Как называются графики тригонометрических функций. Отрывок, характеризующий Тригонометрические функции
Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике . Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (). Данные функции часто появляются при решении и функциональных уравнений.
К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция .
Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left({x,y} \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left({x,y} \right)\).
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)
Секанс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)
Косеканс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)
В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) и радиус \(r\) образуют
прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой.
Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику
формулируются таким образом:
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)
График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)
1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.
4. Синусом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
5. Косинусом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r
6. Тангенсом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0
7. Котангенсом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0
8. Секанс
угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Косеканс
угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом
угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом
угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом
угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом
угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс
угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс
угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1
12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1
13. График функции тангенс
14. График функции котангенс
15. График функции секанс
Последние материалы раздела:
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}