Каждого выражения модулем ур. Решение уравнений с модулем
Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.
Процесс решения
Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.
Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.
Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.
Российский математик Ю.И. Манин
Уравнения с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение уравнений с модулем
Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить уравнение . (1)
Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).
2. Если , то из уравнения (1) получаем или .
Так как , то корень уравнения (1).
3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .
Ответ: , .
При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)
где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .
Пример 7. Решить уравнение . (4)
Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.
1. Если , то или .
Отсюда получаем , и .
2. Если , то или .
Так как , то .
Ответ: , , , .
Пример 8. Решить уравнение . (5)
Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений
Однако данная система уравнений является несовместной.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решить уравнение . (6)
Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем
Или . (7)
Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение . (8)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(9)
Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств
(10)
Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение . (11)
Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .
Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить уравнение . (12)
Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.
1. Если , то .
1.1. Если , то и , .
1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.
2. Если , то .
2.1. Если , то и , .
2.2. Если , то и .
Ответ: , , , , .
Пример 13. Решить уравнение . (13)
Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)
принимает вид или .
Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .
Ответ: .
Пример 14. Решить систему уравнений (14)
Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:
Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).
Ответ: ,, , , , , , .
Пример 15. Решить систему уравнений (15)
Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений
Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .
Ответ: , , , .
Пример 16. Решить систему уравнений (16)
Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .
Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .
Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Среди примеров на модули
часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле
, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m
.
Если k=0
, то есть правая сторона равна постоянной (m)
то проще искать решение уравнения с модулями графически.
Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей
на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.
Пример 1.
Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение:
Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <->
x=0.
В точке x=0
уравнения с модулем разделяется на 2
.
При x < 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0
или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2
.
Решим уравнение
для отрицательных переменных (x < 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1)
, т.е.
Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе
и найдем решение
Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений
Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие
которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.
Пример 2.
Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение:
Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=>
x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 ->
x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4
или x-3=4-3x;
4-3=3x-x
или x+3x=4+3;
2x=1
или 4x=7;
x=1/2
или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.
Пример 3.
Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=>
x=5/2=2,5.
Точка x=2,5
разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция
меняет знак при переходе через 2,5.
Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 ->
x>=-3
.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3)
. Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3
или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3
или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3
или x=7
.
Значение x=7
отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5].
Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5
. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3
или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3
или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1
или x=9
.
Первое значение x=1
не удовлетворяет условие x>2,5.
Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9,
а всего их два (x=1/3)
.Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:
x=1/3; x=9.
Пример 4.
Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=>
x=1/3.
Точка x=2,5
делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 ->
x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5
. Таким образом модульное уравнения
рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3
или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3
или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5
или x=-7
.
Оба значения не попадают в промежуток
, то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5
. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3
.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3
или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
или 2x+3x=6+3;
x=3
или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5
, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3
.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:
x=1/3; x=9.
Инструкция
Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
Легко заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел подчиняется тому же правилу, что сложение и .
Произведение двух комплексных чисел равно:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Поскольку i^2 = -1, то конечный результат равен:
(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. Однако в комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a, то есть n корней n-ой степени.
В частности, это значит, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней, некоторые из которых могут быть и .
Видео по теме
Источники:
- Лекция "Комплексные числа" в 2019
Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют корни, недостаточно только рассчитать значение. Приходится осуществлять и дополнительные операции, одной из которых является внесение числа, переменной или выражения под знак корня.
Инструкция
Определите показатель степени корня. Показателем называют целое число, указывающее степень, в которую надо возвести результат вычисления корня, чтобы получить подкоренное выражение (то число, из которого извлекается этот корень). Показатель степени корня в виде верхнего индекса перед значком корня. Если этот не указан, это квадратный корень, степень которого равна двойке. Например, показатель корня √3 двум, показатель ³√3 равен трем, показатель корня ⁴√3 равен четырем и т.д.
Возведите число, которое требуется внести под знак корня, в степень, равную показателю этого корня, определенную вами на предыдущем шаге. Например, если нужно внести число 5 под знак корня ⁴√3, то показателем степени корня является четверка и вам надо результат возведения 5 в четвертую степень 5⁴=625. Сделать это можно любым удобным вам способом - в уме, с помощью калькулятора или соответствующих -сервисов, размещенных .
Внесите полученное на предыдущем шаге значение под знак корня в качестве множителя подкоренного выражения. Для использованного в предыдущем шаге примера с внесением под корень ⁴√3 5 (5*⁴√3), это действие можно так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Упростите полученное подкоренное выражение, если это возможно. Для примера из предыдущих шагов это , что нужно просто перемножить числа, стоящие под знаком корня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На этом операция внесения числа под корень будет завершена.
Если в задаче присутствуют неизвестные переменные, то описанные выше шаги можно проделать в общем виде. Например, если требуется внести под корень четвертой степени неизвестную переменную x, а подкоренное выражение равно 5/x³, то вся последовательность действий может быть записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).
Источники:
- как называется знак корня
Действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел - это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя.
Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).
Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:
Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).
Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )
Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).
Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:
Модуль числа 3 обозначается так: |3|
Модуль числа 4 обозначается так: |4|
Модуль числа 5 обозначается так: |5|
Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:
Читается как: «Модуль числа три равен три»
Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.
Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).
Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:
Читается как: «Модуль числа минус три равен три»
Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:
«Модуль нуля равен нулю»
Делаем выводы:
- Модуль числа не может быть отрицательным;
- Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
- Противоположные числа имеют равные модули.
Противоположные числа
Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.
Еще примеры противоположных чисел:
Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2
На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках