Как найти s боковой поверхности. Площадь боковой поверхности пирамиды

– это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной , если треугольник – то треугольной . Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F . AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Типичными геометрическими задачами на плоскости и в трехмерном пространстве являются проблемы определения площадей поверхностей разных фигур. В данной статье приведем формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной.

Что собой представляет пирамида?

Приведем строгое геометрическое определение пирамиды. Предположим, что имеется некоторый многоугольник с n сторонами и с n углами. Выберем произвольную точку пространства, которая не будет находиться в плоскости указанного n-угольника, и соединим ее с каждой вершиной многоугольника. Мы получим фигуру, имеющую некоторый объем, которая называется n-угольной пирамидой. Для примера покажем на рисунке ниже, как выглядит пятиугольная пирамида.

Два важных элемента любой пирамиды - это ее основание (n-угольник) и вершина. Эти элементы соединены друг с другом n треугольниками, которые в общем случае не равны друг другу. Перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию, называется высотой фигуры. Если он пересекает основание в геометрическом центре (совпадает с центром масс многоугольника), то такую пирамиду называют прямой. Если помимо этого условия основание является правильным многоугольником, то и вся пирамида называется правильной. Рисунок ниже показывает, как выглядят правильные пирамиды с треугольным, четырехугольным, пятиугольным и шестиугольным основаниями.

Поверхность пирамиды

Прежде чем переходить к вопросу о площади боковой поверхности правильной пирамиды четырехугольной, следует подробнее остановиться на понятии самой поверхности.

Как было сказано выше и показано на рисунках, любая пирамида образована набором граней или сторон. Одна сторона является основанием, и n сторон представляют собой треугольники. Поверхность всей фигуры - это сумма площадей каждой ее стороны.

Поверхность удобно изучать на примере развертки фигуры. Развертка для правильной четырехугольной пирамиды приведена на рисунки ниже.

Видим, что площадь ее поверхности равна сумме четырех площадей одинаковых равнобедренных треугольников и площади квадрата.

Общую площадь всех треугольников, которые образуют боковые стороны фигуры, принято называть площадью боковой поверхности. Далее покажем, как ее рассчитать для четырехугольной пирамиды правильной.

Площадь боковой поверхности четырехугольной правильной пирамиды

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности указанной фигуры, снова обратимся к приведенной выше развертке. Предположим, что нам известна сторона квадратного основания. Обозначим ее символом a. Видно, что каждый из четырех одинаковых треугольников, имеет основание длиной a. Чтобы вычислить их суммарную площадь, необходимо знать эту величину для одного треугольника. Из курса геометрии известно, что треугольника площадь S t равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам. То есть:

Где h b - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию a. Для пирамиды эта высота является апотемой. Теперь остается умножить полученное выражение на 4, чтобы получить площадь S b поверхности боковой для рассматриваемой пирамиды:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Эта формула содержит два параметра: апотему и сторону основания. Если последняя в большинстве условий задач известна, то первую приходится вычислять, зная другие величины. Приведем формулы для расчета апотемы h b для двух случаев:

• когда известна длина бокового ребра;
• когда известна высота пирамиды.

Если обозначить длину ребра бокового (сторона равнобедренного треугольника) символом L, тогда апотема h b определиться по формуле:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Это выражения является результатом применения теоремы Пифагора для треугольника боковой поверхности.

Если известна высота h пирамиды, тогда апотему h b можно рассчитать так:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Получить это выражение также не сложно, если рассмотреть внутри пирамиды прямоугольный треугольник, образованный катетами h и a/2 и гипотенузой h b .

Покажем, как применять эти формулы, решив две интересные задачи.

Задача с известной площадью поверхности

Известно, что площадь боковой поверхности четырехугольной равна 108 см 2 . Необходимо вычислить значение длины ее апотемы h b , если высота пирамиды равна 7 см.

Запишем формулу площади S b поверхности боковой через высоту. Имеем:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Здесь мы просто подставили соответствующую формулу апотемы в выражение для S b . Возведем обе части равенства в квадрат:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4 .

Чтобы найти значение a, сделаем замену переменных:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Подставляем теперь известные значения и решаем квадратное уравнение:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Мы выписали только положительный корень этого уравнения. Тогда стороны основания пирамиды будет равна:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 см.

Чтобы получить длину апотемы, достаточно воспользоваться формулой:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 см.

Боковая поверхность пирамиды Хеопса

Определим значение площади поверхности боковой для самой большой египетской пирамиды. Известно, что в ее основании лежит квадрат с длиной стороны 230,363 метра. Высота сооружения изначально составляла 146,5 метра. Подставим эти цифры в соответствующую формулу для S b , получим:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 м 2 .

Найденное значение немного больше площади 17 футбольных полей.

Инструкция

Прежде всего, стоит понять, что боковая поверхность пирамиды представлена несколькими треугольниками, площади которых можно найти с помощью самых различных формул, в зависимости от известных данных:

S = (a*h)/2, где h - высота, опущенная на сторону a;

S = a*b*sinβ, где a, b - стороны треугольника, а β - угол между этими сторонами;

S = (r*(a + b + c))/2, где a, b, c - стороны треугольника, а r - радиус вписанной в этот треугольник окружности;

S = (a*b*c)/4*R, где R - радиус описанной вокруг окружности треугольника;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (если треугольник - прямоугольный);

S = S = (a²*√3)/4 (если треугольник - равносторонний).

На самом деле, это лишь самые основные из известных формул для нахождения площади треугольника.

Рассчитав при помощи указанных выше формул площади всех треугольников, являющихся гранями пирамиды, можно приступить к исчислению площади данной пирамиды. Делается это предельно просто: необходимо сложить площади всех треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды. Формулой это можно выразить так:

Sп = ΣSi, где Sп - площадь боковой , Si - площадь i-ого треугольника, являющегося частью ее боковой поверхности.

Для большей ясности можно рассмотреть небольшой пример: дана правильная пирамида, боковые грани которой образованы равносторонними треугольникам, а в основании ее лежит квадрат. Длина ребра данной пирамиды составляет 17 см. Требуется найти площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Решение: известна длина ребра данной пирамиды, известно, что грани ее - равносторонние треугольники. Таким образом, можно сказать, что все стороны всех треугольников боковой поверхности равны 17 см. Поэтому для того, чтобы рассчитать площадь любого из этих треугольников, потребуется применить формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Известно, что в основании пирамиды лежит квадрат. Таким образом, понятно, что данных равносторонних треугольников четыре. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды рассчитывается так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 500.548 см²

Сначала вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Под боковой поверхностью подразумевается сумма площадей всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды) на высоту боковой грани (иначе называемой апофемой) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности, P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).

Если же перед вами произвольная пирамида, то придется отдельно вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются треугольники, воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды.

Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды. Выбор формулы для расчета зависит от того, какой многоугольник лежит в основании пирамида: правильный (то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или неправильный. Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.

Усеченная пирамида – это многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию. Найти площадь боковой поверхности пирамиды совсем несложно. Ее очень проста: площадь равняется произведению половины суммы оснований по . Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности . Допустим, дана правильная пирамида. Длины основания равны b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно сначала найти периметр оснований. В большом основании он будет равен p1=4b=4*5=20 см. В меньшем основании формула будет следующей: p2=4c=4*3=12 см. Следовательно, площадь будет равна: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см.

Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, для вычисления площади всей фигуры сначала нужно будет разбить многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого, а затем сложить. В остальных же случаях, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь каждой ее боковой грани и сложить полученные результаты. В некоторых случаях задача нахождения боковой поверхности пирамиды может быть облегчена. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию или две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то основание пирамиды считается ортогональной проекцией части ее боковой поверхности, и они связаны формулами.

Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды, сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (основание) – произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие . По числу углов основания пирамиды треугольные (тетраэдр), четырехугольные и так далее.

Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани - это треугольники, имеющие одну общую вершину. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания пирамиды .

Вам понадобится

• Бумага, ручка, калькулятор

Инструкция

Сначала вычислим площадь боковой поверхности . Под боковой поверхностью подразумевается сумма всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды ) на высоту боковой грани (иначе называемой ) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности , P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).

Если же перед вами произвольная пирамида, то придется вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются , воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды .

Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды . Выбор для расчета от того, многоугольник лежит в основании пирамида: правильный (то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или . Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.

Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, то для вычисления площади всей фигуры снова придется разбивать многоугольник на треугольники, вычислять площадь каждого, а затем складывать.

Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды , сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды .

Видео по теме

Многоугольник представляет собой геометрическую фигуру, построенную путем замыкания ломаной. Различают несколько видов многоугольника, которые отличаются в зависимости от количества вершин. Вычисление площади производится для каждого вида многоугольника определенными способами.

Инструкция

Перемножьте длины сторон, если вам необходимо вычислить площадь квадрата или прямоугольника. Если необходимо узнать площадь прямоугольного треугольника, достройте его до прямоугольника, вычислить его площадь и разделить ее на два.

Используйте для вычисления площади следующий способ, если фигура не имеет больше 180 градусов (выпуклый многоугольник), при этом все ее вершины находятся в сетки координат, а сама себя не пересекает.
Опишите вокруг такого многоугольника прямоугольник, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки (осям координат). При этом хотя бы одна из вершин многоугольника должна быть вершиной прямоугольника.

Два основания могут быть только у усеченной пирамиды . В этом случае второе основание образуется сечением, параллельным большему основанию пирамиды . Найти одно из оснований можно в том случае, если известна или линейные элементы второго.

Вам понадобится

• - свойства пирамиды;
• - тригонометрические функции;
• - подобие фигур;
• - нахождение площадей многоугольников.

Инструкция

Если основание представляет собой правильный треугольник, найдите его площадь , умножив квадрат стороны, на корень квадратный из 3 поделенный на 4. Если основание представляет собой квадрат, возведите его сторону во вторую степень. В общем случае, для любого правильного многоугольника примените формулу S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – количество сторон правильного многоугольника, a – длина его стороны.

Сторону меньшего основания найдите, по формуле b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Здесь а – большего основания, h – высота усеченной пирамиды , α – двугранный угол при ее основании, n – количество сторон оснований (оно одинаковое). Площадь второго основания найдите аналогично первому, используя в формуле длину его стороны S=(n/4) b² ctg(180º/n).

Если основания представляют собой другие типы многоугольников, известны все стороны одного из оснований , и одна из сторон другого, то остальные стороны вычислите как подобные. Например, стороны большего основания 4, 6, 8 см. Большая сторона меньшего основания рана 4 см. Вычислите коэффициент пропорциональности, 4/8=2 (берем стороны в каждом из оснований ), и рассчитайте другие стороны 6/2=3 см, 4/2=2 см. Получим стороны 2, 3, 4 см в меньшем основании стороны. Теперь вычислите их , как площади треугольников.

Если известно соотношение соответствующих элементов в усеченной , то соотношение площадей оснований будет равно отношению квадратов этих элементов. Например, если известны соответствующие стороны оснований а и а1, то а²/а1²=S/S1.

Под площадью пирамиды обычно понимается площадь ее боковой или полной поверхности. В основании данного геометрического тела лежит многоугольник. Боковые грани имеют треугольную форму. У них есть общая вершина, которая одновременно является и вершиной пирамиды .

Вам понадобится

• - лист бумаги;
• - ручка;
• - калькулятор;
• - пирамида с заданными параметрами.

Инструкция

Рассмотрите данную в задании пирамиду. Определите, правильный или неправильный многоугольник лежит в ее основании. У правильного все стороны равны. Площадь в этом случае равна половине произведения периметра на радиус . Найдите периметр, умножив длину стороны l на количество сторон n, то есть P=l*n. Выразить площадь основания можно формулой Sо=1/2P*r, где P - периметр, а r - радиус вписанной окружности.

Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы

Пирамида — одна из разновидностей многогранника, образованного из многоугольников и треугольников, которые лежат в основании и являются его гранями.

Причем на вершине пирамиды (т.е. в одной точке) все грани объединяются.

Для того чтобы вычислить площадь пирамиды, стоит определить, что ее боковая поверхность состоит из нескольких треугольников. А их площади мы сможем легко найти, применяя

различные формулы. В зависимости от того, какие данные треугольников нам известны, мы ищем их площадь.

Перечислим некоторые формулы, с помощью которых можно найти площадь треугольников:

1. S = (a*h)/2 . В данном случае нам известна высота треугольника h , которая опущена на сторону a .
2. S = a*b*sinβ . Здесь стороны треугольника a , b , а угол между ними — β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Здесь стороны треугольника a, b, c . Радиус окружности, которая вписана в треугольник - r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Радиус, описанной окружности вокруг треугольника — R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.
6. S = (a²*√3)/4 . Эту формулу применяем к равностороннему треугольнику.

Лишь после того, как рассчитаем площади всех треугольников, которые являются гранями нашей пирамиды, можно вычислить площадь ее боковой поверхности. Для этого будем использовать выше перечисленные формулы.

Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, никаких сложностей не возникает: нужно узнать сумму площадей всех треугольников. Выразим это формулой:

Sп = ΣSi

Здесь Si является площадью первого треугольника, а S п — площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим на примере. Дана правильная пирамида, ее боковые грани образованы несколькими равносторонними треугольниками,

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей ».

Галилео Галилей.

а квадрат является основанием пирамиды. Причем ребро пирамиды имеет длину 17 см. Найдем площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Рассуждаем так: нам известно, что гранями пирамиды являются треугольники, они равносторонние. Также нам известно, какова длина ребра у данной пирамиды. Отсюда выходит, что все треугольники имеют равные боковые стороны, их длина 17 см.

Для вычисления площади каждого из данных треугольников, можно использовать такую формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Так, как мы знаем, что квадрат лежит в основании пирамиды, то выходит, что мы имеем четыре равносторонних треугольника. А это значит, что площадь боковой поверхности пирамиды легко рассчитать по следующей формуле: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наш ответ следующий: 500.548 см² - такова площадь боковой поверхности данной пирамиды.