Гипербола и её каноническое уравнение. Форма и характеристики гиперболы

Дать определения гиперболы, параболы.

Напишите канонические уравнения гиперболы и параболы, объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

Напишите уравнения директрис, асимптот гиперболы, покажите на чертеже их расположение относительно гиперболы.

Чему равен эксцентриситет параболы? Покажите на чертеже расположение директрисы относительно параболы.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметричны относительно начала координат, зная, кроме этого, что:

а) расстояние между фокусами 2 с = 6 и эксцентриситет ;

б) ось 2 а = 16 и эксцентриситет
;

в) уравнение асимптот
и расстояние между фокусами2 с = 20;

г) расстояние между директрисами равно и расстояние между

фокусами 2 с = 26.

5. Определить точки гиперболы
, расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

6. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты её центраС , полуоси, эксцентриситет, уравнения

асимптот и директрис:

7. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале

координат, зная что:

а) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох , и её параметрр = 3;

б) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и её параметрр = 0,5;

в) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу , и её параметрр = ;

г) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу , и её параметрр = 3.

8. Найти фокусF и уравнение директрисы параболы
.

9. На параболе
найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

10. Составить уравнение параболы, если даны её фокусF (7; 2) и директриса
.

11. Определить точки пересечения прямой
и параболы
.

12. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая

относительно данной параболы – пересекается ли, касается или проходит вне её:

а)
,
;

б)
,
;

в)
,
.

1. а)
, б)
, в)
, г)
;

2.
,х – 10 = 0;3.
;4. 10;

директрис:
и
, уравнения асимптот:

; б)С (- 5; 1),а = 8, b = 6,
, уравнения директрис:
и
, уравнения асимптот:

7. а)
, б)
, в)
, г)
;8. F (6; 0),
;9. (9; 12), (9; - 12);10.
;11. (- 4; 6) – прямая касается параболы;12. а) касается параболы, б) пересекает параболу в двух точках, в) проходит вне параболы.

Занятие 3.7. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду Контрольные вопросы

Что такое параллельный перенос системы координат? Приведите формулы связи «старых» и «новых» координат.

Приведите формулы связи «старых» и «новых» координат при повороте системы координат без изменения её начала.

Объясните методику приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, используя последовательно поворот системы координат и параллельный перенос системы координат. Какой результат достигается на каждом из этих этапов преобразования системы координат?

Задачи

1. Выяснить геометрический смысл уравнений:

а)
, б)
, в)
,

г) , д)
, е)
.

2. Поворотом осей координат преобразовать уравнения к каноническому виду и построить кривые:

а)
,

б)
.

3. Преобразовать уравнения к каноническому виду и сделать чертеж:

Ответы

1. а) две прямые
, б) точка (0; 0), в) мнимая окружность,

г) точка (3; 4), д) две прямые х = 0,
, е) две прямые
;

2. а)
, б)
;3. а)
,

б)
, в)
, г) две прямые
.

ЗАНЯТИЕ 3.8. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Контрольные вопросы

Что такое полярные координаты точек? Укажите их связь с декартовыми координатами этой точки.

Как от декартовых координат точки перейти к полярным координатам и наоборот?

Как написать уравнение линии в полярных координатах, если известно её уравнение в декартовых координатах и наоборот?

Задачи

1. В полярной системе координат
построить точки
,
,
,
,
,
,
,
,
.

2. Построить линию
(построение провести с помощью таблицы значенийr для
).

3. Построить линии:

а)
(спираль Архимеда),

б)
(кардиоида).

4. Построить линии: а)
, б)
, в)
.

5. Написать в полярных координатах уравнение прямой, отсекающей от

полярной оси отрезок « а » и перпендикулярной к ней.

Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке

С (0; а) и радиусом, равным «а » .

б)
, в)у = 3, г)у = х , д)
,

е)
.

Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить эти

линии: а)
, б)
, в)
.

9. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:

а)
, б)
, в)
.

Ответы

5.
;6.
;7. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)
, е)
;8. а)х = а, б)
, в)
;9. а)
, б)
, в)
.

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).

Рис. 1

Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

Область значения для первой четверти .

При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

1. Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
2. Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
3. С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
4. Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где

Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

Рис. 2

В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .

Примеры задач на построение гиперболы

Пример 1

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3)

Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:

Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится:

откуда . Теперь находим .

Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:

Ответ

Гипербола и её каноническое уравнение обновлено: Июнь 17, 2017 автором: Научные Статьи.Ру

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).

2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.