Как сделать пропорцию с процентами. Как найти процент от числа: на бумаге и не только

Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство

Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.

От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:

В пропорции

произведение крайних членов равно произведению средних

Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.

Например,

То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины , в числителе – произведение оставшихся членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит ).

Задача 1.

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:

Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

Заполним таблицу:

Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.

Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.

Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

Задача 2.

Перевести в радианы.

Решение:

Мы знаем, что . Заполним таблицу:

Задача 3.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

Решение:

Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .

Составим таблицу:

Откуда площадь круга – есть .

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение:

Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.

Заполняем таблицу:

Откуда получаем, что все поле составляет (га).

А следующая задача – с засадой.

Задача 5.

Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?

Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.

В чем ошибка рассуждений?

До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .

Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.

Решение:

Рассуждаем так:

Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.

Пропорция в переводе с латинского языка (proportio) обозначает соотношение, выравненность частей, то есть равенство 2-х отношений. Знание вычислять пропорции зачастую бывает нужным в бытовых обстановках.

Инструкция

1. Легкой пример, когда нужно применить познания о решении пропорций: как вычислить 13% от вашей заработной платы – те самые проценты, которые уходят в Пенсионный фонд.

2. Напишите две строчки пропорции. В первой укажите всеобщую сумму зарплаты, которая представляет собой 100%, то есть, скажем, 15 000 (рублей) = 100%.

3. Строчкой ниже обозначьте ту сумму, которую надобно вычислить, знаком «Х», тот, что равен 13%, то есть Х = 13%.

4. Основное качество пропорции звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это значит, что если вы помножите 15 000 на 13, то полученное число будет равняться значению Х, помноженному на 100. То есть перемножая члены пропорции крест накрест, вы получите идентичное значение.

5. Дабы вычислить, чему равен в финальном результате Х, умножьте 15 000 на 13 и поделите на 100. У вас получится, что 13 процентов от вашей зарплаты составляет 1950 рублей, таким образом, на руки вы получаете 15 000 – 1950 = 13 050 рублей чистой зарплаты.

6. Если вам надобно взять для пирога 100 граммов сахарной пудры, а вы знаете, что в одном граненом стакане помещается 140 граммов, составьте следующую пропорцию:100 = Х140 = 1

7. Подсчитайте, чему равен Х.Х = 100 х 1 / 140 = 0,7То есть вам потребуется 0,7 стакана сахарной пудры.

8. Бывает, что надобно вычислить целое, зная только процентную часть. Скажем, вы знаете, что 21 человек на предприятии, а это 5% от всеобщего числа работников, имеют среднее особое образование. Составьте пропорцию, дабы вычислить всеобщее число работников: Х (человек) = 100%, 21 = 5%. 21 х 100 / 5 = 420 человек.

9. Таким образом, записав в две строки имеющиеся данные, значение неведомого члена надобно находить так: помножьте между собой те члены пропорции, которые оказываются рядом и сверху незнакомого и поделите полученное число на значение, которое находится по диагонали от неведомого.А=БС=ДА = Б х С / Д; Б = А х Д / С; С = А х Д / Б; Д = С х Б / А

В геометрии существует несколько видов диагоналей. Диагональю именуется отрезок, тот, что соединяет две не соседние (не принадлежащие одной стороне либо одному ребру) вершины многоугольника либо многогранника. Различают так же диагонали граней, рассматриваемых как многоугольники и пространственные диагонали, соединяющие вершины различных граней многогранника. Существуют фигуры, у которых все диагонали равны между собой. На плоскости это верный пятиугольник и квадрат, в пространстве – положительный октаэдр.Зная длины сторон положительного многоугольника либо длины рёбер положительного многогранника дозволено вычислить длину всякий диагонали.

Инструкция

1. В любом верном многоугольнике углы равны между собой и вычисляются по формуле?? = (N – 2) * 180?/N, где?? – всякий из углов положительного многоугольника, N – число вершин.Зная углы при вершинах многоугольника, его диагонали дозволено вычислить, применяя теорему косинусовBE = v(AB? + AE? – 2 * AB * AE * cos??)

2. Если число вершин огромнее пяти, то для вычисления диагоналей, которые соединяют вершины, лежащие на различных сторонах дозволено воспользоваться той же теоремой косинусов для вычисления углов образующихся треугольников. Скажем, в шестиугольнике ABCDEF, для нахождения диагонали BE, нужно вычислить диагональ CE, после этого по той же теореме косинусов вычислить угол??, тогда?? = ?? – ??. Таким образом,BE = v(BC? + CE? – 2 * BC * CE * cos??).

Видео по теме

Обратите внимание!
Для вычисления пространственной диагонали многогранника, нужно возвести сечение, содержащее эту диагональ, вычислить углы при вершинах этого сечения, рассматривая сечение как плоский многоугольник. Тогда диагональ дозволено рассчитать по приведённой выше схеме.

Что представляет собой пропорция? С математической точки зрения, пропорция – это равенство 2-х отношений. Все части пропорции являются взаимозависимыми, а их итог непоколебим.

Вам понадобится

• – Учебник алгебры за 7 класс.

Инструкция

1. Числа, которые находятся по краям равенства, именуются крайними. Соответственно, те, что находятся в середине – средними. Основным свойством пропорции является то, что крайние и средние части равенства дозволено перемножать между собой. Возьмите пропорцию 6:3=8:4. Перемножьте между собой крайние части, получится 6*4=24, произведение средних частей тоже будет равным 24. Отсель итог: произведение одних частей пропорции должно быть равно произведению других частей (крайние = средние).

2. Возьмите это качество пропорции на вооружение, вычислите незнакомый член уравнения x:4=15:3. Для того, дабы обнаружить неведомую часть пропорции, воспользуйтесь правилом равнозначности крайних и средних частей. Запишите это уравнение так: x*3=4*15. Решив это уравнение, вы получите правильную пропорцию.

3. Если пропорция состоит из огромных либо дробных чисел, ее дозволено упростить. Уменьшите оба члена отношения на идентичное число раз. Дабы не случилось нарушения пропорции, сделайте так: 40:10=60:15. Увеличьте оба члена отношения в три раза (120:30=60:15) либо уменьшите части второго отношения (40:10=12:3). Обе пропорции будут положительными.

4. Увеличивайте либо сокращайте пропорции только в идентичное число раз. Получив упрощенные реформирование, вы освобождаете пропорцию от дробных членов и упрощаете уравнение. Возьмите пример: 200:25=56:х. Дабы не исполнять вычисление с огромными числами, поделите их на одно и то же число. Если за это число взять 25, уравнение примет дальнейший вид: 8:1=56:х. Неведомую часть этой пропорции дозволено определить в уме, не прибегая к трудным вычислениям.

5. Части пропорций дозволено переставлять. Возьмите пропорцию 3:5=12:20. Переставьте крайние части (20:5=12:3), допустима и одновременная перегруппировка всех частей (20:12=5:3). Все пропорции будут правильными. Так из одной пропорции вы получите несколько, и все они будут положительными.

Обратите внимание!
Перегруппировка частей пропорций местами комфортна при решении задач.

Полезный совет
Основное качество всех пропорций: ab = bc.

В математике пропорцией называют равенство 2-х отношений. Для всех ее частей характерна взаимозависимость и постоянный итог. Довольно разглядеть один пример, дабы осознать тезис решения пропорций.

Инструкция

1. Изучите свойства пропорций. Числа по краям равенства называют крайними, а находящиеся посередине – средними. Основное качество пропорции заключается в том, что средние и крайние части равенства могут быть перемножены между собой. Довольно взять пропорцию 8:4=6:3. Если перемножить крайние части между собой, получится 8*3=24, как и при умножении средних чисел. Это обозначает, что произведение крайних частей пропорции неизменно равно произведению ее средних частей.

2. Возьмите на вооружение основное качество пропорции, дабы вычислить неведомый член в уравнении x:4=8:2. Для нахождения незнакомой части пропорции следует воспользоваться правилом равнозначности средних и крайних частей. Запишите уравнение в виде x*2=4*8, то есть x*2=32. Решите это уравнение (32/2), вы получите недостающий член пропорции (16).

3. Упростите пропорцию, если она состоит из дробных либо крупных чисел. Для этого поделите либо умножьте оба ее члена на идентичное число. Скажем, комбинированные части пропорции 80:20=120:30 дозволено упростить, поделив ее члены на 10 (8:2=12:3). Вы получите эквивалентное равенство. То же самое будет, если вы увеличите все члены пропорции, скажем, на 2, таким образом 160:40=240:60.

4. Испробуйте переставить части пропорций. К примеру, 6:10=24:40. Поменяйте местами крайние части (40:10=24:6) либо же единовременно сделайте перегруппировку всех частей (40:24=10:6). Все полученные пропорции будут эквивалентными. Так вы сумеете получить несколько равенств из одного.

5. Решите пропорцию с процентами. Запишите ее, скажем, в виде: 25=100%, 5=x. Сейчас необходимо перемножить средние члены (5*100) и поделить на знаменитый крайний (25). В результате получается, что x=20%. Таким же образом дозволено перемножать знаменитые крайние члены и разделять их на имеющийся средний, получая желанный итог.

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :

x = 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

(от лат. ргоро rtio — «соизмеримость» ).

Если соотношение а: b равно соотношению с: d , то тождество а: b = с: d называют пропорцией.

Если , то равенство сохранится и в следующих случаях:

(увеличение пропорции),

(уменьшение пропорции).

(составление пропорции сложением),

(составление пропорции вычитанием).

Обратим внимание, что составление пропорций — ещё один способ решения задач на проценты .

Например:

Олово производят из минерала, который называют касситеритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содержит 78 % олова?

Решение. Пусть получат х т олова. Взяв массу минерала за 100 % , запишем:

Решив 25.78 = 100х мы находим, что х = 19,5т.

Концепция пропорции тесно взаимосвязана с пропорциональностью . Пропорциональность - это неизменное соотношение двух величин друг к другу. Например, чем больше мы давим на педаль "газ" в машине, тем стремительнее она поедет.

Пропорциональность может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность -рост одной величины влечет за собой рост другой.

Обратная пропорциональность существует тогда, когда рост одной величины в несколько раз, во столько же раз уменьшает другую. Продолжая предыдущий пример - обратная пропорциональность между нажатием на педаль "тормоз" и скоростью автомобиля - чем больше мы давим на тормоз, тем меньше скорость.