основного вещества, и появляются неосновные носители заряда – дырки. Их концентрация резко возрастает с ростом температуры согласно соотношению

Когда уровень Ферми достигает середины запрещенной зоны, то n n = p n = n i и полупроводник от примесного переходит к собственному. При дальнейшем повышении температуры уровень Ферми приближается к той зоне, которая имеет меньшую эффективную плотность состояний.

Уровень Ферми для кремния в зависимости от концентрации примесей и температуры приведен на рис. 6. Здесь же приведена зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.

Рис. 6. Зависимость уровня Ферми в кремнии от температуры и концентрации примесей

В акцепторном полупроводнике, как и в случае донорной примеси, при высоких температурах наступает область истощения, характеризующаяся полной ионизацией атомов акцепторной примеси. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми поднимается к середине запрещенной зоны, и полупроводник ведет себя как собственный.

1. При Т = 300ºК уровень Ферми в n-полупроводнике лежит, как правило, ниже уровня донорной примеси W Д, но выше середины запрещенной зоны.
В p-полупроводнике уровень Ферми расположен выше уровня акцепторной примеси W А, но ниже середины запрещенной зоны.

2. Чем сильнее легирован полупроводник n-типа, тем ближе уровень Ферми к дну зоны проводимости, для p-типа: чем больше акцепторной примеси, тем ближе уровень Ферми к валентной зоне. Таким образом, чем сильнее легирован полупроводник, тем ближе уровень Ферми к зоне, отвечающей за тип проводимости (зона основных носителей заряда).

3. С ростом температуры уровень Ферми в n-полупроводнике снижается к середине запрещенной зоны, а в p-полупроводнике повышается к середине запрещенной зоны, т.е. примесный полупроводник ведет себя как собственный.

4. Чем сильнее легирован материал, тем выше максимальная рабочая температура прибора, использующего примесный характер полупроводника.

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.

1 - ; 2 - ; 3 - .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь N d - концентрация донорных уровней,n d - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN d -n d ).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

Вырожденный электронный газ в металле.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E < μ 0 , и =0, если E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT << E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е < Е F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, - это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е - Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.

Уровень Ферми . Несмотря на огромное количество свободных электронов в металле, располагаются они по энергетическим уровням потенциальной ямы в строгом порядке. Каждый из электронов занимает вакантное место на возможно более низком уровне. И это вполне естественно, так как всякая система, будучи предоставлена самой себе, то есть в отсутствие внешнего воздействия, всегда стремится перейти в состояние с наименьшей энергией. Распределение электронов по уровням подчинено принципу Паули, согласно которому никакие две частицы не могут находиться в совершенно одинаковых состояниях. В силу этого на каждом энергетическом уровне может расположиться не более двух электронов, да и то имеющих различные направления спинов. По мере укомплектования нижних уровней происходит заселение все более высоко расположенных уровней. Если в рассматриваемом образце металла имеется N свободных электронов, то в отсутствие теплового возбуждения, то есть при абсолютном нуле температуры (T = 0), все свободные электроны разместятся попарно на N/2 нижних уровнях (рис. 47). Самый высокий энергетический уровень потенциальной ямы металла, занятый электронами при Т = 0, называется уровнем Ферми * и обозначается буквой μ или W F . Энергия электрона, находящегося на этом уровне, называется энергией Ферми. Все энергетические уровни, расположенные выше уровня Ферми, при Т = 0 оказываются абсолютно пустыми.

* (Свое название этот уровень получил в честь выдающегося итальянского физика Э. Ферми, разработавшего совместно с известным английским физиком П. Дираком теорию поведения коллективов частиц, ведущих себя как электроны в металле. )

Вполне очевидно, что для выхода электронов, находящихся на уровне Ферми, за пределы металла должна быть совершена работа

Величина А, равная энергетическому расстоянию между уровнем удаленного электрона ВВ и уровнем Ферми, называется термодинамической работой выхода или просто работой выхода. Именно эта величина определяет поведение различных металлов при установлении контакта между ними или при создании контакта металл - полупроводник.

Функция распределения Ферми - Дирака . Характер распределения частиц по разным уровням или состояниям в тех или иных условиях определяется так называемой функцией распределения. В общем случае функция распределения описывает вероятность занятости того или иного уровня частицами. Если достоверно известно, что данный уровень заселен частицей, то говорят, что вероятность обнаружения частицы на этом уровне равна 1. Если же с полной достоверностью можно сказать, что на рассматриваемом уровне нет частиц, то говорят, что вероятность обнаружения частиц в рассматриваемом состоянии равна 0. Однако во многих случаях нельзя достоверно утверждать, что уровень заполнен или пуст. Тогда вероятность нахождения частицы на рассматриваемом уровне отлична от нуля, но меньше единицы. При этом чем больше вероятность обнаружить частицу на рассматриваемом уровне, тем ближе к единице оказывается значение функции распределения для соответствующего состояния.

Если по оси абсцисс откладывать значения энергии, соответствующей разным уровням, от дна потенциальной ямы до ее потолка, а по оси ординат - вероятность заполнения электронами соответствующих уровней, то мы получим график функции распределения Ферми - Дирака При Т = 0 он имеет вид, приведенный на рисунке 48. Часто этот график называют ступенькой Ферми. Из него видно, что при Т = 0 все уровни, вплоть до уровня Ферми, оказываются занятыми электронами. В точке W = μ функция распределения скачкообразно падает до нуля; это значит, что все уровни, расположенные выше уровня Ферми, пусты.

Влияние температуры . При температурах, отличных от нуля, вид графика зависимости отличается от приведенного на рисунке 48. Повышение температуры приводит к появлению теплового возбуждения электронов, которое они получают от тепловых колебаний кристаллической решетки. Благодаря этому возбуждению часть электронов, расположенных на наиболее высоких заполненных уровнях, переходит на пустые уровни, лежащие выше уровня Ферми (рис. 49). Вероятность обнаружения электронов на этих уровня становится уже отличной от нуля. Одновременно с этим из-за ухода части электронов с некоторых уровней, расположенных непосредственно под уровнем Ферми, вероятность заполнения их окажется меньше единицы. Таким образом, повышение температуры приводит к некоторому "размытию" границы ступеньки Ферми: вместо скачкообразного изменения от 1 к 0 функция распределения совершает плавный переход. На рисунке 50 пунктиром показан вид графика функции распределения электронов по уровням при Т = 0, а сплошными линиями отражены распределения электронов при температурах, отличных от нуля. Площадь криволинейного треугольника, расположенного под кривой распределения правее значения W F (площадка 2), пропорциональна числу электронов, перешедших на возбужденные уровни, а площадь такого же треугольника, расположенного слева от значения W F над кривой распределения (площадка 1), пропорциональна числу электронов, ушедших с уровней, которые ранее были заполненными, то есть числу освободившихся под уровнем Ферми мест. Понятно, что площади этих двух треугольников одинаковы, так как с разных позиций они выражают одно и то же число электронов.

Следует отметить, что в диапазоне рабочих температур степень размытия кривой распределения электронов в металле очень невелика. Объясняется это тем, что тепловому возбуждению подвергаются только те электроны, которые расположены на энергетических уровнях, непосредственно примыкающих к уровню Ферми. Можно качественно оценить энергетическую глубину залегания уровней, подвергающихся возбуждению. Из молекулярной физики известно, что кинетическая энергия частиц, обусловленная тепловым движением, выражается так:

Следовательно, значение энергии, которую могут передать электронам испытывающие тепловые колебания атомы кристаллической решетки, по порядку величины равно kT. При комнатной температуре в то время как энергия Ферми для металлов при этой температуре лежит в диапазоне от 3 до 10 эВ. Поэтому оказывается, что в обычных условиях в переходах на более высокие энергетические уровни могут принимать участие не более 1% всех свободных электронов. Причем это как раз те электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Что же касается электронов, заселяющих энергетические уровни, расположенные в глубине потенциальной ямы и удаленные от уровня Ферми больше чем на kT, то они не принимают участия в тепловом возбуждении, из-за чего распределение этих электронов остается таким же, как и при абсолютном нуле.

Физический смысл уровня Ферми . Обсуждая в §6 способность твердых тел проводить электрический ток, мы пришли к выводу, что проводимость связана с возможностью перехода электронов на более высокие энергетические уровни, то есть определяется возможностью получения электронами ускорения во внешнем электрическом поле. В металлах при Т > 0 такая возможность имеется только у электронов, находящихся в области размытия функции распределения, так как реальные электрические поля не в состоянии вырвать электроны из глубины потенциальной ямы и перевести их на свободные уровни, энергия которых выше W F (перейти же на соседние, более высоко расположенные уровни глубинные электроны не могут, потому что все эти уровни заняты). Следовательно, при Т > 0 энергия Ферми имеет смысл наиболее вероятной или средней энергии электронов металла, могущих принять участие в проводимости при данной температуре. Эти электроны ответственны не только за создание электрической проводимости. Именно они определяют вклад электронной теплоемкости в общую теплоемкость кристалла и в значительной степени определяют теплопроводность кристалла.

Уровень Ферми в металлах практически не изменяет своего положения по мере повышения температуры. С ростом температуры степень возбуждения электронов растет, и они переходят на более высоко расположенные уровни. Одновременно с этим возбуждению подвергаются и все более глубоко расположенные уровни, имеющие меньшую энергию. Кривая распределения при Т 2 > Т 1 (см. рис. 50) "размывается" более сильно, чем при T 1 , но в равной степени вправо и влево. Поэтому средняя энергия электронов, принимающих участие в проводимости, остается практически неизменной. Это тем более справедливо, что между возбужденными уровнями идет постоянный обмен электронами.