Иррациональные выражения и их преобразования. Тема: Преобразование степенных и иррациональных выражений - Документ

Выражения, содержащие знак радикала (корень), называются иррациональными.

Арифметическим корнем натуральной степени $n$ из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получается число $а$.

$(√^n{a})^n=a$

В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ - показателем корня или радикала.

Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:

1. Корень произведения равен произведению корней

$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$

Вычислить $√^5{5}∙√^5{625}$

Корень произведения равен произведению корней и наоборот: произведение корней с одинаковым показателем корня равно корню из произведения подкоренных выражений

$√^n{a}∙√^n{b}=√^n{a∙b}$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя

$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$

3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение

$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$

4. Если $а≥0$ и $n,k$ - натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$

6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.

7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Найдите значение выражения ${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}$ при $с>0$

Корень произведения равен произведению корней

${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}={√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}$

Корни из чисел мы можем извлечь сразу

${√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}={3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}$

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

${3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}={3∙√^22{с}}/{2∙√^22{с}}$

Корни $22$ степени из $с$ мы сокращаем и получаем ${3}/{2}=1,5$

Ответ: $1,5$

Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

Найдите значение выражения $√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}$ при $7 < c < 9$

Если над корнем не стоит показатель, то это означает, что мы работаем с квадратным корнем. Его показатель равен двум, т.е. четный. Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

$√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}=|c-7|+|c-9|$

Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, исходя из условия $7 < c < 9$

Для проверки возьмем любое число из заданного промежутка, например, $8$

Проверим знак каждого модуля

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

Свойства степеней с рациональным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n∙a^m=a^{n+m}$

2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n∙m}$

3. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.

Внесение множителя под знак корня

Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .

Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .

Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.

За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .

На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .

Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .

Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .

В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .

Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.

Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе

При преобразовании арифметических корней используются их свойства (см. п. 35).

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1. Извлечь корень из произведения Решение. Применив свойство 1°, получим:

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня

Решение.

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.

Пример 3. Упростить

Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем

Пример 4. Упростить

Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем

Пример 5. Упростить

Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим

Пример 6. Упростить выражения: а)

Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем А теперь в полученном результате разделив показатели корня и степени подкоренного выражения на 3, получим

Тренажёр № 1

Тема: Преобразование степенных и иррациональных выражений

1. Программа элективного курса по математике для учащихся 10-го класса

   Программа

   Применение. Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений . Тема 4. Тригонометрические функции и их графики. Обобщить... . 16.01-20.01 18 Преобразование степенных и иррациональных выражений . 23.01-27.01 19 ...

2. Календарно-тематическое планирование учебного материала алгебра и начала анализа, 11класс

   Календарно-тематическое планирование

   И рациональным показателем. Преобразование степенных и иррациональных выражений . 2 2 2 сентябрь Свойства логарифмов. Преобразование логарифмических выражений . 1 1 1 ... в полном объеме рассматриваются с теми учащимися, которые претендуют на высокие...

3. Тема урока Тип урока (4)

   Урок

   ... преобразования числовых и буквенных выражений , содержа щих степени ... степеней Знать: понятие степень с иррацио нальным показателем; основные свойства степеней . Уметь: находить значение степени с иррациональным ... 3 по теме «Степень положительного числа» ...

4. Тема Культурно-исторческие основы развития психологического знания в труде Тема Труд как социально-психологическая реальность

   Документ

   И др.) тема труда тесно связана с социально-экономическими преобразованиями . Например, ... перестройка сознания, инстинкты, иррациональные тенденции, т.е. внутренние конфликты... выяснения наличия и степени выраженности у человека определенных...

5. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (1)

   Урок

   Редакцией С.А. Теляковского. Тема урока: Преобразование выражений , содержащих квадратные...) преобразования корней из произведения, дроби и степени , умножение... (формирование навыка тождественных преобразований иррациональных выражений ). №421. (у доски...