Фигуры с равными диагоналями.

Количество возможных проведенных диагоналей в многоугольнике находится по формуле:

d = (n² – 3 * n)/2,

где d - число возможных разных диагоналей, n - количество вершин многоугольника.

Из условия известно, что в многоугольнике 9 диагоналей. Подставим данное значение в формулу и найдем количество вершин многоугольника:

(n² – 3 * n)/2 = 9;

n² – 3 * n = 2 * 9 (по пропорции);

n² – 3 * n = 18;

n² – 3 * n – 18 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение с одной переменной.

Дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = (- 3)² - 4 * 1 * (- 18) = 9 + 72 = 81.

Найдем корни уравнения:

n₁ = (- b + √D)/(2 * a) = (- (- 3) + √81)/(2 * 1) = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6.

n₂ = (- b - √D)/(2 * a) = (- (- 3) - √81)/(2 * 1) = (3 - 9)/2 = - 6/2 = - 3 - данный корень не имеет смысла, так как количество вершин многоугольника не может быть отрицательным.

Ответ: n = 6.

Для многоугольников диагональ - это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Для решения этой задачи нам надо определить количество вершин многоугольника, зная количество его диагоналей.

Зависимости между вершинами и диагоналями многоугольника

Количество диагоналей многоугольника будет равно количеству вершин минус три, так как из общего количества вершин, к которым можно проводить диагонали надо вычесть две соседние и саму эту вершину.
Примем следующие обозначения:

n - количество вершин многоугольника;
N = 9 - количество диагоналей многоугольника;
(n - 3)- количество диагоналей многоугольника, которое можно провести из каждой вершины.

Тогда количество диагоналей многоугольника будет равно:
N = n (n - 3) / 2;
На два делим потому, что каждую диагональ мы посчитали дважды.

Расчет количества вершин многоугольника

N = n (n - 3) / 2;

9 = (n^2 - 3n) / 2;
n^2 - 3n - 18 = 0;
D = 81;
n1 = (3 - 9) / 2 = -3 не удовлетворяет условиям;
n2 = (3 + 9) / 2 = 6;
Значит, число вершин у нас равно n = 6;

Ответ: У шестиугольника 9 диагоналей.

«Правильные многоугольники задачи» - Задача 2. 2. 1. Задача 4. Найдите площадь правильного n-угольника, если: n=4, n=3, P=24 см; n=6, r=9 см; n=8, Сумма всех углов n-угольника равна. Радиус вписанной окружности. Заполните пустые клетки таблицы (a- сторона многоугольника). Бинарный тест. Правильно. Найдите углы правильного n-угольника, если: n=3; n=5; n=6; n=10.

«Многоугольники виды» - Выпуклый, невыпуклый многоугольник. На рис.(а) показана простая ломаная, а на рис. (б), (в),(г)– ломаные с самопересечением. A*n=180° *n-360° отсюда следует, 360°=180°n-a°n. Правильные многоугольники. Ломаная. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Звенья, имеющие общий конец, назовем смежными, а точки A1 и An – концами ломаной.

«Многоугольники 9 класс» - Число диагоналей из одной вершины. А6. А1 А2 , А1 А4 – диагонали многоугольника. Правильный многоугольник. Все углы равны и все стороны равны. План урока. Все стороны равны. Многоугольник. А1. А2. А5. Невыпуклый. Углы, составленные со-седними сторонами, на-зываются внутренними. Элементы многоугольника.

«Измерение площади многоугольника» - Черевиной Оксана Николаевны. Площадь многоугольника. Измерение площадей многоугольников способом разбиения фигуры на квадраты. Как измерить площадь фигуры? 3. «Площадь многоугольника» Геометрия 8 класс. Изучение нового. 4. 1. Абу-р-Райхан ал-Буруни. Цели урока: С сегодняшнего дня мы будем учиться вычислять площади различных геометрических фигур.

«Правильный многоугольник» - Квадрат. Правильный многоугольник. Основные формулы. r. Следствие2. Следствия. О. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Правильный треугольник. Правильный восьмиугольник. R. Правильные многоугольники. Применение формул. Следствие1. Правильный шестиугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.

«Построение многоугольников» - Деление на четыре равные части. Карл Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч лет. В природе, в окружающем мире, в быту - всюду мы видим правильные многоугольники. Построение девятиугольника. Деление на 7 равных частей.

Всего в теме 19 презентаций

Диагональ в многоугольнике (полиэдре) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, другими словами, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру полиэдра).

У полиэдров различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за границы граней. У полиэдров, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, так как все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника просто вычислить по формуле:

N = n·(n — 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле несложно отыскать, что

у треугольника — 0 диагоналей

у прямоугольника — 2 диагонали

у пятиугольника — 5 диагоналей

у шестиугольника — 9 диагоналей

у восьмиугольника — 20 диагоналей

у 12-угольника — 54 диагонали

у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей полиэдра с числом вершин n просто подсчитать только для варианта, когда в каждой верхушке полиэдра сходится однообразное число ребер k . Тогда есть возможность воспользоваться формулой:

N = n · (n — k — 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда есть возможность отыскать, что

у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей

у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)

у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)

у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)

у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

В том случае в различных верхушках полиэдра сходится различное число ребер, подсчет приметно усложняется и должен проводится персонально для каждого варианта.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у каких все диагонали равны меж собой. Это квадрат и верный пятиугольник . У квадрата две схожих диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника 5 схожих диагоналей, которые совместно образуют набросок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный верный полиэдр, у которого все диагонали равны меж собой — верный восьмигранник октаэдр . У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Кроме октаэдра еще есть один верный полиэдр, у которого все пространственные диагонали равны меж собой. Это куб (гексаэдр) . У куба четыре схожих пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол меж дигоналями куба состаляет или arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), или arccos(-1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ

dic.academic.ru — иллюстрация различия меж граневой и пространственной диагоналями полиэдра

Дополнительно в базе данных сайта:

Как отыскать диагональ прямоугольника?

Сколько вершин, ребер и граней у тетраэдра?

Сколько вершин, ребер и граней у куба (гексаэдра)?

Сколько диагоналей у многоугольника?

Диагональ в многоугольнике (полиэдре) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, другими словами, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру полиэдра). У полиэдров различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за границы граней. У полиэдров, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали. Подсчет диагоналей Диагоналей нет у треугольника на плоскости...