Как решать задачи с помощью диаграмм эйлера-венна.

Директор по визуальным концепциям компании McKinsey Джин Желязны знает о своей работе все. Это неудивительно: за 55 лет жизни, которые он посвятил изучению диаграмм и других способов визуализации, он накопил достаточный опыт, которым поделился в книге «Говори на языке диаграмм».

Нашим читателям - месяц на Bookmate бесплатно: введите промокод RUSBASE по ссылке http://bookmate.com/code .

Шаг 3. От сравнения к диаграмме – выберете тип диаграммы

Каждому типу сравнения соответствует определенный вид диаграмм. Подбирайте тип визуализации, исходя из типа сравнения.

Формулируем идею

Построение диаграмм начинается с формулирования основной мысли, которую вы хотите донести до аудитории с ее помощью. Основная идея - ответ на вопрос, что именно показывают нам данные и как они связаны между собой.

Самый простой способ сформулировать главную мысль - вынести ее в заголовок диаграммы.

Заголовок должен быть конкретным и нести в себе ответ на вопрос, который вы ставите перед аудиторией. При подборе слов используйте количественные и качественные характеристики и старайтесь избегать общих фраз и выражений.

Примеры конкретных и общих заголовков

Не забывайте главное правило: одна диаграмма - одна идея. Не старайтесь на одном графике показать все найденные вами связи и мысли. Такие диаграммы будут перегруженными и сложными для восприятия.

Определяем тип сравнения

Любую мысль и идею можно выразить при помощи одного из пяти типов сравнения. Ваша задача - правильно выбрать тип сравнения и подобрать к нему соответствующую диаграмму.

Небольшая подсказка:

Покомпонентное сравнение – ваши данные показывают определенную долю по отношению к целому.

Позиционное сравнение – вы хотите показать, как данные соотносятся друг с другом.

Временное сравнение – вы показываете, как данные изменяются во времени.

Частотное сравнение – вы хотите показать, какое количество объектов попадает в определенные диапазон.

Корреляционное сравнение – вы показываете, как данные зависят друг от друга.

Выбираем идеальную диаграмму

Каждому из типов сравнения соответствует свой вид диаграмм. Именно от его правильного выбора зависит понятность восприятия визуализированных данных.

Всего существует пять типов диаграмм и некоторые их вариации и комбинации:

1. Круговая диаграмма

Знакомый всем «пирог» – самый используемый тип диаграмм. По мнению Джина, это неоправданно, поскольку этот тип наименее практичен и должен составлять немногим более 5% всех диаграмм в презентациях.

2. Линейчатая диаграмма

Отдельные значения в этой диаграмме представлены полосами различной длины, расположенными горизонтально вдоль оси Х. По мнению автора, это самая недооцененная диаграмма, наиболее гибкий и универсальный тип, который должен был бы составлять 25% всех используемых диаграмм.

3. Гистограмма

Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. Чаще всего для удобства восприятия ширину прямоугольников берут одинаковую, при этом их высота определяет соотношения отображаемого параметра.

4. График

Знакомые всем со школы линейные графики состоят из точек на координатной сетке, соединенных линиями. Используются для характеристики вариации, динамики и взаимосвязи. Вместе с гистограммой должны составлять половину используемых диаграмм.

5. Точечная диаграмма

Она же диаграмма рассеивания, служит для размещения точек данных на горизонтальной и вертикальной оси с целью показать степень влияния одной переменной на другую. По мнению Желязны, ее должны использоваться в 10% случаев.

Не забывайте! Главная цель любой диаграммы - четко показать связи или зависимости между данными. Если иллюстрация не способна отразить взаимосвязи, лучше использовать таблицы.

Двойное сравнение

В некоторых случаях возникает необходимость показать на одном графике несколько типов сравниваемых данных и зависимость между ними.

В таких случаях необходимо определить основной тип сравнения и подбирать диаграмму на основании него. Например, если вы хотите показать вклад отдельных подразделений в общий доход компании в зависимости от месяцев, лучше использовать типы диаграмм для временного сравнения: график или гистограмму. А если вас больше интересует не изменение во времени, а конкретные достижения, используйте линейчатые диаграммы.

Помните: если на одной диаграмме не получается просто и понятно донести основную мысль, комбинируя данные, лучше использовать два отдельных виджета.

Шкалы, легенды и другие надписи

Идеальная диаграмма понятна для восприятия без дополнительной информации на ней. Однако это не означает, что вы не можете использовать шкалу или легенду, чтобы лучше донести основную мысль.

Главные правила при добавлении дополнительной информации:

Они не перегружают диаграмму.

Они не отвлекают от основной картинки.

Они дополняют диаграмму.

Конкретные примеры для каждого из типов сравнения и диаграмм вы можете найти в книге или использовать их электронную версию на сайте издательства.

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

• множество школьников, изучающих английский ("А");
• множество школьников изучающих французский ("Ф");
• множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0 : 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1 : 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по алгебре ("А");
• множество задач по геометрии ("Г");
• множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.

Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по кинематике ("К");
• множество задач по термодинамике ("Т");
• множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей:

0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.

1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.

2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.

3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.

4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х.

х=200+100+50=350.

Получили, 350 школьников решило две задачи.

Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?

Ответ: 300.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество людей, у которых есть кошка ("К");
• множество людей, у которых есть собака ("С");
• множество людей, у которых есть птичка ("П").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество человек для всех возможных областей:

0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.

1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.

2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.

3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.

4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U (универсум)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.

Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в городе N с 4 по 17 февраля 1908 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало ровно 2 миллиметра осадков.

Решение

Выбираем точку с ординатой 2 и наименьшей абсциссой. Видим, что её абсцисса равна 8 . Значит, 8 февраля впервые выпало 2 мм осадков.

Ответ

Условие

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 30 ^{\circ}C до температуры 70 ^{\circ}C.

Решение

На оси ординат находим промежуток от 30 до 70^{\circ}C. Ему соответствует на оси абсцисс промежуток от 1 до 7 минут. То есть двигатель нагревается шесть минут.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н·м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 50 Н·м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

Решение

Выбираем точку с ординатой 50 , ближайшую к началу координат. С помощью рисунка находим соответствующую ординате точку на графике, из неё опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и получаем точку, абсцисса которой равна 2000 это и есть наименьшее число оборотов.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При уменьшении сопротивления, увеличивается сила тока в электрической цепи электродвигателя, что приводит к ускорению вращения мотора отопителя. На графике показана зависимость силы тока от сопротивления в цепи. На оси абсцисс отложено сопротивление (в омах), а на оси ординат — сила тока в амперах. Рукоятку отопителя повернули таким образом, что ток в цепи снизился с 8 до 4 ампер. По графику определите, на сколько омов при этом увеличилось сопротивление?

Решение

Используя рисунок, определим на оси ординат промежуток от 8 до 4 ампер (ток в цепи электродвигателя уменьшается), ему соответствует промежуток на оси абсцисс от 1 до 2,5 Ом, то есть сопротивление в цепи увеличилось на 1,5 Ома.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортёрной ленте. От угла наклона транспортера к горизонту при расчётной нагрузке напрямую зависит допустимая сила натяжения ленты. Эта зависимость изображена на графике. На оси абсцисс отложен угол подъёма транспортера в градусах, а на оси ординат — сила натяжения ленты при допустимой нагрузке (в килограмм-силах). По графику определите, при каком угле наклона транспортера сила натяжения ленты составит 200 кгс? Ответ дайте в градусах.

Решение

На оси ординат находим отметку 200 кгс. Проводим прямую, перпендикулярную оси ординат до пересечения с графиком; из этой точки (на графике) опускаем перпендикуляр на ось абсцисс, соответствующее значение равно 75 . Угол наклона транспортёра к горизонту равен 75^{\circ} .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. Данная зависимость представлена графиком. На оси абсцисс отложено время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося вещества в граммах, не вступившего в реакцию. Используя график, определите сколько граммов реагента вступило в реакцию за первую минуту.

ЦЕЛИ: научиться читать диаграммы и решать задачи; выделять и группировать данные, которые должны быть отражены на диаграмме; анализировать и сравнивать данные представленные в диаграмме; осваивать построение диаграмм ручным способом и с помощью компьютера; применять построение диаграмм в практической деятельности.

Во-вторых, средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной величины, слежением за изменением их значений и т.п. Диаграмма – это, во-первых, графическое представление табличных данных,

Царевна Лягушка Мышка Норушка Винни-Пух Крокодил Гена Петр Петрович Пес Шарик Кот Матроскин Пример 1. Как-то раз собрались Мультипликационные герои в селе Простоквашино и решили выбрать себе Главу села. Претендентами были: Построить столбчатую диаграмму по результатам голосования.

Алгоритм построения столбчатой диаграммы 1. Построить таблицу с исходными данными 2. Выделить блок клеток 3. Вызвать Мастер диаграмм 3. Вызвать Мастер диаграмм (Меню Вставка – Диаграмма) 4. Выбрать тип диаграммы – гистограмма и вид 5. Вставить заголовки, подписи данных 6. Поместить диаграмму на имеющимся листе

Пример 2. Пример 2. Кот Матроскин решил организовать в своем селе Простоквашино комбинат по переработки молока от своей коровы Мурке, т.е. изготавливал молочные продукты (кефир, сметану, сливки, молоко, ряженку, йогурт). Дядя Федор реализовывал эту продукцию в городе, а пес Шарик туда ее доставлял. (1 упаковка 500 г) Постройте столбчатую диаграмму ручным способом и с помощью компьютера продажи молочных продуктов за неделю. 1 вариант ручным способом 2 вариант с помощью компьютера Молочные продукты Кол-во упаковок Кефир40 Сметана20 Сливки30 Молоко45 Ряженка25 Йогурт35 Продажа молочных продуктов за неделю

«Физкультминутка» 1) Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза и затем открыть веки. (3 раза); 2) Поднять руки вверх и посмотреть на руки, сделать вдох, опустить руки и глаза сделать выдох. (3 раза); 3) Покрутите головой, 3 раза в одну сторону, три раза в другую;

Подведение итогов С каким видом диаграмм мы познакомились на этом уроки? В каких сферах применили построение диаграмм? А сейчас подсчитаем количество баллов и ставим оценку: «5» если у вас общий балл 13 и более «4» если у вас общий балл от 10 до 12 включительно «3» если у вас общий балл от 7 до 9 включительно

Домашнее задание 1)Постройте столбчатую диаграмму выручки каждого молочного продукта за неделю, если: кефир 1 упаковка 11 рублей, сметана 1 упаковка 42 рубля, сливки 1 упаковка 21 рубль, молоко 1 упаковка 12 рублей, ряженка 1упаковка 15 рублей, йогурт 1 упаковка13 рублей.

Конспект урока математики в 6 классе по теме «Диаграммы».

Ход мероприятия.

Таблицы удобны для упорядочивания и поиска данных (облегчают поиск необходимых сведений, не заставляют изучать всю имеющуюся информацию, а сразу найти то, что нужно, позволяют легко сравнивать однотипные сведения и делать необходимый выбор). Однако они не дают наглядного представления. Поэтому сегодня мы познакомимся с еще одним способом подачи информации, который во многом удобнее и нагляднее, чем таблица.
Чтобы узнать тему нашего урока, вам нужно разгадать несложную шифровку. Вы легко справитесь с заданием, если вспомните, как раскладывать числа на простые множители.