Формула расстояния между двумя параллельными прямыми. Расстояние от точки N до прямой с равно …

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис.1).

Теорема 1. О свойстве сторон и углов параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Доказательство. В данном параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC (рис.2).

Эти треугольники равны, так как ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая. Из равенства Δ ABC = Δ ADC следует, что АВ = CD, ВС = AD, ∠ B = ∠ D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых. Теорема доказана.

Замечание. Равенство противоположных сторон параллелограмма означает, что отрезки параллельных, отсекаемых параллельными, равны.

Следствие 1. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть а || b (рис.3).

Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а. Так как АВ || CD, то фигура ABCD - параллелограмм, и следовательно, АВ = CD.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой.

По доказанному оно равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.

Пример 1. Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение. По теореме 1 противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма через х, другую через у. Тогда по условию $$\left\{\begin{matrix} 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end{matrix}\right.$$ Решая эту систему, получим х = 43, у = 18. Таким образом, стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.

Пример 2.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Обозначим АВ через х, а ВС через у. По условию периметр параллелограмма равен 10 см, т. е. 2(x + у) = 10, или х + у = 5. Периметр треугольника ABD равен 8 см. А так как АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8 - 5 = 3 . Итак, BD = 3 см.

Пример 3. Найти углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Обозначим градусную меру угла А через х. Тогда градусная мера угла D равна х + 50°.

Углы BAD и ADC внутренние односторонние при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD. Тогда сумма этих названных углов составит 180°, т. е.
х + х + 50° = 180°, или х = 65°. Таким образом, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4. Стороны параллелограмма равны 4,5 дм и 1,2 дм. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части делит она большую сторону параллелограмма?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6.

АЕ - биссектриса острого угла параллелограмма. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Навигация по странице.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

Определение.

– это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М 1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М 1 опустим перпендикуляр М 1 H 1 на плоскость . Длина перпендикуляра M 1 H 1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть - плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М 1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М 1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве . А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты некоторой точки М 2 , через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .

В качестве точки М 2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М 2 можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ - расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
2. Репетитор по математике ().

1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
3. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

1. Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.