Как решать системы дифференциальных однородных уравнений. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.

Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая в векторной форме записывается в виде

Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:

Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.

Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }