Красников Г.Е., Нагорнов О., Старостин Н.В. Моделирование физических процессов с использованием пакета Comsol Multiphysics

«ВВЕДЕНИЕ В COMSOL Multiphysics Введение в COMSOL Multiphysics © 1998–2015 COMSOL Защищено патентами США, перечисленными на веб-сайте...»

-- [ Страница 2 ] --

10Введите tbb в поле Radius (Радиус).

Это относится к внутреннему углу.

134 | 11Для внешнего угла щелкните правой кнопкой мыши Plane Geometry (Геометрия плоскости) и выберите Fillet (Галтель).

12В Графическом окне щелкните point 6 (точка 6) во внешнем угле, чтобы добавить ее в список Vertices to fillet (Вершины для скругления).

13Введите 2*tbb в поле Radius (Радиус).

Нажмите Build Selected (Построить выбранные).

Результат изображен на иллюстрации:

1 В Построителе моделей щелкните правой кнопкой мыши Work Plane 1 (Рабочая плоскость 1) и выберите Extrude (Выдавить). В окне Settings (Настройки) блока Extrude (Выдавить) введите wbb в таблице Distances from Plane (Расстояния от плоскости) вместо значения по умолчанию, чтобы выдавить плоскость на ширину профиля.

| 135 В таблице можно ввести несколько значений, чтобы создать многослойные структуры из различных материалов. Для данного случая достаточно одного выдавленного слоя.

2 Нажмите Build Selected (Построить выбранные), а затем нажмите кнопку Zoom Extents (Масштаб сцены) на панели инструментов Graphics (Графика). Нажмите кнопку Save (Сохранить) и сохраните модель под именем busbar.mph, если вы еще не сделали этого.

Теперь создайте титановые болты, выдавив две окружности на двух рабочих плоскостях.

3 В Построителе моделей щелкните правой кнопкой Geometry 1 (Геометрия 1) и добавьте Work Plane (Рабочую плоскость). Узел Work Plane 2 (Рабочая плоскость 2) добавлен. В окне Settings (Настройки) для блока Work Plane (Рабочая плоскость). в разделе Plane Definition (Определение плоскости) выберите Face parallel (Параллельно поверхности) в списке Plane type (Тип плоскости).

136 | 4 В Графическом окне щелкните face 8 (поверхность 8), как показано на иллюстрации ниже, чтобы добавить ее в список Planar face (Плоская поверхность) в окне Settings (Настройки) блока Work Plane (Рабочая плоскость).

Поверхность под номером 8 теперь подсвечена синим цветом, а рабочая плоскость размещена поверх нее.

Поверхность 8 5 Нажмите кнопку Show Work Plane (Показать рабочую плоскость), чтобы нарисовать первую окружность там, где будет находиться первый болт.

Нажмите кнопку Zoom Extents (Масштаб сцены) на панели инструментов Graphics (Графика).

–  –  –

Теперь добавим операцию выдавливания.

138 | 1 В Построителе моделей щелкните правой кнопкой мыши Work Plane 2 (Рабочая плоскость 2) и выберите Extrude (Выдавить). В окне Settings (Настройки) блока Extrude (Выдавить) в первой строке таблицы Distances from Plane (Расстояния от плоскости) введите -2*tbb, чтобы выдавить окружность.

2 Нажмите кнопку Build Selected (Построить выбранные), чтобы создать цилиндрическую часть титанового болта, проходящего сквозь электрическую шину.

Нарисуйте два оставшихся болта.

| 139 3 Щелкните правой кнопкой мыши Geometry 1 (Геометрия 1) и выберите Work Plane (Рабочая плоскость). Узел Work Plane 3 (Рабочая плоскость 3) добавлен. В окне Settings (Настройки) для блока Work Plane (Рабочая плоскость) для рабочей плоскости 3 выберите Face parallel (Параллельно поверхности) в списке Plane type (Тип плоскости).

4 В Графическом окне щелкните Face 4 (Поверхность 4), как показано на иллюстрации, чтобы добавить ее в список Planar face (Плоская поверхность) в окне Settings (Настройки) блока Work Plane (Рабочая плоскость).

5 Нажмите кнопку Show Work Plane (Показать рабочую плоскость) в окне Settings (Настройки) блока Work Plane (Рабочая плоскость) и кнопку Zoom Extents (Масштаб сцены) на панели инструментов Graphics (Графика), чтобы лучше рассмотреть геометрию.

Для параметризации положения двух остальных болтов добавьте окружности, формирующие поперечные сечения болтов.

140 | 6 В разделе Work Plane 3 (Рабочая плоскость 3) щелкните правой кнопкой мыши Plane Geometry (Геометрия плоскости) и выберите Circle (Окружность).

В окне Settings (Настройки) раздела

Circle (Окружность):

В разделе Size and Shape (Размер и форма) введите rad_1 в поле Radius (Радиус).

В разделе Position (Положение) введите -L/2+1.5e-2 в поле xw и -wbb/4 в поле yw.

Нажмите Build Selected (Построить выбранные).

Скопируйте только что созданные окружности, чтобы сформировать третий болт электрической шины.

7 В разделе Work Plane 3 (Рабочая плоскость 3) щелкните правой кнопкой мыши Plane Geometry (Геометрия плоскости) и выберите Transforms Copy (Преобразования Копирование).

8 В Графическом окне) щелкните окружность c1, чтобы выбрать ее и добавить в список Input objects (Входные объекты) в окне Settings (Настройки) блока Copy (Копировать).

9 В окне Settings (Настройки) блока Copy (Копировать) в разделе Displacement (Смещение) введите wbb/2 в поле yw.

142 | 11В Построителе моделей щелкните правой кнопкой мыши Work Plane 3 (Рабочая плоскость 3) и выберите Extrude (Выдавить). В окне Settings (Настройки) блока Extrude (Выдавить) в первой строке таблицы Distances from Plane (Расстояния от плоскости) введите -2*tbb вместо значения по умолчанию. Нажмите Build All Objects (Построить все объекты).

Геометрия и последовательность геометрии должны выглядеть, как на иллюстрациях ниже. Нажмите кнопку Save (Сохранить) сохраните модель под именем busbar.mph.

СОЗДАНИЕ ЧАСТЕЙ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БИБЛИОТЕК ЧАСТЕЙ

В рассмотренных нами примерах геометрия сохранялась прямо в файле модели COMSOL, который тоже будет использоваться для настройки полной модели электрической шины. Вместо этого можно создать часть для многократного использования, которая хранится в отдельном файле, доступном в Библиотеках частей, и может стать составным компонентом для более сложной геометрии модели COMSOL.

При построении геометрии электрической шины вы использовали функции на вкладках Geometry (Геометрия) и Workplane (Рабочая плоскость). Меню Parts (Части) находится в группе Other (Прочие) на этих вкладках.

С помощью меню Parts (Части) можно создать или загрузить часть, а также добавить ее из Библиотек частей в геометрию модели. По умолчанию в систему уже встроены несколько Библиотек частей. Части, созданные пользователем, добавляются в родительский узел Parts (Части) в разделе Global Definitions (Глобальные определения) дерева модели.

Дополнительную информацию о работе с частями и Библиотеками частей см. в COMSOL Multiphysics Reference Manual (Справочное руководство COMSOL Multiphysics).

Чтобы продолжить изучение учебной модели электрической шины, вернитесь в раздел «Материалы» на стр. 62.

144 | Приложение B. Сочетания клавиш и действия мышью

–  –  –

148 | Приложение C. Элементы языка и зарезервированные имена Построение дерева модели в COMSOL эквивалентно графическому программированию последовательности операций. При сохранении файла модели для MATLAB® или Java® создается последовательность операций в виде списка обычных операторов программирования. В этом разделе рассмотрены следующие категории элементов, доступные в языке, лежащем в основе ПО COMSOL:

Константы,

Переменные,

Функции,

Операторы,

Выражения.

Эти элементы языка могут быть встроенными или пользовательскими.

Операторы не могут быть пользовательскими. Выражения всегда только пользовательские.

О ЗАРЕЗЕРВИРОВАННЫХ ИМЕНАХ

ПЕРЕМЕННЫЕ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРИЛОЖЕНИЯХ

Например, можно разрешить пользователю приложения изменять значение параметра. Кроме того, переменные для использования в приложениях задаются в Среде разработки приложений в узле Declarations (Объявления).

Такие переменные доступны глобально в объектах и методах форм, но не могут использоваться в Построителе моделей.

| 149 К о н ст а н т ы и параметры Константы бывают трех типов: встроенные математические и числовые константы, встроенные физические константы и параметры. Параметры - это пользовательские константы, которые могут изменяться при параметрическом анализе. Константы являются скалярными величинами.

В таблицах ниже приведены матеметические и числовые константы, а также встроенные физические константы. Константы и параметры могут иметь размерность.

ВСТРОЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛОВЫЕ КОНСТАНТЫ

ОПИСАНИЕ ИМЯ ЗНАЧЕНИЕ

–  –  –

| 151 ПАРАМЕТРЫ Параметры - пользовательские скалярные константы в разделе Global Definitions (Глобальные определения) дерева модели. Примеры использования:

Параметризация геометрических размерностей.

Параметризация размеров элементов сетки.

Определение параметров для параметрических исследований.

Параметр можно объявить в виде выражения, содержащего числа, параметры, встроенные константы, встроенные функции от параметров и встроенные константы. В квадратных скобках необходимо указать размерность параметра - за исключением безразмерных параметров.

Пер емен н ы е

Переменные могут быть двух типов - встроенные и пользовательские.

Переменные могут быть скалярными или полевыми. Переменные могут иметь размерность.

Примечание. Одна из групп пользовательских переменных представляет особый интерес. Переменные пространственных координат и зависимые переменные. Имена по умолчанию для этих переменных отражают размерность пространства геометрии и интерфейс физик соответственно.

На основе имен, выбранных для данных переменных, COMSOL создает список встроенных переменных - производных первого и второго порядков по пространственным координатам и времени.

ВСТРОЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

ИМЯ ОПИСАНИЕ ТИП

–  –  –

Пример: Пусть T - имя переменной для температуры в двумерной модели теплопередачи, зависящей от времени, x и y - имена пространственных координат.

В этом случае будут созданы следующие встроенные переменные:

T, Tx, Ty, Txx, Txy, Tyx, Tyy, Tt, Txt, Tyt, Txxt, Txyt, Tyxt, Tyyt, Ttt, Txtt, Tytt, Txxtt, Txytt, Tyxtt и Tyytt. Здесь Tx соответствует частной производной температуры T по x, а Ttt соответствует производной второго порядка от T и так далее. Если переменные пространственных координат имеют другие имена - например, psi и chi, - то Txy будет называться Tpsichi, а Txt станет Tpsit. (Переменная t является встроенной, поэтому ее имя нельзя изменить.)

–  –  –

Функции могут быть двух типов - встроенные и пользовательские.

В зависимости от вводных аргументов функции бывают скалярными или полевыми. Вводные и выходные аргументы функций могут иметь размерность.

ВСТРОЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ИМЯ ОПИСАНИЕ ПРИМЕР СИНТАКСИСА

–  –  –

ВСТРОЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ

ИМЯ ИМЯ ИМЯ ИМЯ

–  –  –

ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЕ ФУНКЦИИ

–  –  –

ИМЯ ШАБЛОНА АРГУМЕНТЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМЕР СИНТАКСИСА

–  –  –

ИМЯ ШАБЛОНА АРГУМЕНТЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМЕР СИНТАКСИСА

–  –  –

ПАРАМЕТРЫ Выражение параметра может содержать числа, другие параметры, встроенные константы, встроенные функции выражений параметров, а также унарные и бинарные операторы. Параметры могут иметь размерность.

ПЕРЕМЕННЫЕ Выражение для переменной может содержать числа, параметры, константы, другие переменные, функции от выражений с переменными, а также унарные и бинарные операторы. Переменные могут иметь размерность.

ФУНКЦИИ Объявление функции может содержать вводные аргументы, числа, параметры, константы, функции выражений параметров с вводными аргументами, а также унарные и бинарные операторы.

–  –  –

Ф ор ма т ы файл ов COMSOL Тип файла модели COMSOL с расширением.mph используется по умолчанию и содержит дерево модели целиком. Файл содержит двоичные и текстовые данные. Сетка и данные о решении хранятся в двоичном формате, а вся остальная информация - в виде простого текста.

Тип файла Среды разработки приложений с расширением.mphapp содержит приложение, которое можно запускать в COMSOL Multiphysics, клиенте COMSOL для Windows® или в веб-браузере. Дополнительную информацию см. в COMSOL Multiphysics Reference Manual (Справочное руководство COMSOL Multiphysics).и в Application Builder Reference Manual (Справочное руководство Среды разработки приложений).

Типы двоичных и текстовых файлов COMSOL с расширениями.mphbin и.mphtxt соответственно содержат объекты геометрии или объекты сетки, которые можно импортировать прямо в разделы Geometry (Геометрия) и Mesh (Сетка) дерева модели.

Тип файла Построителя физик с расширением.mphphb содержит один или несколько интерфейсов физик, которые доступны в Мастере создания моделей. Дополнительную информацию см. в «Руководстве по Построителю физик».

Дополнительную информацию обо всех остальных форматах, поддерживаемых COMSOL, см. в разделе «Поддерживаемые внешние форматы файлов».

–  –  –

162 | П од дер живаемые внешние ф о рматы ф айло в САПР Модули CAD Import (Импорт данных из САПР) и Design (Проектирование) позволяют импортировать ряд популярных типов файлов САПР. Поддержка дополнительных типов файлов доступна через двунаправленный интерфейс, которые реализован в модулях расширения LiveLink для САПР и File Import (Импорт файлов) для CATIA® V5.

Типы файлов DXF (2D), VRML (3D) и STL (3D) импортируются средствами COMSOL Multiphysics без каких-либо модулей расширения. Если в таблице ниже не указано иное, импорт перечисленных в ней типов файлов поддерживается всеми версиями COMSOL для операционных систем Linux®, Mac OS X и Windows®.

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

БАЗЫ ДАННЫХ МАТЕРИАЛОВ

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

СЕТКА Файлы типа NASTRAN® Bulk Data служат для импорта объемных сеток.

Типы файлов VRML и STL служат для импорта треугольных поверхностных сеток и не могут использоваться для создания объемных сеток. При импорте в качестве геометрии файлы VRML и STL могут стать основой для создания объемной сетки в определенной геометрической области.

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

ИЗОБРАЖЕНИЯ И ВИДЕОКЛИПЫ

Анимированные элементы можно экспортировать в форматы Animated GIF, Adobe® Flash® и AVI.

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ

Файлы моделей MATLAB® - это редактируемые файлы сценариев (M-файлы), аналогичные файлам моделей для Java®, но предназначенные для системы MATLAB®. Эти файлы моделей с расширением.m содержат последовательность команд COMSOL в виде M-файлов MATLAB®. Файлы моделей можно запускать в MATLAB® так же, как и обычные сценарии в M-файлах. Для добавления дополнительных команд COMSOL или общих команд MATLAB® файлы можно изменить в текстовом редакторе. Для запуска файлов моделей в формате M-файлов необходим модуль расширения COMSOL LiveLink™ for MATLAB®.

ТИП ФАЙЛА РАСШИРЕНИЕ ЧТЕНИЕ ЗАПИСЬ

–  –  –

ФОРМАТЫ ЧИСЛОВЫХ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДАННЫХ

Параметры и переменные можно импортировать и экспортировать в простой текст, значения, разделенные запятыми, или в типы файлов данных.

–  –  –

168 | Приложение E. Подключение модулей расширения LiveLink ™ В следующей таблице приведены опции запуска ПО COMSOL и различных партнерских приложений с помощью модулей расширения LiveLink.

–  –  –

Двунаправленный режим Нет Нет Да

Однооконный режим Да Нет Нет 1При загрузке модели COMSOL из Excel® автоматически открывается окно модели COMSOL и создается соответствующая привязка. Окно модели COMSOL отображает геометрию, сетку и результаты расчетов.

2При запуске в среде COMSOL Desktop модели, содержащей таблицу со ссылками на электронную таблицу Excel®, в фоновом режиме автоматически запускается приложение Excel®.

3 Сервер COMSOL Multiphysics можно запустить из рабочего сеанса MATLAB® с помощью системной команды, а затем подключиться к этому серверу, набрав mphstart в командной строке MATLAB®.

4Ярлык COMSOL 5.1 with MATLAB® на рабочем столе запускает сервер COMSOL Multiphysics и MATLAB®, а затем автоматически соединяет их друг с другом. При запуске модели COMSOL в интерфейсе COMSOL Desktop, содержащем функцию MATLAB® (Global Definitions Functions (Глобальные определения Функции)), автоматически открывается среда MATLAB® и устанавливается соединение.

5Для подключения рабочего сеанса MATLAB® к запущенному серверу COMSOL Multiphysics можно ввести команду COMSOL mphstart в командной строке MATLAB®.

COMSOL Multiphysics - программа для конечно-элементных расчётов сложных научно-технических задач. Пакет COMSOL Multiphysics позволяет моделировать практически все физические процессы, которые описываются частными дифференциальными уравнениями. Программа содержит различные решатели, которые помогут быстро справиться даже с самыми сложными задачами, а простая структура приложения обеспечивает простоту и гибкость использования. Решение любой задачи базируется на численном решении уравнений в частных производных методом конечных элементов. Спектр задач, которые поддаются моделированию в программе чрезвычайно широк. Набор специальных модулей в программе охватывает практически все сферы приложений уравнений в частных производных. Пакет COMSOL Multiphysics установлен на компьютерах в аудитории В-109.

Примеры решения задач

Ниже приведено описание использования COMSOL Multiphysics на стандартных примерах, поставляемых вместе с этим пакетом.

Пример 1

heat_transient_axi.mph
В этом пример рассматривается расчет процесса теплопередачи. Постановка задачи следующая: имеется цилиндр с заданой теплопроводностью и начальной температурой 0С. Все внешние поверхности цилиндра поддерживается при температуре 1000С. Необходимо рассчитать зависимость температуры тела от времени.
Чтобы решить такую задачу, при создании нового файла в COMSOL нужно выбрать размерность 2D axisymmetric, далее модель Heat Transfer In Solids и Time Dependent, так-как задача не стационарная. Когда новый проект создан - в окне Model Builder - мы видим все компоненты, присутствующие в нашем проекте.

Для начала нужно создать цилиндр, для этого в Model Builder нужно открыть вкладку Model, сделать правый клик на Geometry и выбрать прямоугольник, так как мы работаем с радиальной симметрией. После того как размер и расположение прямоугольника задано, можно нажать кнопку Build, и тогда прямоугольник отобразится в окошке с графикой.

Теперь нужно задать свойства материала. Для этого сделайте правый клик по Materials и выберите Material. Будет создан новый материал, здесь нужно указать, какие элементы геометрии изготовлены из этого материала (по умолчанию уже будет выбран цилиндр) и необходимые физические параметры материала (плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность).

Следующий шаг - задать начальные и граничные условия. Эти параметры указываются во вкладке Heat Transfer In Solids. В созданом по умолчанию параметре Initial Values задаются начальные условия для температуры тела. Чтобы добавить граничные условия, в нашем случае нужно сделать правый клик по Heat Transfer In Solids и выбрать Temperature. Для этого параметра нужно выбрать грани - All boundaries, и задать температуру границ.


Теперь можно приступить к вычислениям. Откройте вкладку Study-Step 1. Здесь можно указать интересующий нас временной интервал и шаг по времени. После этого щелкниет правой кнопкой мыши по Study и выбирете Compute.

Во вкладке Results можно настроить параметры отображения результатов, добавить графики с интересующими плоскостями, срезами, изотермальными линиями итд.
Этот пример выполнен в файле heat_transient_axi.mph, входящем в комплект COMSOL.
Как видно на этом примере, использование COMSOL во многом интуитивно. Следующие примеры будут разабраны менее подробно.

Пример 2

capacitor_tunable.mph
Этот пример - рассчет электростатического поля создаваемого обкладками конденсатора - трехмерная стационарная задача.
Заданая геометрия - 2 обкладки сложной формы, составленные из блоков прямоугольной формы, которые помещены в блок из диэлектрика. Для диэлектрика нужно создать новый материал и задать его диэлектрическую проницаемость.

В параметрах задачи Electrostatics задаются потенциалы обкладок. Одна обкладка назначается Ground, а другая - Terminal с потенциалом 1 вольт.

После того, как задана геометрия и потенциалы обкладок, можно запускать вычисления.
Для такой задачи интересным может быть потенциал на сечениях. Чтобы построить такой график, нужно сделать правый клик по Results и выбрать 3D Plot Group, затем правый клик по созданной группе и выбрать Slice. В параметрах созданного Slice можно настроить количество и местоположение сечений.

Пример 3

Heat_Sink.mph
В этом примере описан процесс охлаждения радиатора потоком воздуха. Радиатор закреплен на источнике тепла (воспроизводится модель охлаждения микропроцессора). Эта модель включает в себя одновременно расчет теплопередачи внутри радиатора, конфигурации потока воздуха и теплообмен радиатора с воздухом. Эта задача решается как стационарная.
На вкладке Global Definitions-Parametres заданы некоторые глобальные константы.

Геометрия включает в себя воздушную трубу, радиатор, тепловыделяющий элемент. Всего используется 4 материала: воздух, аллюминий (радиатор), кварцевое стекло (процессор) и термопаста (тонкая прослойка между процессором и радиатором).
Самая важная часть - настройка модуля Conjugate Heat Transfer. Помимо обязательных настроек начальных и граничных условий, были добавлены следующие элементы:
1 Fluid: это условие превращает наш воздух в несжимаемую жидкость, в которой также отсутствует нагрев за счет вязкости. Это существенно облегчит вычисления.
2 Heat Source: источник тепла - процессор.
3 Inlet: поступающий в трубу воздух.
4 Outlet: исходящий из трубы воздух.
5 Temperature: температура поступающего воздуха.
6 Outflow: специальное граничное условие на гарани через которую исходит воздух. Outflow используется когда процесс передача тепла происходит преимущественно из-за конвекции.
7 Thin Thermally Resistive Layer: тонкий слой с заданой теплопроводностью - термопаста.

После вычислений в этом примере строится график, на котором видно температуру и добавлены стрелочки обозначающие скорость и направление протекающего воздуха.

2. Руководство быстрого начала работы с COMSOL

Цель этого раздела состоит в том, чтобы ознакомить читателя со средой COMSOL, сосредотачиваясь прежде всего на том, как использовать еѐ графический интерфейс пользователя. Для облегчения этого быстрого начала данный подраздел содержит обзор последовательности действий по созданию несложных моделей и получению результатов моделирования.

Двумерная модель теплопередачи от медного кабеля в простом радиаторе

Эта модель исследует некоторые эффекты термоэлектрического нагревания. Строго рекомендуется, чтобы Вы следовали последовательности действий по моделированию, описанной в этом примере, даже если вы – не специалист в области теплопередачи; обсуждение сосредотачивается, прежде всего, на том, как использовать GUI-приложение COMSOL, а не на физических основах моделируемого явления.

Рассмотрим алюминиевый радиатор, который отводит тепло от изолированного высоковольтного медного кабеля. Ток в кабеле приводит к выделению теплоты из-за того, что кабель обладает электрическим сопротивлением. Эта теплота проходит через радиатор и рассеивается в окружающем воздухе. Пусть температура внешней поверхности радиатора постоянна и равна 273 K.

Рис. 2.1 . Геометрия поперечного сечения медной жилы с радиатором: 1 – радиатор; 2 – электрически изолированная медная жила.

В этом примере моделируется геометрия радиатора, поперечное сечение которого представляет собой правильную восьмиконечную звезду (рис. 2.1). Пусть геометрия радиатора плоскопараллельная. Пусть протяжѐнность радиатора в направлении оси z много

больше диаметра описанной окружности звезды. В этом случае можно игнорировать вариации температуры в направлении оси z , т.е. температурное поле можно считать тоже плоскопараллельным. Распределение температуры можно рассчитывать в двумерной геометрической модели в декартовых координатахx ,y .

Эта методика пренебрежения вариациями физических величин в одном направлении часто удобна при постановке реальных физических моделей. Вы можете часто использовать симметрию, чтобы создавать двумерные или одномерные модели высокой точности, значительно экономя время вычисления и память.

Технология моделирования в GUI-приложении COMSOL

Чтобы начать моделирование, нужно произвести запуск GUI-приложения COMSOL. Если на компьютере установлены MATLAB и COMSOL, то запуск COMSOL можно осуществить с рабочего стола Windows или кнопкой "Пуск" ("Программы", "COMSOL with MATLAB ").

В результате выполнения этой команды на экране будет развѐрнута фигура COMSOL и фигура Навигатора моделей (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Общий вид фигуры Навигатора моделей

Поскольку нас сейчас интересует двумерная модель теплопередачи, нужно на закладке New Навигатора в полеSpace dimension выбрать2D , выбрать модельApplication Modes/ COMSOL Multiphysics/ Heat transfer/Conduction/Steady-state analysis и нажать кнопку OK.

В результате этих действий фигура Навигатора моделей и поле axes COMSOL приобретут вид, изображѐнный на рис. 2.3, 2.4. По умолчанию моделирование выполняется в системе единиц СИ (система единиц выбирается по закладке Settings Навигатора моделей).

Рис. 2.3, 2.4. Фигура Навигатора моделей и поле axes COMSOL в прикладном режиме

Прорисовка геометрии

Теперь GUI-приложение COMSOL готово к прорисовке геометрии (действует режим Draw Mode). Прорисовывать геометрию можно, выполняя команды группы Draw главного меню или с помощью вертикально расположенной инструментальной панели, расположенной в левой части фигуры COMSOL.

Пусть начало координат находится в центре медной жилы. Пусть радиус жилы равен 2 мм. Поскольку радиатор представляет собой правильную звезду, половина его вершин лежит на вписанной окружности, а другая половина – на описанной окружности. Пусть радиус вписанной окружности равен 3 мм, углы при внутренних вершинах – прямые.

Существует несколько способов прорисовки геометрии. Наиболее простые из них – непосредственное рисование мышью в поле axes и вставка геометрических объектов из рабочей области MATLAB.

Например, нарисовать медную жилу можно следующим образом. Нажимаем кнопку вертикальной панели инструментов, устанавливаем указатель мыши в начале координат, нажимаем клавишу Ctrl и левую кнопку мыши и удерживаем их, перемещаем указатель мыши от начала координат до тех пор, пока радиус рисуемого круга не станет равным 2, отпускаем кнопку мыши и клавишу Ctrl. Прорисовку правильной звезды радиатора выполнить гораздо

сложнее. Можно с помощью кнопки нарисовать многоугольник, затем сделать по нему мышью двойной щелчок и в развѐрнутом диалоговом окне исправить значения координат всех вершин звезды. Такая операция слишком сложна и трудоѐмка. Рисуемую звезду можно

представить комбинацией квадратов, которые удобно создавать кнопками ,(при рисовании мышью нужно тоже удерживать клавишу Ctrl, чтобы получались квадраты, а не прямоугольники). Для точного позиционирования квадратов нужно делать по ним двойные щелчки и в разворачиваемых диалоговых окнах корректировать их параметры (координаты, длины и углы поворота можно задавать выражениями MATLAB). После точного позиционирования квадратов нужно из них создать составной геометрический объект, выполняя следующую последовательность действий. Выделяем квадраты, делая по ним одинарный щелчок мышью и удерживая клавишу Ctrl (выделяемые объекты будут

подсвечиваться коричневым цветом), нажимаем кнопку , в развѐрнутом диалоговом окне исправляем формулу составного объекта, нажимаем кнопку OK. Формула составного объекта

– это выражение, содержащее операции над множествами (в данном случае понадобится объединение множеств (+) и вычитание множеств (–)). Теперь круг и звезда готовы. Как видно, оба способа прорисовки звезды достаточно трудоѐмки.

Гораздо проще и быстрее создать геометрические объекты в рабочей области MATLAB и затем вставить их в поле axes командой GUI-приложения COMSOL. Для этого редактором m- файлов создадим и выполним следующий вычислительный сценарий:

C1=circ2(0,0,2e-3); % Объект круг r_radiator=3e-3; % Внутренний радиус радиатора

R_radiator=r_radiator*sqrt(0.5)/sin(pi/8); % Наружный радиус радиатора r_vertex=repmat(,1,8); % Радиальные координаты вершин звезды al_vertex=0:pi/8:2*pi-pi/8; % Угловые координаты вершин звезды x_vertex=r_vertex.*cos(al_vertex);

y_vertex=r_vertex.*sin(al_vertex); % Декартовые координаты вершин звезды

P1=poly2(x_vertex,y_vertex); % Объект многоугольник

Чтобы вставить геометрические объекты в поле axes, нужно выполнить команду File/ Import/ Geometry Objects . Выполнение этой команды приведѐт к развѐртыванию диалогового окна, вид которого показан на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Общий вид диалогового окна вставки геометрических объектов из рабочей области

Нажатие кнопки OK приведѐт к вставке геометрических объектов (рис. 2.6). Объекты будут выделены и подсвечены коричневым цветом. В результате такого импорта параметры координатной сетки в GUI-приложении COMSOL настраиваются автоматически при нажатии

на кнопку . На этом прорисовку геометрии можно считать законченной. Следующий этап моделирования –з адание коэффициентов PDE и задание граничных условий.

Рис. 2.6. Общий вид прорисованной геометрии токоведущей медной жилы с радиатором: C1, P1 – имена (метки) геометрических объектов (C1 – круг, P1 – многоугольник).

Задание коэффициентов PDE

Переход в режим задания коэффициентов PDE осуществляется командой Physics/ Subdomain Settings . В этом режиме в поле axes геометрия расчѐтной области изображается в виде объединения неперекрывающихся подобластей, которые называютсязонами . Чтобы номера зон было видно, нужно выполнить командуOptions/ Labels/ Show Subdomain Labels . Общий вид поля axes с расчѐтной областью в режиме PDE Mode с показом номеров зон изображѐн на рис. 2.7. Как видно, в данной задаче расчѐтная область состоит из двух зон: зона №1 – радиатор, зона №2 – медная токоведущая жила.

Рис. 2.7. Изображение расчѐтной области в режиме PDE Mode

Для ввода параметров материальных свойств (коэффициентов PDE) нужно воспользоваться командой PDE/ PDE Specification. По этой команде развернѐтся диалоговое окно ввода коэффициентов PDE, изображѐнное на рис. 2.8 (в общем случае вид этого окна зависит от действующего прикладного режима GUI-приложения COMSOL).

Рис. 2.8. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE в прикладном режиме теплопередачи Зоны 1 и 2 состоят из материалов, обладающих разными теплофизическими свойствами, источником тепла является только медная жила. Пусть плотность тока в жиле d =5e7A/m2 ; удельная электрическая проводимость меди g =5,998e7 S/m; коэффициент теплопроводности медиk = 400; радиатор пусть сделан из алюминия, имеющего коэффициент теплопроводностиk = 160. Известно, что объѐмная плотность мощности тепловых потерь при протекании электрического тока через вещество равна Q=d2 /g . Выделим зону №2 в панели Subdomain Selection и загрузим из библиотеки материалов (Library material/Load ) соответствующие параметры для меди (рис. 2.9).

Рис.2.9. Ввод параметров свойств меди

Теперь выделим зону №1 и введѐм параметры алюминия (рис. 2.10).

Рис.2.10 . Ввод параметров свойств алюминия

Нажатие кнопки Apply приведѐт к тому, что коэффициенты PDE будут приняты. Закрыть диалоговое окно можно кнопкой OK. На этом заканчивается ввод коэффициентов PDE.

Задание граничных условий

Чтобы задать граничные условия нужно перевести GUI-приложение COMSOL в режим ввода граничных условий. Переход этот осуществляется командойPhysics/ Boundary Settings . В этом режиме в поле axes отображаются внутренние и внешние граничные сегменты (по умолчанию в виде стрелок, указывающих положительные направления сегментов). Общий вид модели в этом режиме показан на рис. 2.11.

Рис.2.11. Показ граничных сегментов в режиме Boundary Settings

По условию задачи температура на внешней поверхности радиатора равна 273 К. Для задания такого граничного условия нужно сначала выделить все внешние граничные сегменты. Для этого можно, удерживая клавишу Ctrl, мышью щѐлкнуть по всем внешним сегментам. Выделенные сегменты подсветятся красным цветом (см. рис. 2.12).

Рис. 2.12. Выделенные внешние граничные сегменты

По команде Physics/ Boundary Settings также развернѐтся диалоговое окно, вид которого показан на рис. 2.13. Вообще, его вид зависит от действующего прикладного режима моделирования.

Рис.2.13 . Диалоговое окно ввода граничных условий

На рис. 2.13 показано введѐнное значение температуры на выделенных сегментах. В этом диалоговом окне есть также панель выделения сегментов. Так что, не обязательно их выделять непосредственно в поле axes. Если нажать кнопку OK или Apply, OK, то введѐнные граничные условия будут приняты. На этом в данной задаче ввод граничных условий можно считать законченным. Следующий этап моделирования – генерация конечноэлементной сетки.

Генерация конечноэлементной сетки

Для генерации сетки достаточно выполнить команду Mesh/ Initialise Mesh . Сетка автоматически сгенерируется в соответствии с текущими настройками генератора сетки. Автоматически сгенерированная сетка изображена на рис. 2.13.

Электрические кабели характеризуются такими параметрами, как импеданс и коэффициент затухания. В данном топике будет рассмотрен пример моделирования коаксиального кабеля, для которого существует аналитическое решение. Мы покажем вам, как рассчитать параметры кабеля, исходя из результатов моделирования электромагнитных полей в среде COMSOL Multiphysics. Разобравшись с принципами построения модели коаксиального кабеля, в дальнейшем мы сможем применять полученные знания для вычисления параметров линий передач или кабелей произвольного типа.

Вопросы проектирования электрических кабелей

Электрические кабели, называемые также линиями электропередачи, в настоящее время повсеместно применяются для передачи данных и электроэнергии. Даже если вы читаете этот текст с экрана на сотового телефона или планшетного компьютера, используя “беспроводную” связь, все равно внутри вашего устройства остаются “проводные” линии электропередачи, соединяющие различные электрические компоненты в единое целое. А вернувшись вечером домой, вы, скорее всего, подключите к устройству кабель питания для зарядки.

Применяются самые разнообразные линии электропередач от малых, выполненных в виде копланарных волноводов на печатных монтажных платах, до очень больших высоковольтных линий электропередачи . Они также должны функционировать в различных и, зачастую, экстремальных режимах и условиях эксплуатации, от трансатлантических телеграфных кабелей до электропроводки на космических кораблях, внешний вид которой приведен на рисунке ниже. Линии передачи необходимо разрабатывать с учетом всех необходимых требований, чтобы гарантировать их надежную работу в заданных условиях. Кроме этого, они могут являться предметом исследований с целью дальнейшей оптимизации конструкции, включая выполнение требований по механической прочности и малому весу.

Соединительные провода в грузовом отсеке макета шаттла OV-095 в Shuttle Avionics Integration Laboratory (SAIL).

При проектировании и использовании кабелей, инженеры часто оперируют с распределенными (или удельными, т.е. приходящимися на единицу длины) параметрами для последовательного сопротивления (R), последовательной индуктивности (L), шунтирующей емкости (C), и шунтирующей проводимости (G, иногда называемой проводимостью изоляции). Эти параметры вполне можно использовать для расчета качества функционирования кабеля, его характеристического импеданса и потерь в нем при распространении сигналов. Однако важно иметь в виду, что эти параметры находятся из решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Для численного решения уравнений Максвелла с целью расчета электромагнитных полей, а также для учета влияния мультифизических эффектов, можно использовать среду COMSOL Multiphysics, что позволит определить, каким образом изменяются параметры кабеля и его эффективность при различных режимах работы и условиях эксплуатации. Разработанная модель может быть впоследствии преобразована в интуитивно-понятное приложение, подобно приведенному , которое рассчитывает параметры для стандартных и часто используемых линий передач.

В данном топике мы разберем случай коаксиального кабеля — фундаментальной задачи, которая обычно содержится в любом стандартном учебном курсе по СВЧ-технике или линиям электропередач. Коаксиальный кабель является настолько фундаментальным физическим объектом, что Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) запатентовал его в 1880 году, спустя всего лишь несколько лет после того, как Максвелл сформулировал свои знаменитые уравнения. Для студентов изучающих историю науки — это тот самый Оливер Хевисайд, который впервые сформулировал уравнения Максвелла в том векторном виде, который является теперь общепринятым; тот, кто впервые использовал термин “импеданс”; и кто внес весомый вклад в развитие теории линий электропередач.

Результаты аналитического решения для коаксиального кабеля

Начнем свое рассмотрение с коаксиального кабеля, имеющего характерные размеры, обозначенные на схематичном изображении его поперечного сечения, представленном ниже. Диэлектрическая сердцевина между внутренним и внешним проводником имеет относительную диэлектрическую проницаемость (\epsilon_r = \epsilon" -j\epsilon"" ) равную 2.25 – j*0.01, относительную магнитную проницаемость (\mu_r ) равную 1 и нулевую проводимость, тогда как внутренний и внешний проводники обладают проводимостью (\sigma ) равной 5.98e7 С/м (Сименс/метр).

2D поперечное сечение коаксиального кабеля со значениями характерных размеров: a = 0.405 мм, b = 1.45 мм, и t = 0.1 мм.

Стандартный метод решения для линий электропередач заключается в том, что структура электромагнитных полей в кабеле предполагается известной, а именно считается, что они будут осциллировать и затухать в направлении распространения волны, в то время как в поперечном направлении профиль сечения поля остается неизменным. Если затем мы находим решение, удовлетворяющее исходным уравнениям, то в силу теоремы единственности, найденное решение будет являться верным.

На математическом языке все вышесказанное эквивалентно тому, что решение уравнений Максвелла ищется в виде анзац -формы

для электромагнитного поля , где (\gamma = \alpha + j\beta ) является комплексной постоянной распространения, а \alpha и \beta являются коэффициентами затухания и распространения, соответственно. В цилиндрических координатах для коаксиального кабеля, это приводит к хорошо известным решениям для полей

\begin{align}
\mathbf{E}&= \frac{V_0\hat{r}}{rln(b/a)}e^{-\gamma z}\\
\mathbf{H}&= \frac{I_0\hat{\phi}}{2\pi r}e^{-\gamma z}
\end{align}

из которых затем получаются распределенные параметры на единицу длины

\begin{align}
L& = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi}ln\frac{b}{a} + \frac{\mu_0\mu_r\delta}{4\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
C& = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon"}{ln(b/a)}\\
R& = \frac{R_s}{2\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
G& = \frac{2\pi\omega\epsilon_0\epsilon""}{ln(b/a)}
\end{align}

где R_s = 1/\sigma\delta — поверхностное сопротивление, а \delta = \sqrt{2/\mu_0\mu_r\omega\sigma} является .

Чрезвычайно важно подчеркнуть, что соотношения для емкости и шунтирующей проводимости выполняются для любых частот, в то время как выражения для сопротивления и индуктивности зависят от глубины скин-слоя и, следовательно, применимы только при частотах, на которых глубина скин-слоя много меньше физической толщины проводника. Именно поэтому второй член в выражении для индуктивности, называемый также внутренней индуктивностью , может быть незнаком некоторым читателям, так как им обычно пренебрегают, когда металл рассматривается как идеальный проводник. Этот член представляет собой индуктивность, вызванную проникновением магнитного поля в металл, обладающий конечной проводимостью, и пренебрежимо мал при достаточно высоких частотах. (Он также может быть представлен в виде L_{Internal} = R/\omega .)

Для последующего сопоставления с численными результатами, можно вычислить соотношение для сопротивления по постоянному току из выражения для проводимости и площади поперечного сечения металла. Аналитическое выражение для индуктивности (по постоянному току) немного сложнее, и поэтому мы приводим его здесь для справки.

L_{DC} = \frac{\mu}{2\pi}\left\{ln\left(\frac{b+t}{a}\right) + \frac{2\left(\frac{b}{a}\right)^2}{1- \left(\frac{b}{a}\right)^2}ln\left(\frac{b+t}{b}\right) – \frac{3}{4} + \frac{\frac{\left(b+t\right)^4}{4} – \left(b+t\right)^2a^2+a^4\left(\frac{3}{4} + ln\frac{\left(b+t\right)}{a}\right) }{\left(\left(b+t\right)^2-a^2\right)^2}\right\}

Теперь, когда у нас есть значения C и G во всем диапазоне частот, значения для R и L по постоянному току, и их асимптотические значения в области высоких частот, мы обладаем прекрасными ориентирами для сравнения с численными результатами.

Моделирование кабелей в модуле AC/DC

При постановке задачи для численного моделирования, всегда важно учитывать следующий момент: возможно ли использование симметрии задачи для уменьшения размеров модели и увеличения скорости вычислений. Как мы видели ранее, точное решение будет иметь вид \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} . Поскольку интересующее нас пространственное изменение полей, происходит в первую очередь в xy -плоскости, то мы хотим выполнить моделирование только в 2D-поперечном сечении кабеля. Однако при этом возникает проблема, которая заключается в том, что для 2D-уравнений, используемых в AC/DC модуле, предполагается, что поля остаются инвариантными в направлении перпендикулярном плоскости моделирования. Это означает, что мы не сможем получить информацию о пространственном изменении анзац-решения за счет единственного 2D AC/DC-моделирования. Однако с помощью моделирования в двух различных плоскостях это возможно. Последовательное сопротивление и индуктивность зависят от тока и энергии, запасенной в магнитном поле, тогда как шунтирующая проводимость и емкость зависят от энергии в электрическом поле. Рассмотрим эти аспекты более подробно.

Распределенные параметры для шунтирующей проводимости и емкости

Поскольку шунтирующая проводимость и емкость могут быть рассчитаны, исходя из распределения электрического поля, начнем с применения интерфейса Электрические токи .

Граничные условия и свойства материала для интерфейса моделирования Электрические токи.

После того, как геометрия модели определена и присвоены значения свойствам материала, делается предположение о том, что поверхность проводников является эквипотенциальной (что абсолютно обосновано, поскольку разница в проводимостях между проводником и диэлектриком, составляет, как правило, почти 20 порядков по величине). Затем мы задаем значения физических параметров, присваивая внутреннему проводнику электрический потенциал V 0 и заземление внешнему проводнику для нахождения электрического потенциала в диэлектрике. Вышеуказанные аналитические выражения для емкости получаются из следующих наиболее общих соотношений

\begin{align}
W_e& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}\\
W_e& = \frac{C|V_0|^2}{4}\\
C& = \frac{1}{|V_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

где первое соотношение является уравнением электромагнитной теории, а второе уравнением теории цепей.

Третье соотношение является комбинацией первого и второго уравнений. Подставляя вышеуказанные известные выражения для полей, мы получим приведенный ранее аналитический результат для C в коаксиальном кабеле. В итоге эти уравнения позволяют нам определить ёмкость через значения полей для произвольного кабеля. По результатам моделирования, мы можем вычислить интеграл плотности электрической энергии, что дает для емкости значение 98.142 пФ/м и совпадает с теорией. Поскольку G и C и связаны выражением

G=\frac{\omega\epsilon"" C}{\epsilon"}

у нас теперь имеется два из четырех параметров.

Стоит повторить, что мы сделали предположение о том, что проводимость диэлектрической области равна нулю. Это стандартное предположение, которое делается во всех учебных пособиях, и мы также следуем здесь этому соглашению, потому что оно не оказывает существенного влияния на физику — в отличие от включения нами в рассмотрение члена внутренней индуктивности, что обсуждалось ранее. Многие материалы для диэлектрического сердечника обладают ненулевой проводимостью, но это легко может быть учтено при моделировании, просто подставив новые значения в свойства материала. В этом случае, для обеспечения надлежащего сопоставления с теорией, необходимо также внести соответствующие поправки в теоретические выражения.

Удельные параметры для последовательного сопротивления и индуктивности

Аналогичным образом, последовательное сопротивление и индуктивность можно рассчитать с помощью моделирования при использовании интерфейса Магнитные поля в модуле AC/DC. Настройки моделирования элементарны, что иллюстрируется на рисунке ниже.

Области проводников добавляются к узлу Одновитковая Катушка в разделе Группа катушек, и, выбранная опция обратного направления тока гарантирует, что направление тока во внутреннем проводнике будет противоположным току внешнего проводника, что обозначается на рисунке точками и крестиками. При расчете частотной зависимости будет учитываться распределение тока в одновитковой катушке, а не произвольное распределение тока, показанное на рисунке.

Для вычисления индуктивности обратимся к следующим уравнениям, которые являются магнитным аналогом предыдущих уравнений.

\begin{align}
W_m& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}\\
W_m& = \frac{L|I_0|^2}{4}\\
L& = \frac{1}{|I_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

Для вычисления сопротивления, применяется несколько другая техника. Сначала, мы интегрируем резистивные потери для определения рассеиваемой мощности, приходящейся на единицу длины. А затем используем хорошо известное соотношение P = I_0^2R/2 для расчета сопротивления. Поскольку R и L изменяются с частотой, давайте посмотрим на расчетные значения и аналитическое решение в пределе постоянного тока и в области высоких частот.

“Аналитическое решение для постоянного тока” и ” Аналитическое решение в области высоких частот” графические зависимости соответствуют решениям аналитических уравнений для постоянного тока и в области высоких частот, которые обсуждались ранее в тексте статьи. Отметим, что обе зависимости приведены в логарифмическом масштабе по частотной оси.

Хорошо видно, что расчетные значения плавно переходят из решения для постоянного тока в области низких частот в высокочастотное решение, которое будет справедливым при глубине скин-слоя много меньшей толщины проводника. Разумно предположить, что переходная область располагается приблизительно в том месте по оси частот, где глубина скин-слоя и толщина проводника различаются не более чем на порядок величины. Эта область лежит в диапазоне от 4.2e3 Гц до 4.2e7 Гц, что в точности соответствует ожидаемому результату.

Характеристический импеданс и постоянная распространения

Теперь, когда мы завершили трудоемкую работу по вычислению R, L, C, и G, остаются еще два других, существенных для анализа линий электропередач параметра, которые нужно определить. Ими являются характеристический импеданс (Z c) и комплексная постоянная распространения (\gamma = \alpha + j\beta ), где \alpha — коэффициент затухания, а \beta — коэффициент распространения.

\begin{align}
Z_c& = \sqrt{\frac{(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}\\
\gamma& = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
\end{align}

На рисунке ниже, представлены эти значения, вычисленные с помощью аналитических формул в режимах постоянного тока и высокочастотного сигнала, в сравнении со значениями, определенными по результатам моделирования. Кроме этого, четвертой зависимостью на графике является импеданс, рассчитанный в среде COMSOL Multiphysics с помощью модуля Радиочастоты, который мы кратко рассмотрим чуть позже. Как можно заметить, результаты численного моделирования хорошо согласуются с аналитическими решениями для соответствующих предельных режимов, а также дают правильные значения в переходной области.

Сравнение характеристического импеданса, вычисленного с использованием аналитических выражений и определенного по результатам моделирования в среде COMSOL Multiphysics. Аналитические кривые строились с помощью соответствующих предельных выражений для режима постоянного тока и высокочастотной области, рассмотренных ранее, тогда как для моделирования в среде COMSOL Multiphysics использовались модули AC/DC и Радиочастоты. Для наглядности, толщина линии “RF module” была специально увеличена.

Моделирование кабеля в области высоких частот

Энергия электромагнитного поля распространяется в виде волн, а значит рабочая частота и длина волны обратно пропорциональны друг другу. По мере того, как мы сдвигаемся в область все более высоких частот, мы вынуждены принимать во внимание относительный размер длины волны и электрический размер кабеля. Как обсуждалось в предыдущей записи , мы должны сменить AC/DC на модуль Радиочастоты при электрическом размере приблизительно λ/100 (о концепции «электрического размера» см. там же). Если в качестве электрического размера мы выберем диаметр кабеля, а вместо скорости света в вакууме — скорость света в диэлектрическом сердечнике кабеля, то получим частоту для перехода в районе 690 МГц.

При таких высоких частотах, сам кабель более уместно рассматривать в качестве волновода, а возбуждение кабеля можно рассматривать, как моды волновода. Используя волноводную терминологию, до сих пор мы рассматривали моду специального типа, называемую TEM -модой, которая может распространяться на любой частоте. Когда поперечное сечение кабеля и длина волны становятся сопоставимы, мы также должны учитывать возможность существования мод высших порядков. В отличие от TEM-моды большинство волноводных мод может распространяться только при частоте возбуждения выше некоторой характеристической частоты отсечки. Благодаря цилиндрической симметрии в нашем примере, имеется выражение для частоты отсечки первой моды высшего порядка — TE11. Эта частота отсечки f c = 35.3 ГГц, но даже при такой относительно простой геометрии, частота отсечки является решением трансцендентного уравнения, которое мы не будем рассматривать в данной статье.

Так какое значение для наших результатов имеет эта самая частота отсечки? Выше этой частоты, энергия волны, переносимая в TEM-моде, которой мы интересуемся, имеет потенциальную возможность вступить во взаимодействие с TE11-модой. В идеализированной геометрии, подобной смоделированной здесь, никакого взаимодействия не будет. В реальной же ситуации, однако, любые дефекты в конструкции кабеля могут привести к взаимодействию мод на частотах выше частоты отсечки. Это может являться результатом воздействия целого ряда неконтролируемых факторов: от погрешностей изготовления до градиентов свойств материала. Такую ситуацию проще всего избежать на стадии проектирования кабелей, расчитав работу на заведомо более низких частотах, чем частота отсечки мод высшего порядка, так чтобы распространяться могла только одна мода. Если это представляет интерес, то вы можете также использовать среду COMSOL Multiphysics для моделирования взаимодействия между модами высших порядков, как это сделано в этой (хотя это выходит за рамки настоящей статьи).

Модальный анализ в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика

Моделирование мод высших порядков идеально реализуется с помощью модального анализа в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика. Анзац-формой решения в этом случае является выражение \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} , которое в точности соответствует структуре мод, что и является нашей целью. В результате, модальный анализ сразу выдает решение для пространственного распределения поля и комплексной постоянной распространения для каждой из заданного количества мод. При этом мы можем использовать ту же геометрию модели, что и прежде, за исключением того, что нам достаточно использовать в качестве области моделирования только диэлектрический сердечник и .

Результаты расчета константы затухания и эффективного показателя преломления волновой моды из Модового Анализа. Аналитическая кривая на левом графике — коэффициент затухания в зависимости от частоты — вычисляется с использованием тех же самых выражений, как и в случае ВЧ-кривых, используемых для сравнения с результатами моделирования в AC/DC модуле. Аналитическая кривая на правом графике — эффективный показатель преломления в зависимости от частоты — это просто n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r} . Для наглядности, размер линии “COMSOL — TEM” был преднамеренно увеличен на обоих графиках.

Отчетливо видно, что результаты Модового Анализа TEM-моды совпадают с аналитической теорией и, что рассчитанная мода высшего порядка появляется на предварительно определенной частоте отсечки. Удобно, что комплексная постоянная распространения непосредственно вычисляется в процессе моделирования и не требует промежуточных вычислений R, L, C, и G. Это становится возможным в силу того, что \gamma явным образом включена в искомую форму анзац-решения и находится при решении подстановкой ее в основное уравнение. При желании, другие параметры также могут быть вычислены для TEM-моды, а более подробную информацию об этом можно найти в из Галереи Приложений. Заслуживает также внимания тот факт, что этот же метод модального анализа может быть использован для расчета диэлектрических волноводов, как это реализовано в .

Заключительные замечания по моделированию кабелей

К настоящему моменту мы тщательно проанализировали модель коаксиального кабеля. Мы вычислили распределенные параметры от режима постоянного тока до области высоких частот и рассмотрели первую моду высшего порядка. Немаловажно, что результаты модального анализа зависят только от геометрических размеров и свойств материала кабеля. Результаты для моделирования в модуле AC/DC требуют дополнительной информации о том, каким образом кабель возбуждается, но, надеюсь, вы в курсе о том, что подключается к вашему кабелю! Мы использовали аналитическую теорию исключительно для того, чтобы сравнить результаты численного моделирования с хорошо известными результатами для эталонной модели. Это означает, что анализ можно обобщить и на другие кабели, равно как и добавить к нему взаимосвязи для мультифизического моделирования, которые включают в себя температурные изменения и структурные деформации.

Несколько интересных нюансов для построения модели (в виде ответов на возможные вопросы):

• “Почему вы не упомянули и/или не привели графики характеристического импеданса и всех распределенных параметров для TE11-моды?”
  • Потому что только TEM-моды имеют однозначно определенные напряжение, ток и характеристический импеданс. В принципе, возможно, приписать некоторые из этих значений модам высших порядков, и этот вопрос более подробно буден рассмотрен в дальнейших статьях, а также в различных работах по теории линий передач и СВЧ-техники.
• “Когда я решаю задачу на моды с использованием Модального анализа, они маркируются с помощью своих рабочих индексов. Откуда берутся обозначения TEM- и TE11-мод?”
  • Эти обозначения появляются при теоретическом анализе и используются для удобства при обсуждении результатов. Такое наименование не всегда возможно при произвольной геометрии волновода (или кабеля в волноводном режиме), однако стоит учитывать, что данное обозначение всего лишь “имя”. Какое бы наименование не было у моды, она по-прежнему несет электромагнитную энергию (исключая, разумеется, нетуннелирующие эванесцентные волны)?
• “Почему в некоторых ваших формулах присутствует дополнительный множитель ½?”
  • Это происходит при решении задач электродинамики в частотной области, а именно, при умножении двух комплексных величин. При выполнении усреднения по времени, появляется дополнительный множитель ½, в отличие от выражений во временной области (или при постоянном токе). За дополнительной информацией вы можете обратиться к трудам по классической электродинамике.

Литература

Следующие монографии были использованы при написании этой заметки и послужат превосходными источниками при поиске дополнительной информации:

• Microwave Engineering (СВЧ техника) , by David M. Pozar
• Foundations for Microwave Engineering (Основы СВЧ-техники) , by Robert E. Collin
• Inductance Calculations (Расчет индуктивности) , by Frederick W. Grover
• Classical Electrodynamics (Классическая электродинамика) , by John D. Jackson