Контрольная работа по алгебре на тему "арифметическая прогрессия".

Контрольная работа

«арифметическая прогрессия»

В а р и а н т 1

1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (а п ), если а 1 = –15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; …

3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b п ), заданной формулой b п = 3 п – 1.

4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (а п ), в которой а 1 = 25,5 и а 9 = 5,5?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

В а р и а н т 2

1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (а п ), если а 1 = 70 и d = –3.

2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: –21; –18; –15; …

3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (b п ), заданной формулой b п = 4 п – 2.

4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (а п ), в которой а 1 = 11,6 и а 15 = 17,2?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

В а р и а н т 3

1. Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии (а п ), если а 1 = 65 и d = –2.

2. Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии: 42; 34; 26; …

3. Найдите сумму восьмидесяти первых членов последовательности (b п ), заданной формулой b п = 2 п – 5.

4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (а п ), в которой а 1 = –2,25 и а 11 = 10,25?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80.

В а р и а н т 4

1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии (а п ), если а 1 = –9 и d = 4.

2. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии: –63; –58; –53; …

3. Найдите сумму ста двадцати первых членов последовательности (b п ), заданной формулой b п = 3 п – 2.

4. Является ли число 35,8 членом арифметической прогрессии (а п ), в которой а 1 = –23,6 и а 22 = 11?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 150.

В контрольной работе задания 1 и 2 обязательного уровня.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. (а п а 1 = –15, d = 3.

а 23 = а 1 + 22 d ; а 23 = –15 + 22 · 3 = –15 + 66 = 51.

О т в е т: 51.

2. 8; 4; 0; … – арифметическая прогрессия;

а 1 = 8, d = – 4.

S n = · п ; S 16 = · 16 = (16 – 60) · 8 =
= –44 · 8 = –352.

О т в е т: –352.

3. b п = 3 п – 1, значит, (b п

b 1 = 3 · 1 – 1 = 2; b 60 = 3 · 60 – 1 = 179;

S n = · п ; S 60 = · 60 = 181 · 30 = 5430.

О т в е т: 5430.

4. (а п ) – арифметическая прогрессия; а 1 = 25,5; а 9 = 5,5.

Пусть а п = 54,5.

d = ; d = = = –2,5;

а п = а 1 + d (п – 1); 54,5 = 25,5 – 2,5 (п – 1); 2,5 (п – 1) = –29;

п – 1 = –11,6; п = –10,6, п N , значит, 54,5 не является членом арифметической прогрессии (а п ).

О т в е т: нет.

5. (а п ) – арифметическая прогрессия; а п = 3 п ; а п ≤ 100;

3 п ≤ 100; п ≤ 33 , так как п N ,то п = 33.

S n = · п ; а 1 = 3; а 33 = 99, тогда

S 33 = · 33 = 1683.

О т в е т: 1683.

В а р и а н т 2

1. (а п ) – арифметическая прогрессия; а 1 = 70, d = –3.

а 18 = а 1 + 17 d ; а 18 = 70 + 17 · (–3) = 70 – 51 = 19.

О т в е т: 19.

2. –21; –18; –15; … – арифметическая прогрессия;

а 1 = –21, d = 3.

S n = · п ; S 20 = · 20 = · 20 =
= 15 · 10 = 150.

О т в е т: 150.

3. b п = 4 п – 2, значит, (b п ) – арифметическая прогрессия.

b 1 = 2; b 40 = 4 · 40 – 2 = 160 – 2 = 158;

S n = · п ; S 40 = · 40 = 160 · 20 = 3200.

О т в е т: 3200.

4. (а п ) – арифметическая прогрессия; а 1 = 11,6; а 15 = 17,2.

Пусть а п = 30,4.

d = ; d = = = 0,4;

а п = а 1 + d (п – 1); 30,4 = 11,6 + 0,4 (п – 1); 0,4 (п – 1) = 18,8;

п – 1 = 47; п = 48, п N , значит, 30,4 является членом арифметической прогрессии (а п ).

О т в е т: да.

5. (а п ) – арифметическая прогрессия; а п = 7 п ; а п ≤ 150;

7 п ≤ 150; п ≤ 21 , так как п N ,то п = 21.

S n = · п ; а 1 = 7; а 21 = 147, тогда

S 21 = · 21 = 77 · 21 = 1617.

О т в е т: 1617.

В а р и а н т 3

1. (а п ) – арифметическая прогрессия; а 1 = 65, d = –2.

а 32 = а 1 + 31 d ; а 32 = 65 + 31 · (–2) = 65 – 62 = 3.

О т в е т: 3.

2. 42; 34; 26; … – арифметическая прогрессия;

а 1 = 42, d = –8.

S n = · п ; S 24 = · 24 = · 24 =
= –100 · 12 = –1200.

О т в е т: –1200.

3. b п = 2 п – 5, значит (b п ) – арифметическая прогрессия.

b 1 = –3; b 80 = 2 · 80 – 5 = 160 – 5 = 155

S n = · п ; S 30 = · 80 = 152 · 40 = 6080.

О т в е т: 6080.

4. (а п ) – арифметическая прогрессия; а 1 = –2,25; а 11 = 10,25.

Пусть а п = 6,5.

d = ; d = = 1,25.

а п = а 1 + d (п – 1); 6,5 = –2,25 + 1,25 (п – 1);

1,25 (п – 1) = 8,75;

п – 1 = 7; п = 8, п N , значит, число 6,5 является членом арифметической прогрессии (а п ).

О т в е т: да.

5. (а п ) – арифметическая прогрессия, а п = 9 п ; а п ≤ 80;

9 п ≤ 80; п ≤ 8 , так как п N ,то п = 8.

а 1 = 9; а 8 = 72, S n = · п ; S 8 = · 8 = 324.

Приложение 2.

Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия - «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.

Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).

Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.

Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

Данный способ применим для небольших чисел.

При расчёте НОК встречаются особые случаи.

1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Если два не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК - это произведение этих двух чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

42:9=4 (остаток 6)

Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

Делитель отличается от кратного тем, что делитель - это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.

Наибольший общий делитель чисел a и b , умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b .

А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

168=2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.