Формула проекции перемещения при равноускоренном. Путь и перемещение

Траектория - это линия, которую тело описывает при движении.

Траектория пчелы

Путь - это длина траектории. То есть длина той, возможно, кривой линии, по которой двигалось тело. Путь скалярная величина ! Перемещение - векторная величина ! Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора. Путь и перемещение - это существенно разные физические величины.

Обозначения пути и перемещения вы можете встретить разное:

Сумма перемещений

Пусть в течение промежутка времени t 1 тело совершило перемещение s 1 , а в течение следующего промежутка времени t 2 - перемещение s 2 . Тогда за все время движения перемещение s 3 - это векторная сумма

Равномерное движение

Движение с постоянной по модулю и по направлению скоростью. Что это значит? Рассмотрим движение машины. Если она едет по прямой линии, на спидометре одно и то же значение скорости (модуль скорости), то это движение равномерное. Стоит машине изменить направление (повернуть), это будет означать, что вектор скорости изменил свое направление. Вектор скорости направлен туда же, куда едет машина. Такое движение нельзя считать равномерным, несмотря на то, что спидометр показывает одно и то же число.

Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения тела

Можно ли движение на карусели считать равномерным (если не происходит ускорение или торможение)? Нельзя, постоянно изменяется направление движения, а значит и вектор скорости. Из рассуждений можно сделать вывод, что равномерное движение - это всегда движение по прямой линии! А значит при равномерном движении путь и перемещение одинаковы (поясни почему).

Нетрудно представить, что при равномерном движении за любые равные промежутки времени тело будет перемещаться на одинаковое расстояние.

Скорость (v) - физическая величина, численно равна пути (s), пройденного телом за единицу времени (t).

Путь

Путь (S) - длина траектории, по которой двигалось тело, численно равен произведению скорости (v) тела на время (t) движения.

Время движения

Время движения (t) равно отношению пути (S), пройденного телом, к скорости (v) движения.

Средняя скорость

Средняя скорость (vср) равна отношению суммы участков пути (s 1 s 2 , s 3 , ...), пройденного телом, к промежутку времени (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за который этот путь пройден.

Средняя скорость - это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.

Средняя скорость при неравномерном движении по прямой: это отношение всего пути ко всему времени.

Два последовательных этапа с разными скоростями: где

При решении задач - сколько этапов движения столько будет составляющих:

Проекции вектора перемещения на оси координат

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Проекция вектора на ось равна нулю, если вектор перпендикулярен оси.

Знаки проекций перемещения: проекцию считают положительной, если движение от проекции начала вектора к проекции конца происходит по направлению оси, и отрицательной, если против оси. В данном примере

Модуль перемещения - это длина вектора перемещения:

По теореме Пифагора:

Проекции перемещения и угол наклона

В данном примере:

Уравнение координаты (в общем виде):

Радиус-вектор - вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с положением тела в данный момент времени. Проекции радиус-вектора на оси координат определяют координаты тела в данный момент времени.

Радиус-вектор позволяет задать положение материальной точки в заданной системе отсчета :

Равномерное прямолинейное движение - определение

Равномерное прямолинейное движение - движение, при котором тело за любые равные промежутки времени, совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном прямолинейном движении . Скорость - векторная физическая величина, которая показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени.

В векторном виде:

В проекциях на ось ОХ:

Дополнительные единицы измерения скорости:

1 км/ч = 1000 м/3600 с,

1 км/с = 1000 м/с,

1 см/с = 0,01 м/с,

1 м/мин =1 м/60 с.

Измерительный прибор - спидометр - показывает модуль скорости.

Знак проекции скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

График проекции скорости представляет собой зависиость проекции скорости от времени:

График скорости при равномерном прямолинейном движении - прямая, параллельная оси времени (1, 2, 3).

Если график лежит над осью времени (.1), то тело движется по направлению оси ОХ. Если график расположен под осью времени, то тело движется против оси ОХ (2, 3).

Геометрический смысл перемещения.

При равномерном прямолинейном движении перемещение определяют по формуле . Такой же результат получим, если вычислим площадь фигуры под графиком скорости в осях. Значит, для определения пути и модуля перемещения при прямолинейном движении необходимо вычислять площадь фигуры под графиком скорости в осях:

График проекции перемещения - зависимость проекции перемещения от времени.

График проекции перемещения при равномерном прямолинейном движении - прямая, выходящая из начала координат (1, 2, 3).

Если прямая (1) лежит над осью времени, то тело движется по направлению оси ОХ, а если под осью (2, 3), то против оси ОХ.

Чем больше тангенс утла наклона (1) графика, тем больше модуль скорости.

График координаты - зависимость координаты тела от времени:

График координаты при равномерном прямолинейном движении - прямые (1, 2, 3).

Если с течением времени координата увеличивается (1, 2), то тело движется по направлению оси ОХ; если координата уменьшается (3), то тело движется против направления оси ОХ.

Чем больше тангенс угла наклона (1), тем больше модуль скорости.

Если графики координат двух тел пересекаются, то из точки пересечения следует опустить перпендикуляры на ось времени и ось координат.

Относительность механического движения

Под относительностью мы понимаем зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Например, покой относителен; движение относительно и положение тела относительно.

Правило сложения перемещений. Векторная сумма перемещений

где - перемещение тела относительно подвижной системы отсчета (ПСО); - перемещение ПСО относительно неподвижной системы отсчета (НСО); - перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета (НСО).

Векторное сложение:

Сложение векторов, направленных вдоль одной прямой:

Сложение векторов, перпендикулярных друг другу

По теореме Пифагора

Страница 8 из 12

§ 7. Перемещение при равноускоренном
прямолинейном движении

1. Используя график зависимости скорости от времени, можно получить формулу перемещения тела при равномерном прямолинейном движении.

На рисунке 30 приведен график зависимости проекции скорости равномерного движения на ось X от времени. Если восставить перпендикуляр к оси времени в некоторой точке C , то получим прямоугольник OABC . Площадь этого прямоугольника равна произведению сторон OA и OC . Но длина стороны OA равна v x , а длина стороны OC - t , отсюда S = v x t . Произведение проекции скорости на ось X и времени равно проекции перемещения, т. е. s x = v x t .

Таким образом, проекция перемещения при равномерном прямолинейном движении численно равна площади прямоугольника, ограниченного осями координат, графиком скорости и перпендикуляром, восставленным к оси времени.

2. Получим аналогичным образом формулу проекции перемещения при прямолинейном равноускоренном движении. Для этого воспользуемся графиком зависимости проекции скорости на ось X от времени (рис. 31). Выделим на графике малый участок ab и опустим перпендикуляры из точек a и b на ось времени. Если промежуток времени Dt , соответствующий участку cd на оси времени, мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура cabd мало отличается от прямоугольника и ее площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку cd .

На такие полоски можно разбить всю фигуру OABC , и ее площадь будет равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время t численно равна площади трапеции OABC . Из курса геометрии вы знаете, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты:S = (OA + BC )OC .

Как видно из рисунка 31, OA = v 0x , BC = v x , OC = t . Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой: s x = (v x + v 0x )t .

При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела в любой момент времени равна v x = v 0x + a x t , следовательно,s x = (2v 0x + a x t )t .

Отсюда:

Чтобы получить уравнение движения тела, подставим в формулу проекции перемещения ее выражение через разность координат s x = x – x 0 .

Получим: x – x 0 = v 0x t + , или

По уравнению движения можно определить координату тела в любой момент времени, если известны начальная координата, начальная скорость и ускорение тела.

3. На практике часто встречаются задачи, в которых нужно найти перемещение тела при равноускоренном прямолинейном движении, но время движения при этом неизвестно. В этих случаях используют другую формулу проекции перемещения. Получим ее.

Из формулы проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения v x = v 0x + a x t выразим время:

t = .

Подставив это выражение в формулу проекции перемещения, получим:

s x = v 0x + .

Отсюда:

s x = , или
–= 2a x s x .

Если начальная скорость тела равно нулю, то:

2a x s x .

4. Пример решения задачи

Лыжник съезжает со склона горы из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с 2 за 20 с и дальше движется по горизонтальному участку, проехав до остановки 40 м. С каким ускорением двигался лыжник по горизонтальной поверхности? Какова длина склона горы?

Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим по направлению скорости лыжника на каждом этапе его движения (рис. 32).

Запишем уравнение для скорости лыжника в конце спуска с горы:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

В проекциях на ось X получим: v 1x = a 1x t . Поскольку проекции скоростии ускорения на ось X положительны, модуль скорости лыжника равен: v 1 = a 1 t 1 .

Запишем уравнение, связывающее проекции скорости, ускорения и перемещения лыжника на втором этапе движения:

–= 2a 2x s 2x .

Учитывая, что начальная скорость лыжника на этом этапе движения равна его конечной скорости на первом этапе

v 02 = v 1 , v 2x = 0 получим

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Отсюда a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с 2 .

Модуль перемещения лыжника на первом этапе движения равен длине склона горы. Запишем уравнение для перемещения:

s 1x = v 01x t + .

Отсюда длина склона горы равна s 1 = ;

s 1 == 100 м.

Ответ: a 2 = 0,125 м/с 2 ; s 1 = 100 м.

Вопросы для самопроверки

1. Как по графику зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения на ось X

2. Как по графику зависимости проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения на ось X от времени определить проекцию перемещения тела?

3. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении?

4. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела, движущегося равноускоренно и прямолинейно, если начальная скорость тела равна нулю?

Задание 7

1. Чему равен модуль перемещения автомобиля за 2 мин, если за это время его скорость изменилась от 0 до 72 км/ч? Какова координата автомобиля в момент времени t = 2 мин? Начальную координату считать равной нулю.

2. Поезд движется с начальной скоростью 36 км/ч и ускорением0,5 м/с 2 . Чему равны перемещение поезда за 20 с и его координата в момент времени t = 20 с, если начальная координата поезда 20 м?

3. Каково перемещение велосипедиста за 5 с после начала торможения, если его начальная скорость при торможении равна 10 м/с,а ускорение составляет 1,2 м/с 2 ? Чему равна координата велосипедиста в момент времени t = 5 с, если в начальный момент времени он находился в начале координат?

4. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается при торможении в течение 15 с. Чему равен модуль перемещения автомобиля при торможении?

5. Два автомобиля движутся навстречу друг другу из двух населенных пунктов, находящихся на расстоянии 2 км друг от друга. Начальная скорость одного автомобиля 10 м/с и ускорение 0,2 м/с 2 , начальная скорость другого - 15 м/с и ускорение 0,2 м/с 2 . Определите время и координату места встречи автомобилей.

Лабораторная работа № 1

Исследование равноускоренного
прямолинейного движения

Цель работы:

научиться измерять ускорение при равноускоренном прямолинейном движении; экспериментально установить отношение путей, проходимых телом при равноускоренном прямолинейном движении за последовательные равные промежутки времени.

Приборы и материалы:

желоб, штатив, металлический шарик, секундомер, измерительная лента, цилиндр металлический.

Порядок выполнения работы

1. Укрепите в лапке штатива один конец желоба так, чтобы он составлял небольшой угол с поверхностью стола.У другого конца желоба положите в него цилиндр металлический.

2. Измерьте пути, проходимые шариком за 3 последовательных промежутка времени, равных 1 с каждый. Это можно сделать по‑разному. Можно поставить мелом на желобе метки, фиксирующие положения шарика в моменты времени, равные 1 с, 2 с, 3 с, и измерить расстояния s_ между этими метками. Можно, отпуская каждый раз шарик с одной и той же высоты, измерить путь s , пройденный им сначала за 1 с, затем за 2 с и за 3 с, а затем рассчитать путь, пройденный шариком за вторую и третью секунды. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3. Найдите отношения пути, пройденного за вторую секунду, к пути, пройденному за первую секунду, и пути, пройденного за третью секунду, к пути, пройденному за первую секунду. Сделайте вывод.

4. Измерьте время движения шарика по желобу и пройденныйим путь. Вычислите ускорение его движения, используя формулуs = .

5. Используя экспериментально полученное значение ускорения, вычислите пути, которые должен пройти шарик за первую, вторую и третью секунды своего движения. Сделайте вывод.

Таблица 1

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения . Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость и ускорение в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины. При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой (1)

В этой формуле – скорость тела при t = 0 (начальная скорость ), = const – ускорение. В проекции на выбранную ось х уравнение (1) запишется в виде: (2). На графике проекции скорости υ х (t ) эта зависимость имеет вид прямой линии.

По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. для графика I Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC : .

Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше ускорение тела.

Для графика I: υ 0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с 2 . Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с 2 .

График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, то есть движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt. Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. для графика II. Время t принято равным 5,5 с.

(3) – полученная формула позволяет определить перемещение при равноускоренном движении если ускорение не известно.

Если подставить в уравнение (3) выражение для скорости (2), то получаем (4) – эта формула используется для записи уравнения движения тела: (5).

Если выразить из уравнения (2) время движения (6) и подставить в равенство (3), то

Эта формула позволяет определить перемещение при неизвестном времени движения.

Теперь мы должны выяснить самое главное - как изменяется координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении. Для этого, как мы знаем, нужно знать перемещение тела, потому что проекция вектора перемещения как раз и равна изменению координаты.

Формулу для вычисления перемещения проще всего получить графическим методом.

При равноускоренном движении тела вдоль оси X скорость изменяется со временем согласно формуле v x = v 0х + a x t Так как время в эту формулу входит в первой степени, то график для проекции скорости в зависимости от времени представляет собой прямую, как это показано на рисунке 39. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительной проекцией ускорения (скорость растет), прямая 2 - движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = О тело имеет некоторую начальную скорость v 0 .

Перемещение выражается площадью. Выделим на графике скорости равноускоренного движения (рис. 40) маленький участок ab и опустим из точек а и Ь перпендикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t в выбранном масштабе равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке а до ее значения в точке Ь. Под участком ab графика получилась узкая полоска abсd.

Если промежуток времени, соответствующий отрезку cd, достаточно мал, то в течение этого малого времени скорость не может заметно измениться - движение в течение этого малого промежутка времени можно считать равномерным. Полоска abсd поэтому мало отличается от прямоугольника, а ее площадь численно равна проекции перемещения за время, соответствующее отрезку cd (см. § 7).

Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время t численно равно площади трапеции ОАВС. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна v ox , другого-v x (см. рис. 40). Высота же трапеции численно равна t. Отсюда следует, что проекция s x перемещения выражается формулой

3с 15.09

Если проекция v ox начальной скорости равна нулю (в начальный момент времени тело покоилось!), то формула (1) принимает вид:

График скорости такого движения показан на рисунке 41.

При пользовании формулами (1) и (2) НУЖНО ПОМНИТЬ, ЧТО S x , V ox и v x могут быть как положительным», так и отрицательными - ведь это проекции векторов s, v o и v на ось X.

Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении перемещение растет со временем не так, как при равномерном движении: теперь в формулу входит квадрат времени. Это значит, что перемещение со временем растет быстрее, чем при равномерном движении.

Как зависит от времени координата тела? Теперь легко получить и формулу для вычисления координаты х в любой момент времени для тела, движущегося равноускоренно.

проекция s x вектора перемещения равна изменению координаты х-х 0 . Поэтому можно записать

Из формулы (3) видно, что, для того чтобы вычислить координату х в любой момент времени t, нужно знать начальную координату, начальную скорость и ускорение.

Формула (3) описывает прямолинейное равноускоренное движение, подобно тому как формула (2) § 6 описывает прямолинейное равномерное движение.

Другая формула для перемещения. Для вычисления перемещения можно получить и другую полезную формулу, в которую время не входит.

Из выражения v x = v 0x + a x t. получим выражение для времени

t = (v x - v 0x): a x и подставим его в формулу для перемещения s x , приведенную выше. Тогда получаем:

Эти формулы позволяют найти перемещение тела, если известны ускорение, а также начальная и конечная скорости движения. Если начальная скорость v o равна нулю, формулы (4) принимают вид: