Момент инерции в физике. Определение момента инерции Вывод определение момента инерции тела
В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические величины - момент сил и момент инерции , физический смысл которых раскроем ниже.
Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А , приходит во вращение вокруг оси ОО" (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы
Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р , опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О :
(5.1)
Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы :
(5.2)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью правила правого винта .
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси :
Момент инерции тела относительно оси вращения - сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело :
(5.4)
В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется интегрированием:
, (5.5)
где r - расстояние от оси вращения до элемента массой dm .
Если тело однородно и его плотность ρ = m /V , то момент инерции тела
(5.6)
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,
Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,
(5.8)
Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,
Момент инерции шара относительно диаметра
(5.10)
Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоскости вращения. Пусть масса диска – m , а его радиус – R .
Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .
Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска
Площадь диска . При постоянной толщине кольца,
откуда или .
Тогда момент инерции диска,
Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 5.3 – Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.
Теорема Штейнера
Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md 2:
(5.12)
где m - масса тела, d - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг . м 2).
Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен
Что такое инерция?
Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.
Определение момента инерции
Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.
В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.
Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:
J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.
Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:
Теорема Гюйгенса – Штейнера
Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.
Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:
Где d – расстояние между осями
Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.
Моменты инерции простейших объектов
Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.
Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.
Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.
Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.
- Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. - Т. 3. - С. 206-207. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3.
- Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. - 1999. - Vol. 286, no. 5437. - P. 77-84. - DOI:10.1126/science.286.5437.77. - PMID 10506564.
- Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. - 2012. - Vol. 117. - DOI:10.1029/2012JE004161.
- Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. - М.: Наука, 1988. - С. 42-73. - 195 с. - (Планета Земля и Вселенная). - 15 000 экз. - ISBN 502005951X.
- Матвеев. А. Н. Механика и . М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. - 432с.)
- Трофимова Т. И. Курс физики. - 7-е изд. - М.: Высшая школа, 2001. - 542 с.
- Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392с.
- Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие - М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
Момент инерции, видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
Момент инерции - это мера инертности тела относительно оси при вращательном движении (реальном или воображаемом) вокруг этой оси3. Момент инерции количественно равен сумме моментов инерции частиц тела - произведений масс частиц на квадраты их расстояний от оси вращения: J=Smr 2
Когда частицы тела находятся дальше от оси вращения, то угловое ускорение тела под действием того же момента силы меньше ; если частицы ближе к оси, то угловое ускорение больше . Значит, если приблизить тело (все в целом или его части) к оси, то легче вызвать угловое ускорение, легче разогнать тело во вращении, легче и остановить его. Этим пользуются при движении вокруг оси.
Найдя опытным путем момент инерции тела, можно рассчитать радиус инерции, на величине которого отражается распределение частиц в теле относительно данной оси.
Радиус инерции - это сравнительная мера инертности данного тела относительно его разных осей. Он измеряется корнем квадратным из отношения момента инерции относительно данной оси
к массе тела:R=ÖJ/m
Количественное определение моментов инерции в биомеханике не всегда достаточно точно. Но для понимания физических основ движенийчеловека учитывать эту характеристику необходимо.
СИЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Сила
Сила - это мера механического воздействия одного тела на другое. Численно она определяется произведением массы тела на его ускорение, вызванное приложением этой силы: F=ma;
Таким образом, измерение силы, как и измерение массы, основано на 2-м законе Ньютона. Поскольку этот закон раскрывает зависимости в поступательном движении, то и сила как вектор определяется только в случае такого простейшего вида движения по массе и ускорению,
Источники сил. Уже указывалось, что ускорение зависит от системы отсчета. Поэтому и сила, определяемая по ускорению, тоже зависит от системы отсчета. В инерциальной системе отсчета источником силы для данного тела всегда служит другое материальное тело. Коль скоро взаимодействуют два материальных объекта, то в этих условиях проявляется 3-й закон Ньютона3.
Если на одно тело действует другое тело, то оно изменяет движение первого. Но и первое тело в этом взаимодействии также изменяет движение другого. Обе силы приложены к разным объектам, каждая проявляет соответствующий эффект. Их нельзя заменить одной равнодействующей, поскольку они приложены к разным объектам. Именно поэтому они друг друга и не уравновешивают.
В неинерциальной системе отсчета рассматривают кроме взаимодействий двух тел еще особые силы инерции («фиктивные»), для которых 3-й закон Ньютона не применим.
Измерение сил . Применяется статическое измерение силы, т. е. измерение при помощи уравновешивающей силы (когда ускорение равно нулю), и динамическое - по ускорению, сообщаемому телу ее приложением.
При статическом действии силы на данное тело (М) действуют два тела (А и В); всего имеется три материальных объекта (рис. 23, а). Силы F а и f в, приложенные к телу М, равны по величине и противоположны по направлению, они взаимно уравновешиваются. Их равнодействующая равна нулю. Ускорение, вызванное ими, также равно нулю. Скорость не изменяется (остается постоянной - равномерное движение или относительная неподвижность).
Силу fa, действующую статически, можно измерить уравновешивающей ее силой f в.
Рассмотрим три случая проявления статического действия силы, когда все тела неподвижны -
а)гимнаст в висе на перекладине; опорная реакция уравновешивает силу тяжести тела (G);
б) уравновешенное тело движется перпендикулярно уравновешенной силе тяжести - конькобежец скользит по льду; опорная реакция уравновешивает силу тяжести тела (G); последняя прямо не влияет на скорость скольжения;
в) уравновешенное тело по инерции движется по направлению действия уравновешенной силы; горнолыжник скользит с постоянной скоростью по склону; силы сопротивления (воздуха и трения лыж по снегу - Q) уравновешивают скатывающую составляющую силы тяжести (G). Во всех трех случаях вне зависимости от состояния покоя или направления движения тела уравновешенная сила не изменяет движения; скорости в направлении ее действия постоянны.
Следует подчеркнуть, что во всех случаях статическое действие силы вызывает деформацию тела.
При динамическом действии силы на данное тело М действует неуравновешенная сила. В задачах по теоретической механике часто рассматривается лишь эта одна движущая сила, как мера действия лишь одного движущего тела.
Движущая сила - это сила, которая совпадает с направлением движения (попутная) или образует с ним острый угол и при этом может совершать положительную работу (увеличивать энергию тела).
Однако в реальных условиях движений человека всегда существует среда (воздух или вода), действуют опора и другие внешние тела (снаряды, инвентарь, партнеры, противники и др.). Все они могут оказывать тормозящее действие. Более того, ни одного реального движения без участия тормозящих сил просто не бывает.
Тормозящая сила направлена противоположно направлению движения (встречная) или образует с ним тупой угол. Она может совершать отрицательную работу (уменьшать энергию тела).
Часть движущей силы, равная по величине тормозящей уравновешивает последнюю - это уравновешивающая сила (Fyp).
Избыток же движущей силы над тормозящей - ускоряющая сила (Fуск) - вызывает ускорение тела с массой m согласно 2-му закону Ньютона (Fy=ma).
Следовательно, скорость не остается постоянной, а изменяется, т. е. возникает ускорение. Это и есть динамическое действие силы F.
Силу F уск, действующую динамически, можно измерить по массе тела и его ускорению.
Классификация сил. Силы, которые, изучают при анализе движений человека, в зависимости от общих признаков делятся на группы. По способу взаимодействия тел все силы делятся на д и с т а н т н ы е, возникающие на расстоянии без непосредственного соприкосновения тел, и контактные, которые возникают лишь при соприкосновении тел.
К дистантным силам в механике относят силы всемирного тяготения, из которых в биомеханике изучаются силы земного тяготения, проявляющиеся в силах тяжести . Контактные силы включают упругие силы и силы трения .
По влиянию на движение различают силы а к т и в н ы е (или задаваемые) и реакции связи . Напоминаем, что связи -это ограничения движения объекта, осуществляемые другими телами . Сила, с которой связь противодействует движению, и представляет собою реакцию связи. Она заранее неизвестна и зависит от действия на тело других сил и движения самого тела.
Реакции связи сами по себе не вызывают движения, они только противодействуют активным силам или уравновешивают их. Если же реакции связи не уравновешивают активных сил, тогда и начинается движение под действием последних.
По источнику возникновения относительно системы (например, тела человека) силы различают в н е ш н и е, вызванные действием тел внешних относительно системы, и внутренние, вызванные взаимодействиями внутри системы. Это деление необходимо при определении возможностей действия тех или иных сил. Одну и ту же силу следует считать внешней или внутренней в зависимости от того, относительно какого объекта мы ее рассматриваем.
По способу приложениясилы в механике делят на сосредоточенные , приложенные к телу в одной точке, и распределенные . Последние делят на поверхностные и объемные.
По характеру силы бываютпостоянные и переменные. В качестве примера постоянной силы можно назвать силу тяжести (в данном пункте Земли). Одна и та же сила может изменяться в зависимости от нескольких условий. Практически в движении человека постоянные силы почти не встречаются. Все силы переменные. Они меняются в зависимости от времени (мышца с течением времени изменяет силу тяги), расстояния (в разных пунктах Земли даже «постоянная сила» тяжести различна), скорости (сопротивление среды зависит от относительной скорости тела и среды).
Поскольку в биомеханике особенно важно взаимодействие тела человека с внешним окружением, вызываемое движениями частей тела, далее будут подробно рассмотрены силы внешние и внутренние относительно системы (тела человека). Взаимодействие физических объектов - главная причина изменения движений. Поэтому мере взаимодействия - силе - в биомеханике уделяетсяособое внимание.
Момент силы
Момент силы - это мера механического воздействия, способного поворачивать тело (мера вращающего действия силы). Он численно определяется произведением модуля силы на ее плечо (расстояние от центра момента1 до линии действия силы):
Момент силы имеет знак плюс, если сила сообщает вращение против часовой стрелки, и минус при обратном его направлении.
Вращающая способность силы проявляется в создании, изменении или прекращении вращательного движения.
Полярный момент силы (момент силы относительно точки) может быть определен для любой силы относительно этой точки (О) (центр момента). Если расстояние от линии действия силы до избранной точки равно нулю, то и момент силы равен нулю. Следовательно, расположенная таким образом сила не обладает вращающей способностью относительно этого центра. Площадь прямоугольника (Fd) численно равна модулю момента силы.
Когда несколько моментов силы приложено к одному телу, их можно привести к одному моменту - главному моменту.
Для определения вектора момента силы1 надо знать: а) м о д у л ь момента (произведение модуля силы на ее плечо); б) плоскость поворота (проходит через линию действия силы и центр момента) и в)направление поворота в этой плоскости.
Осевой момент силы (моментсилы относительно оси) может быть определен для любой силы, кроме совпадающей с осью, ей параллельной или ее пересекающей. Иначе говоря, сила и ось не должны лежать в одной плоскости.
Применяют статическое измерение моментасилы,если его уравновешивает лежащий в той же плоскости равный ему по модулю и противоположный по направлению момент другой силы относительно того же центра момента (например, при равновесии рычага). Моменты сил тяжести звеньев относительно их проксимальных суставов называют статическими моментами звеньев .
Применяют динамическое измерение момента силы, если известны момент инерции тела относительно оси вращения и его угловое ускорение. Как и силы, моменты сил относительно центра могут быть движущими и тормозящими , а стало быть, и уравновешивающими, ускоряющими и замедляющими . Момент силы может быть и отклоняющим - отклоняет в пространстве плоскость поворота.
При всех ускорениях возникают силы инерции: при нормальных ускорениях - центробежные силы инерции, при касательных ускорениях (положительных или отрицательных) - касательные силы инерции. Центробежная сила инерции направлена по радиусу вращения и не имеет момента относительно центра вращения. Касательная же сила инерции приложена для твердого звена в центре его качаний. Таким образом, имеется момент силы инерции относительно оси вращения.
Действие силы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.
Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами: 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты.
Приборы и принадлежности : маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль.
Теоретическое введение
Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1)
Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси (см. рис. 2)
Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием.
,
где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV – элемент объема)
Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:
а) стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню
,
б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)
,
где – радиус обруча (цилиндра)
в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)
,
где – радиус диска (цилиндра)
г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести
.
Момент инерции тела зависит: 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела.
Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как:
,
где – момент инерции тела массой m относительно произвольной оси, – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно произвольной оси, – расстояние между осями.
Описание установки.
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из шкива и четырех равноплечих стержней, закрепленных на горизонтальной оси (см. рис.2). На стержнях на равных расстояниях от оси вращения насажены четыре одинаковых груза массы m каждый. При помощи груза m 1 , прикрепленного к концу шнура, намотанного на один из шкивов, вся система может быть приведена во вращательное движение. Для отсчета высоты падения h груза m 1 имеется вертикальная шкала.
Запишем второй закон Ньютона для падающего груза в векторной форме
(1)
где
- сила тяжести;
- сила натяжения шнура (см. рис. 1);
- линейное ускорение, с которым падает груз m 1 вниз.
Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме
(2)
откуда получим выражение для силы натяжения шнура
Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости
(4)
где h – высота падения груза m 1 ; t – время падения.
Сила натяжения нити F нат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так:
M – M тр = I i , (5)
где М – момент силы натяжения; M тр - момент сил трения; I - момент инерции крестовины; i - угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения M тр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь.
Из уравнения (5) с учетом сделанного замечания получаем оконча-тельную формулу для расчета момента инерции крестовины
(6)
где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле
(7)
Подставляя (3) и (7) в (6), получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины
(8)
Порядок выполнения работы .
Экспериментальное определение момента инерции системы 4 х грузов.
1. Снять со стержней грузы m .
2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив груз m 1 на заранее выбран-ной высоте h . Отпустив крестовину, замерить время падения t о груза с помо-щью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте паде-ния h ).
3. Закрепить на концах стержней грузы m .
4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t . Опыт повторить пять раз.
5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях.
6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин t о, t и d .
а) крестовина без грузов (a о ),
б) крестовина с грузами (а ).
8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов (I o ) и с грузами (I), используя приближенные значения m 1, R , g и полученные значения а и а о.
Вычислить погрешности измерений по формулам:
(9)
(10)
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
Часть II .
1. Теоретически найти момент инерции системы 4 х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками)
(11)
2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность
(12)
и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов.
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела?
2. От чего зависит момент инерции тела относительно оси вращения?
3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены?
4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование.
5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов.
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.
4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).
Чтобы изменить скорость перемещения тела в пространстве, необходимо приложить некоторое усилие. Этот факт относится ко всем видам механического движения и связан с наличием инерционных свойств у объектов, имеющих массу. В данной статье рассматривается вращение тел и дается понятие об их моменте инерции.
Что такое вращение с точки зрения физики?
Ответ на этот вопрос может дать каждый человек, поскольку этот физический процесс ничем не отличается от его понятия в обиходе. Процесс вращения представляет собой перемещение объекта, обладающего конечной массой, по круговой траектории вокруг некоторой воображаемой оси. Можно привести следующие примеры вращения:
- Движение колеса автомобиля или велосипеда.
- Вращение лопастей вертолета или вентилятора.
- Движение нашей планеты вокруг оси и вокруг Солнца.
Какие физические величины характеризуют процесс вращения?
Перемещение по окружности описывается набором величин в физике, основные из которых перечислены ниже:
- r - расстояние до оси материальной точки массой m.
- ω и α - угловая скорость и ускорение, соответственно. Первая величина показывает, на сколько радиан (градусов) поворачивается тело вокруг оси за одну секунду, вторая величина описывает скорость изменения во времени первой.
- L - момент импульса, который подобен аналогичной характеристике при линейном движении.
- I - момент инерции тела. Эта величина рассматривается ниже в статье подробно.
- M - момент силы. Он характеризует степень изменения величины L, если приложена внешняя сила.
Перечисленные величины связаны друг с другом следующими формулами вращательного движения:
Первая формула описывает круговое движение тела в отсутствие действия внешних моментов сил. В приведенном виде она отражает закон сохранения момента импульса L. Второе выражение описывает случай ускорения или замедления вращения тела в результате действия момента силы M. Оба выражения часто используются при решении задач динамики по круговой траектории.
Как видно из этих формул, момент инерции относительно оси (I) в них используется в качестве некоторого коэффициента. Рассмотрим подробнее эту величину.
Откуда появляется величина I?
В этом пункте рассмотрим самый простой пример вращения: круговое перемещение материальной точки массой m, дистанция которой от оси вращения составляет r. Эта ситуация приведена на рисунке.
Согласно определению, момент импульса L записывается, как произведение плеча r на линейный импульс p точки:
L = r*p = r*m*v, поскольку p = m*v
Учитывая, что линейная и угловая скорость связаны друг с другом через расстояние r, это равенство можно переписать так:
v = ω*r => L = m*r 2 *ω
Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения принято называть моментом инерции. Формула выше перепишется в таком случае следующим образом:
То есть мы получили выражение, которое было приведено в предыдущем пункте, и ввели в использование величину I.
Общая формула для величины I тела
Выражение для момента инерции массой m материальной точки является базовым, то есть оно позволяет рассчитать эту величину для любого тела, имеющего произвольную форму и неоднородное распределение массы в нем. Для этого необходимо разбить рассматриваемый объект на маленькие элементы массой m i (целое число i - номер элемента), затем, умножить каждый из них на квадрат расстояния r i 2 до оси, вокруг которой рассматривают вращение, и сложить полученные результаты. Описанную методику нахождения величины I можно записать математически так:
I = ∑ i (m i *r i 2)
Если тело разбито таким образом, что i->∞, тогда приведенная сумма заменяется интегралом по массе тела m:
Этот интеграл эквивалентен другому интегралу по объему тела V, поскольку dV=ρ*dm:
I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)
Все три формулы используются для вычисления момента инерции тела. При этом в случае дискретного распределения масс в системе предпочтительнее пользоваться 1-м выражением. При непрерывном распределении массы применяют 3-е выражение.
Свойства величины I и ее физический смысл
Описанная процедура получения общего выражения для I позволяет сделать некоторые выводы о свойствах этой физической величины:
- она является аддитивной, то есть полный момент инерции системы можно представить, как сумму моментов отдельных ее частей;
- она зависит от распределения массы внутри системы, а также от расстояния до оси вращения, чем больше последнее, тем больше I;
- она не зависит от действующих на систему моментов сил M и от скорости вращения ω.
Физический смысл I заключается в том, насколько сильно система препятствует любому изменению скорости ее вращения, то есть момент инерции характеризует степень "плавности" возникающих ускорений. Например, колесо велосипеда можно легко раскрутить до больших угловых скоростей и также легко его остановить, но чтобы изменить вращение маховика на коленвале автомобиля, понадобится приложить значительное усилие и некоторое время. В первом случае имеет место система с маленьким моментом инерции, во втором - с большим.
Значение I некоторых тел для оси вращения, проходящей через центр масс
Если применить интегрирование по объему для любых тел с произвольным распределением массы, то можно получить для них величину I. В случае однородных объектов, которые имеют идеальную геометрическую форму, эта задача уже решена. Ниже приводятся формулы момента инерции для стержня, диска и шара массой m, в которых составляющее их вещество распределено равномерно:
- Стержень. Ось вращения проходит перпендикулярно ему. I = m*L 2 /12, где L - длина стержня.
- Диск произвольной толщины. Момент инерции с осью вращения, проходящей перпендикулярно его плоскости через центр масс, вычисляется так: I = m*R 2 /2, где R - радиус диска.
- Шар. В виду высокой симметрии этой фигуры, для любого положения оси, проходящей через ее центр, I = 2/5*m*R 2 , здесь R - шара радиус.
Задача на расчет значения I для системы с дискретным распределением массы
Представим себе стержень длиною 0,5 метра, который сделан из твердого и легкого материала. Этот стержень закреплен на оси таким образом, что она проходит перпендикулярно ему точно посередине. На этот стержень подвешены 3-и груза следующим образом: с одной стороны оси имеются два груза массами 2 кг и 3 кг, находящиеся на расстояниях 10 см и 20 см от его конца, соответственно; с другой стороны подвешен один груз массой 1,5 кг к концу стержня. Для этой системы необходимо рассчитать момент инерции I и определить, с какой скоростью ω стержень будет вращаться, если к одному из его концов приложить силу 50 Н в течение 10 секунд.
Поскольку массой стержня можно пренебречь, тогда необходимо рассчитать момент I для каждого груза и сложить полученные результаты, чтобы получить полный момент системы. Согласно условию задачи от оси груз массой 2 кг находится на расстоянии 0,15 м (0,25-0,1), груз 3 кг - 0,05 м (0,25-0,20), груз 1,5 кг - 0,25 м. Воспользовавшись формулой для момента I материальной точки, получаем:
I = I 1 +I 2 +I 3 = m 1 *r 1 2 + m 2 *r 2 2 + m 3 *r 3 2 = 2*(0,15) 2 +3*(0,05) 2 +1,5*(0,25) 2 = 0,14 625 кг*м 2 .
Обратим внимание, что при выполнении вычислений все единицы измерения были переведены в систему СИ.
Чтобы определить угловую скорость вращения стержня после действия силы, следует применить формулу с моментом силы, которая была приведена во втором пункте статьи:
Поскольку α = Δω/Δt и M = r*F, где r - длина плеча, получаем:
r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*Δt/I
Учитывая, что r = 0,25 м, подставляем числа в формулу, получаем:
Δω = r*F*Δt/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 рад/с
Полученная величина является достаточно большой. Чтобы получить привычную частоту вращения, следует поделить Δω на 2*pi радиан:
f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 с -1
Таким образом, приложенная сила F к концу стержня с грузами за 10 секунд раскрутит его до частоты 136 оборотов в секунду.
Расчет значения I для стержня, когда ось проходит через его конец
Пусть имеется однородный стержень массой m и длиной L. Необходимо определить момент инерции, если ось вращения расположена на конце стержня перпендикулярно ему.
Воспользуемся общим выражением для I:
I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)
Разбивая рассматриваемый объект на элементарные объемы, заметим, что dV может быть записано, как dr*S, где S - площадь сечения стержня, а dr - толщина элемента разбиения. Подставляя это выражение в формулу, имеем:
I = ρ*S*∫ L (r 2 *dr)
Этот интеграл вычислить достаточно просто, получаем:
I = ρ*S* (r 3 /3)∣ 0 L => I = ρ*S*L 3 /3
Поскольку объем стержня равен S*L, а масса - ρ*S*L, то получаем конечную формулу:
Любопытно отметить, что момент инерции для того же стержня, когда ось проходит через его центр масс, в 4 раза меньше полученной величины (m*L 2 /3/(m*L 2 /12)=4).