Испытания по схеме бернулли. Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А .

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми .

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же, а именно равна р . Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 - p .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n - k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: ААА, ААА, ААА, ААА . Запись ААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное событие А; соответственный смысл имеют и другие записи.

Искомую вероятность обозначим Р п (k) . Например, символ Р 5 (3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли . Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит п - k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p k q n - k . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. С n k .

Так как эти сложные события несовместны , то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий . Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли .

Пример 1 . Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75 . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение . Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75 . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 - р = 1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики: биографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. – 2013. – № 1 (9). – С. 6-10.

3. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Перспективы применения математических методов в экономических исследованиях // Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 255-257.

В математике довольно часто встречаются задачи, в которых присутствует большое количество повторений одного и того же условия, испытания или эксперимента. Результатом каждого испытания будет считаться совершенно другой результат от наступившего предыдущего. Зависимости в результатах так же наблюдаться не будет. В качестве результата испытания можно различить несколько возможностей элементарных последствий: возникновение события (А) или же возникновение события, которое дополняет А.

Тогда попробуем предположить, что вероятность возникновения события Р(А) регулярна и равна р (0<р<1).

Примерами такого испытания может быть большое количество задач, таких как подбрасывание монетки, извлечение из темного мешка черно-белых шаров или же рождение черно-белых кроликов.

Такой эксперимент называют конфигурацией повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Якоб Бернулли родился в семье фармацевта. Отец пытался наставить сына на медицинский путь, но Я. Бернулли увлекся математикой самостоятельно, а позже это стало его профессией. Ему принадлежат различные трофеи в работах на темы по теории вероятностей и чисел, рядов и дифференциальном исчислении. Изучив теорию вероятности по одной изработ Гюйгенса «О расчетах в азартной игре», Якоб увлекся этим. В данной книге не было даже четкого определения концепции «вероятность». Именно Я. Бернулли ввел в математику большую часть современных понятий теории вероятностей. Так же Бернулли первымвыразил свой вариант закона больших чисел. Имя Якоба носят различные работы, теоремы и схемы: «Числа Бернулли», «Многочлен Бернулли», «Дифференциальное уравнение Бернулли», «Распределение Бернулли» и «Уравнение Бернулли».

Вернемся к повторениям. Как уже было указано выше, то в итоге различных испытаний возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположность этому событию. Сама схема Бернулли обозначает производство n-го количества типовых вольных опытов, и в каждом из этих опытов может появится нужное нам событие А (вероятность этого события известна: Р(А)=р), вероятность противоположного события событию А обозначена за q=P(A)=1-p. Требуется определение вероятности, что при проведении испытаний неизвестного количества событие А появится ровно k раз.

Важно помнить о главном условии при решении задач при помощи схемы Бернулли-это постоянство. Без него схема теряет всякий смысл.

Этой схемой можно пользоваться для решения задач различного уровня сложности: от простых (та же монетка) до сложных (проценты). Однако чаще схема Бернулли применяется в решении таких задач, которые связаны с контролем свойств различной продукции и уверенности в самых разных механизмах. Только для решения задачи до начала работы должны быть известны заранее все условия и значения.

Не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянству в условиях. Даже если взять в пример черные и белые шары в темном мешке: при вытягивании одного шара соотношение количества и цветов шариков в мешке изменилось, а значит изменилась и сама вероятность.

Однако если же условия у нас постоянны, то мы можем точно определить требуемую от нас вероятность того, что событие А произойдет ровно kраз из n возможных.

Этот факт Якоб Бернулли скомпоновал в теорему, которую впоследствии стали называть его именем. «Теорема Бернулли» является одной из главных теорем в теории вероятности. Впервые ее опубликовали в труде Я.Бернулли «Искусство предположений». Что же представляет из себя эта теорема? «Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рk,n того, что событие наступит k раз в n испытаниях, не зависящих друг от друга равна: , где q=1-p».

В доказательство действенности формулы можно привести задачи.

Задача № 1:

Из n стеклянных банок за месяц хранения k разбиваются. Наугад взяли m банок. Найти вероятность, что среди этих банок l не разобьются. n=250, k=10, m=8,l=4.

Решение: Имеем схему Бернулли со значениями:

p=10/250=0,04 (вероятность того, что банки разобьются);

n=8 (число испытаний);

k=8-4=4 (количество разбитых банок).

Используем формулу Бернулли

Получили:

Ответ: 0,0141

Задача № 2:

Вероятность изготовления неисправного изделия на производстве равна 0,2. Найти вероятность того, что из 10 изготовленных на этом производстве изделий ровно k должны быть исправны. Выполнить решение для k = 0, 1, 10.

Нам интересно событие A - изготовление исправных деталей, случающееся раз в час с вероятностью p=1-0,2=0,8. Надо найти вероятность того, что данное событие совершится k раз. Событию A противоположно событие «не A», т.е. изготовление неисправного изделия.

Следовательно, мы имеем: n=10; p=0,8; q=0,2.

В итоге найдем вероятность того, что из 10 изготовленных изделий все изделия неисправны (k=0), что одно изделие исправно (k=1), что неисправных нет вообще (k=10):

В заключении хотелось бы отметить, что в современности многие ученые пытаются доказать, что «формула Бернулли» не соответствует законам природы и можно решить задачи, не применяя ее к использованию. Конечно это возможно, большинство задач по теории вероятности возможно выполнить без формулы Бернулли, главное не запутаться в больших объемах цифр.

Библиографическая ссылка

Пусть относительно события А проводится n испытаний. Введем события: Аk -- событие А осуществилось при k-том испытании, $ k=1,2,\dots , n$. Тогда $\bar{A}_{k} $ - противоположное событие (событие А не осуществилось при k-том испытании, $k=1,2,\dots , n$).

Что такое однотипные и независимые испытания

Определение

Испытания называются однотипными по отношению к событию А, если вероятности событий $А1, А2, \dots , Аn$ совпадают: $Р(А1)=Р(А2)= \dots =Р(Аn)$ (т.е. вероятность появления события А в одном испытании постоянна во всех испытаниях).

Очевидно, что в этом случае вероятности противоположных событий также совпадают: $P(\bar{A}_{1})=P(\bar{A}_{2})=...=P(\bar{A}_{n})$.

Определение

Испытания называются независимыми по отношению к событию А, если события $А1, А2, \dots , Аn$ независимы.

В этом случае

При этом равенство сохраняется при замене любого события Аk на $\bar{A}_{k} $.

Пусть по отношению к событию А проводится серия из n однотипных независимых испытаний. Ведем обозначения: р -- вероятность осуществления события А в однoм испытании; q -- вероятность противоположного события. Таким образом, Р(Ак)=р, $P(\bar{A}_{k})=q$ для любого k и p+q=1.

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А осуществится ровно k раз (0 ≤ k ≤ n), вычисляется по формуле:

$P_{n} (k)=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} $ (1)

Равенство (1) называется формулой Бернулли.

Вероятность того, что в серии из n однoтипных независимых испытаний событие А осуществится не менее k1 раз и не более k2 раз, вычисляется по формуле:

$P_{n} (k_{1} \le k\le k_{2})=\sum \limits _{k=k_{1} }^{k_{2} }C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} $ (2)

Применение формулы Бернулли при больших значениях n приводит к громоздким вычислениям, поэтому в этих случаях лучше использовать другие формулы -- асимптотические.

Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бeрнулли. Если в серии из n независимых испытаний, каждое из которых имеет m попарно несовместимых и возможных результатов Аk с соответствующими вероятностями Рk= рk(Аk). То справедлива формула полиномиального расспредиления:

Пример 1

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. Найти вероятность того, что из 6 сoтрудников фирмы заболеют

1. ровно 4 сотрудника;
2. не более 4-х сотрудников.

Решение. 1) Очевидно, что для решения данной задачи применима формула Бернулли, где n=6; k=4; р=0,4; q=1-р=0,6. Применяя формулу (1), получим: $P_{6} (4)=C_{6}^{4} \cdot 0,4^{4} \cdot 0,6^{2} \approx 0,138$.

Для решения этой задачи применима формула (2), где k1=0 и k2=4. Имеем:

\[\begin{array}{l} {P_{6} (0\le k\le 4)=\sum \limits _{k=0}^{4}C_{6}^{k} p^{k} q^{6-k} =C_{6}^{0} \cdot 0,4^{0} \cdot 0,6^{6} +C_{6}^{1} \cdot 0,4^{1} \cdot 0,6^{5} +C_{6}^{2} \cdot 0,4^{2} \cdot 0,6^{4} +} \\ {+C_{6}^{3} \cdot 0,4^{3} \cdot 0,6^{3} +C_{6}^{4} \cdot 0,4^{4} \cdot 0,6^{2} \approx 0,959.} \end{array}\]

Следует заметить, что эту задачу проще решать, используя противоположное событие -- заболело более 4-х сотрудников. Тогда с учетом формулы (7) о вероятностях противоположных событий получим:

Ответ:$\ 0,959$.

Пример 2

В урнe 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара , причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых рисунок 1.

Рисунок 1.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что -- достали белый шар. Тогда вероятности $D (A)=\frac{2}{3} ,\, \, D (\overline{A})=1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3} $.

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна $D_{4} (2)=N_{4}^{2} \left(\frac{2}{3} \right)^{2} \left(\frac{1}{3} \right)^{2} =\frac{8}{27} $.

Ответ: $\frac{8}{27} $.

Пример 3

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки $\partial =\frac{1}{2} ,\, q=\frac{1}{2} $-вероятность рождения мальчика. В семье не больше трех девочек означает, что девочек родилась либо одна, либо две, либо три, либо в семье все мальчики.

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки: $D_{5} (0)=q^{5} =\frac{1}{32} $,

\ \ \

Следовательно, искомая вероятность $D =D_{5} (0)+D_{5} (1)+D_{5} (2)+D_{5} (3)=\frac{13}{16} $.

Ответ: $\frac{13}{16} $.

Пример 4

Первый стрeлок при одном выстриле может попасть в десятку с вероятностью 0,6 в девятку с вероятностью 0,3, а в восьмерку с вероятностью 0,1. Какая вероятность того, что при 10 выстрелах он попадет в десятку шесть раз, в девятку три раза и в восьмерку 1 раз?

Перед изложением третьего вопроса лекции преподаватель обозначает проблему, вызывающую необходимость рассмотрения теоремы о повторении опытов, при этом отмечая, что в изучаемом курсе теории вероятностей будет рассматриваться только частная теорема, связанная с повторением независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с постоянной вероятностью.

После чего преподаватель показывает доказательство этой теоремы (вывод формулы Бернулли).

Для пояснения физической сущности рассматриваемой теоремы преподаватель использует оверхэд-проектор и подготовленные слайды.

В заключении лекции преподаватель поясняет почему распределение вероятностей появления события А в серии из n испытаний, в условиях когда они несовместны и образуют полную группу событий называют биномиальным и обращает внимание на важность знания этого распределения для решения прикладных задач.

До сих пор мы рассматривали комбинации сравнительного небольшого числа событий, когда непосредственное применение правил сложения и умножения вероятностей не вызывало больших вычислительных затруднений. Однако с увеличением числа событий или числа испытаний, в которых может появляться интересующее нас событие, изученный способ вычисления становится очень громоздким.

При этом задача решалась достаточно просто только в том случае, если опыты являлись независимыми.

Несколько опытов называются независимыми , если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

На практике имеют место случаи, когда вероятность наступления события А во всех независимых опытах может быть либо одинаковой, либо меняться от опыта к опыту. Например, при корректировании огня после каждого выстрела вероятность попадания в цель с каждым выстрелом будет изменяться.

В случае, когда в независимых опытах вероятность наступления события от опыта к опыту изменяется, используют общую теорему о повторении опытов, а когда в независимых опытах вероятность наступления события от опыта к опыту не изменяется, используют частную теорему о повторении опытов.

В изучаемом нами курсе теории вероятностей мы рассмотрим только частную терему о повторении опытов, когда необходимо определить вероятность наступления события А в серии изnнезависимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью.

Например, необходимо вычислить вероятность того, что при пяти выстрелах из орудия на постоянных установках будет получено ровно два попадания в цель, если выстрелы независимы и при каждом выстреле вероятность попадания в цель известна и не изменяется.

В случае, если составить возможные комбинации появления интересующего нас события А 1 , то получим:

Возможных комбинаций, в которых наступит событие А={получить 2 попадания при пяти выстрелах} будет 10.

Применив теорему о сумме и произведении независимых событий, будем иметь:

Увеличение числа интересующих нас событий или числа испытаний приведёт к еще большему увеличению объёма вычислительных операций, поэтому возникает задача отыскания менее трудоёмких способов расчёта.

Постановка задачи:

Пусть предполагается в одинаковых условиях произвести nнезависимых испытаний, результатом каждого из которых может быть наступление либо событияА , либо ему противоположного.

Обозначим через А 1 наступление событияА при первом испытании,А 2 – при втором испытании,А n – при последнем испытании.

В силу постоянства условий испытания:

Р(А 1 ) = Р(А 2 ) = … Р(А n ) = р

Нас интересует вероятность того, что событие А при nиспытаниях наступит ровноmраз, а в оставшихсяn-mиспытаниях – не наступит (т.е. наступит противоположное событию А событие -).

Допустим, что интересующее нас событие А наступает подрядmраз, начиная с первого, т.е. имеет место событие –Е .

Е= А 1 А 2 … А m -1 А m 
(1)

m n - m

По условию повторения испытаний, события, входящие в данную комбинацию, независимы, при этом вероятности наступления событий А 1 ,А 2 ,… А m -1 , А m одинаковы и равныр: Р(А 1 ) = Р(А 2 ) =…= Р(А m ) = р, а вероятности не наступления событий
так же одинаковы и равныq =1-р: .

Применяя правило умножения вероятностей для независимых событий к выражению 1 получим:

Р(Е) = Р(А 1 ) Р(А 2 ) … Р(А m -1 ) Р(А m ) Р(
= р m (1-р) n  - m = р m q n - m

В силу постоянства условий испытаний мы допустили, что интересующее нас событие А наступает подрядmраз, начиная с первого. Но событиеА вn испытаниях может наступить ровноm раз в различных последовательностях или комбинациях. При этом нам безразлично, в какой именно последовательности появляется событие А ровноm раз.

Число таких комбинаций равно числу сочетаний изnэлементов поm .

Так как эти комбинации событий (подобные комбинации Е) несовместны и нас не интересует последовательность наступления события А в испытании ровноm раз, то обозначив интересующую нас вероятность черезР m , получим:

Р m =
р m (1-р) n - m =
=

где
- число сочетаний изn элементов поm .

Данная формула носит имя формулы Бернулли.

Формула Бернулли позволяет получить ответ на вопрос: какова вероятность того, что при повторении nнезависимых испытаний некоторое событиеА наступает ровноm раз, если в каждом из этих испытаний вероятность наступления событияА постоянна и равнаР(А) = р.

Приведенная формула Бернулли имеет исключительно важное значение в теории вероятностей по той причине, что она связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, т.е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели принципиальные вопросы теории вероятностей применительно к случайным величинам, ввели основной понятийный аппарат, необходимый для дальнейшего изучения дисциплины: определение случайной величины, их классификацию; понятия закона распределения и его формы для различных типов случайной величины.

В ходе подготовки к последующим лекциям и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Кроме того, на последующих занятиях мы будем изучать теоремы и зависимости, позволяющие определить вероятность появления случайной величины требуемое число раз или на определенном интервале, например вероятность попадания в цель.

Изучить:

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с. – стр. 67-78, 80-84

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 73-93

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное.-М.:Высшая школа», 2004 г. – 480 с. Стр 64-73

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияА равна р . Другими словами, пусть имеет место схема Бернулли. Можно ли предвидеть какова будет примерно относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос даёт теорема, доказанная Я.Бернулли 1 , которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науки 2 .

ТЕОРЕМА Бернулли : Если в каждом из независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях, вероятностьр появления события А постоянна, то относительная частота появления события А сходится по вероятности к вероятности р – появления данного события в отдельном опыте, то есть

.

Доказательство . Итак, имеет место схема Бернулли,
. Обозначим через
дискретную случайную величину – число появлений событияА в -ом испытании. Ясно, что каждая из случайных величин может принимать лишь два значения:1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью
, то есть

Нетрудно найти

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их равномерно ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин
следует из того, что испытания независимы. Далее 3
при
и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например числом
. Кроме того, заметим, что каждая из случайных величин
при появлении событияА в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма
равна числу
- появлений событияА в испытаниях, а значит

,

то есть дробь
равна относительной частотепоявлений события А в испытаниях.

Тогда, применяя теорему Чебышева к рассматриваемым величинам, получим:

что и требовалось доказать.

Замечание 1 : Теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева.

Замечание 2 : На практике часто неизвестные вероятности приходится приближённо определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. Так, например, французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз. Герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона приближённо равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросал монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба. Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,5016. В другой раз он бросил монету 24 000 раз, и герб при этом выпал 12 012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Как видим, во всех приведённых опытах частота лишь немного уклонилась от вероятности 0,5 – появления герба в результате одного бросания монеты.

Замечание 3 : Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство
. В теоремеречь идёт лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании. Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности» . Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при
кр как пределу в смысле обычного анализа , то, начиная с некоторого
и для всех последующих значений, неуклонно выполняется неравенство
;если же стремится по вероятности к р при
, то для отдельных значенийнеравенство может и не выполняться.

Теоремы Пуассона и Маркова

Замечено, если условия опыта меняются , то свойство устойчивости относительной частоты появления события А сохраняется. Это обстоятельство доказано Пуассоном.

ТЕОРЕМА Пуассона : При неограниченном увеличении числа независимых испытаний, проводимых в переменных условиях, относительная частота появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления данного события в каждом из опытов, то есть

.

Замечание 4 : Нетрудно убедиться, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева.

ТЕОРЕМА Маркова : Если последовательность случайных величин
(как угодно зависимых) такова, что при

,

то,
выполняется условие:
.

Замечание 5 : Очевидно, если случайные величин
попарно независимы, то условие Маркова принимает вид: при

.

Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.

Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова)

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей, как уже отмечалось, существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем – центральная предельная терема . Различные её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Впервые одна из форм центральной предельной теоремы была доказана выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в 1900 году с использованием специально разработанного им метода характеристических функций.

ТЕОРЕМА Ляпунова : Закон распределения суммы независимых случайных величин
приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении(то есть, при
), если выполняются следующие условия:

,

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный (в частности, примером такой суммы может быть среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин, то есть
).

Частным случаем центральной предельной теоремы является теорема Лапласа. В ней, как вы помните, рассматривается случай, когда случайные величины
дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения: 0 и 1.

Далее, вероятность того, что заключено в интервале
можно вычислить по формуле

.

Используя функцию Лапласа, последнюю формулу можно записать в удобном для расчётов виде:

где
.

ПРИМЕР . Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение даёт лишь приближённое значение измеряемой величины, так как на результат измерения оказывают влияние очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, совокупное их действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

2 Доказательство, предложенное Я.Бернулли, было сложным; более простое доказательство было дано П.Чебышевым в 1846 году.

3 Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей.