Начала евклида. Биография Евклида: интересные факты

Все люди от природы стремятся к знанию. (Аристотель. Метафизика)

Начала Евклида. Книга 1

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Для греков определить какой-нибудь объект — значило отграничить его от других.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия — длина без ширины.

3. Концы линии — точки.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы поверхности — линии.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

8. Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой.

9. Когда линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.

10. Когда прямая, восстановленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

11. Тупой угол—больший прямого.

12. Острый же — меньший прямого.

13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

14. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.

15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [которая называется окружностью], на которую все из одной точки внутри фигуры падающие на окружность круга прямые равны между собой.

16. Центром круга называется эта точка.

17. Диаметр круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.

18. Полукруг есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им <частью> окружности. Центр полукруга — то же самое, что и у круга.

19. Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трёхсторонние — между тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.

20. Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же — имеющая только две равные стороны, разносторонний — имеющая три неравные стороны.

21. Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же — имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий три острых угла.

22. Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной.

Приведем в виде задач несколько предложений из Евклида, надеемся, что размышляя над этими задачами, вы осознаете величие книги Евклида.

Задача 1

На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.

Пусть данная ограниченная прямая будет АВ (черт. 1).

Требуется на прямой АВ построить равносторонний треугольник.

Задача 2

От данной точки отложить прямую, равную данной прямой.

Пусть дана точка А и отрезок ВС; требуется от точки А отложить отрезок, равный отрезку ВС.

Посмотрите внимательно на чертеж и вы увидите решение задачи.

Отрезок AL равен отрезку BC, см. (черт. 2).

Задача 3

(Предложение 17 из второй книги Евклида.)

Из данной точки А к данному кругу С с центром Е провести касательную прямую линию.

Посмотрите внимательно на чертеж и вы увидите решение задачи.

Задача 4

(Предложение 15 из четвертой книги Евклида.)

В данный круг вписать шестиугольник равносторонний и равноугольный.

Пусть данный круг будет ABCDEI; требуется вписать в круг ABCDEI шестиугольник равносторонний и равноугольный.

Приведем решение Евклида.

Проведём диаметр AD круга ABCDEI и возьмём центр круга Н, из центра D раствором DH опишем круг EHCG, соединяющие прямые ЕН и СН продолжим до В и I и соединим A3, ВС, CD, DE, EI, IA. Я утверждаю, что ABCDEI шестиугольник равносторонний и равноугольный.

Действительно, поскольку точка Н есть центр круга ABCDEI, то НЕ равна HD. Далее, поскольку точка D центр круга EHCG, то DE равна DH.

Но, как доказано, НЕ равна HD; и значит, НЕ равна ED; значит, треугольник EHD равносторонний; и значит, три его угла EHD, HDE, DEH равны между собой, поскольку ведь в равнобедренных треугольниках углы при основании равны между собой (предложение 5 книги I), и три угла треугольника <вместе> равны двум прямым (предложение 32 книги I).

Значит, угол EHD — треть двух прямых. Подобным же образом будет доказано, что и угол DHC третья часть двух прямых. И поскольку прямая СН, восставленная на ЕВ, образует смежные углы, равные двум прямым (предложение 13 книги I), то значит, и оставшийся угол СНВ треть двух прямых; значит, углы EHD, DHC, СИВ равны между собой, так что и их углы через вершину ВНА, AHI, IHE (предложение 15 книги I) равны [углам EHD, DHC, СНВ.

Значит, шесть углов EHD, DHC, СНВ, ВНА, AHI, IHE равны между собой. Равные углы опираются на равные обводы (предложение 26 книги III); значит, шесть обводов АВ, ВС, CD, DE, EI, IА равны между собой.

Равные же обводы стягиваются равными прямыми (предложение 29 книги III); значит, шесть этих прямых равны между собой; значит, шестиугольник ABCDEI равносторонний.

Я утверждаю, что и равноугольный.

Действительно, поскольку обвод IA равен обводу ED, прибавим общий обвод ABCD; значит, вся IABCD равна всей EDCBA; и на обвод IABCD опёрся угол IED, на обвод же EDCBA угол АI1Е, значит, угол AIE равен DEI (предложение 27 книги III).

Подобным же образом будет доказано, что и остальные углы шестиугольника ABCDEI поодиночке равны каждому из углов AIE, IED; значит, шестиугольник ABCDEI равноугольный.

Доказано же, что он и равносторонний и вписывается в круг ABCDEI.

Итак, в данный круг вписывается шестиугольник равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.

Замечание. Термин радиус был неизвестен грекам, слово «radius — луч> введено позднее.

Задача 5

(Предложение 16 из четвертой книги Евклида.)

В данный круг вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (иными словами, правильный).

Пусть данный круг будет ABCD; требуется в круг ABCD вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (см чертеж).

Впишем в круг ABCD сторону АС равностороннего треугольника, в него вписанного (предложение 2), и сторону АВ равностороннего пятиугольника; значит, каких равных долей будет в круге ABCD пятнадцать, таких в обводе АВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе АВ, являющемся пятой частью круга, будет три.

Значит, в остающемся обводе ВС равных долей будет две.

Рассечём ВС пополам в Е (предложение 30 книги III); значит, каждый из обводов BE и ЕС будет пятнадцатой частью круга ABCD.

Значит, если, соединив BE и ЕС, будем вставлять в круг ABCD одну за другой равные им прямые (предложение 1), то получим вписанный в круг пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.

Подобным же образом, как для пятиугольника, если провести через деления по кругу касательные к кругу, то опишется около круга пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (предложение 12).

Ещё же на основании доказательств, подобных тем, что для пятиугольника, мы впишем в данный пятнадцатиугольник и опишем около него круг (предложения 13 и 14), что и требовалось сделать (7, 8, 9, 10).

О знаменитом древнегреческом математике Евклиде нам известно достоверно лишь то, что жил он в IV-III веках до н.э. и провел большую часть жизни в Александрии. Совсем немного сведений дают о нём авторы, такие как Архимед, Прокл и Папп Александрийский. Обширную и детализированную биографию Евклида написали также арабские авторы. Одна из арабских рукописей XII века утверждает, что Евклид, известный как «Геометр», был сыном некоего Наукрата, родился в Тире и проживал в Сирии. Но в исторической науке эта биография учёного считается полностью вымышленной. Напротив, упоминание о Евклиде Проклом считается достоверным. В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида» он указывает, что учёный жил во времена Птолемея I Сотера, аргументируя это тем, что «Архимед … упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии». Все выше названные, кроме арабских авторов, упоминают о Евклиде только как об авторе знаменитого сочинения «Начала» - его главного труда, написанного примерно в 300 году до н.э. Известно также, что Евклид был первым математиком Александрийской школы и работал при знаменитой Александрийской библиотеке.

Состоящие из 13 книг на древнегреческом, «Начала» представляют собой первый систематизированный теоретический трактат по математике и геометрии. Они стали своего рода итогом развития всей античной науки, дав огромный толчок последующим исследованиям. С самого появления работы к ней писали комментарии другие учёные, начиная от Прокла и заканчивая арабскими и европейскими авторами Средневековья и Нового времени, среди которых были Галилео Галилей , Рене Декарт , Исаак Ньютон . Некоторые исследователи утверждают, что «Начала» были самой популярной и значимой книгой в Средневековой Европе. Объясняется это тем, что вплоть до XX века изучение «Начал» Евклида было обязательным требованием для студентов всех университетов. Это была самая первая математическая работа, напечатанная после изобретения печатного станка. Первый выпуск в Европе вышел в 1482 году в Венеции.

Начало каждой из 13-ти книг состоит из определений, аксиом и постулатов. Затем идут задачи на построение и теоремы, а после – доказательства этих теорем и решение задач. В своей работе Евклид не ссылается на своих предшественников, а лишь опирается на их результаты. Исследователи установили, что он пользовался работами Гиппократа Хиосского, Евдокс Книдского , Теэтета Афинского и работами разных пифагорейцев.

Первая книга посвящена изучению свойств прямоугольных треугольников и параллелограммов. В ней же рассматривается знаменитая теорема Пифагора , доказательство которой Евклидом стало одним из самых распространенных среди всех доказательств в современной науке. Но самым интересным является 5-ый постулат Евклида, который гласит, что «если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат впоследствии комментировался и исследовался многими учёными, что привело к появлению неевклидовой геометрии в Новом времени. В неевклидовой геометрии пространство представляется искривленным, в отличие от нулевой кривизны пространства классической евклидовой геометрии.

Вторая, третья и четвертая книги основаны на трудах пифагорейцев и раскрывают задачи и теоремы геометрии окружностей, их касательных и хорд, вписанных и описанных многоугольников, построения правильных многоугольников. В пятой книге рассматривается общая теория отношений или теория пропорций величин, которую разработал Евдокс Книдский, дошедшая до нас только в «Началах». В шестой книге на практике применяется теория отношений для доказательства подобия геометрических фигур. На этом заканчивается первая часть «Начал», в которой рассматривались одноплоскостные фигуры.

Седьмая, восьмая и девятая книги посвящены элементарной теории чисел. В них рассматриваются свойства простых чисел, их делимость, пропорции, геометрическая прогрессия и суммы прогрессий, бесконечность простых чисел и строительство совершенных чисел. Также в седьмой книге Евклид предлагает своей алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Самая объемная десятая книга представляет собой попытку классификации несоизмеримых (в современном понимании, иррациональных) величин.

Книги с одиннадцатой по тринадцатую – это теория пространственной геометрии или стереометрии. Одиннадцатая воплощает теории первых шести книг в пространстве – перпендикулярность, параллелизм, объемы параллелепипедов. В двенадцатой рассказывается об исследованиях объемов конусов, пирамид и цилиндров. И, наконец, в тринадцатой книге описываются пять правильных многогранников или платоновых тел, вписанных в сферу, и доказывается, что их не может быть больше.

Считается, что свой математический труд Евклид написал, работая в Александрийской библиотеке. Александрийская библиотека представляла собой не просто огромное собрание разнообразных книг и источников, а была местом, где собирались виднейшие представители наук, вели дискуссии, работали над своими трудами и представляли их на всеобщее обозрение. В разное время в ней работали Эратосфен Киренский, Аристофан, Архимед, Птолемей и многие другие. Неудивительно, что Евклид, находясь в такой благоприятной для развития мысли обстановке смог создать действительно уникальное произведение, по величине и значимости соизмеримое с важнейшими открытиями современного мира.

Кроме «Начал» сохранилось всего 4 произведения Евклида: «Явления» (о применении сферической геометрии в астрономии), «Данные» (о построении фигур), «О делении» (применительно к геометрическим фигурам) и «Оптика» (о распространении света). Сохранились косвенные данные о других сочинениях учёного. К тому же традиционно Евклиду приписывают авторство ещё двух произведений – теория зеркал «Катоптрика» и трактат по теории музыки «Деление канона», но установить их авторство не представляется возможным.

Подводя итог, можно говорить о том, что Евклид и его «Начала» имеют действительно огромное значение для науки. Систематизировав и обобщив прошлые достижения математиков, сделав свои открытия, Евклид создал фундаментальный труд, который стал важной частью современной математики и геометрии. И хотя нам практически ничего не известно о том, каким человеком был Евклид, и как проходила его научная деятельность, но результат этой деятельности, несомненно, вызывает восхищение и уважение. Евклид стал своего рода границей в науке, собрав воедино научные достижения прошлого и дав сильный задел для развития исследований будущего. В честь него названы космический летательный аппарат для изучения геометрии темной материи, город в США, алгоритм для получения традиционного музыкального ритма и многие математические открытия более позднего времени.

Первую Книгу “Начал” открывают многочисленные определения, за которыми следуют пять знаменитых постулатов. Далее, перед тем как начинает доказывать теоремы, он приводит список общих понятий. Первые несколько определений следующие:

Определение 1.1. Точка — это то, часть чего есть ничто.

Определение 1.2. Линия — это длина без ширины.

Определение 1.3. Концы линий — это точки.

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.

Постулаты — это конструкции следующего вида:

Можно нарисовать прямую линию, соединяющую одну точку с любой другой.

Общие понятия — это аксиомы, такие как:

Объекты, равные одному и тому же объекту, равны между собой.

Следует отметить определенные моменты.

1. Евклид, кажется, определяет точки два раза (определения 1 и 3) и линией два раза (определения 2 и 4). Это довольно странно.

2. Евклид никогда не использует определения и никогда не ссылается на них в остальной части текста.

3. Некоторые понятия он нигде не определяет. Например, отсутствует определение порядка точек на прямой. Поэтому то, что одна точка расположена между двумя другими, также не определено, но, конечно же, это используется.

4. В пятой Книге “Начал” рассматриваются величины и их пропорциональность. Однако Евклид понятие величины не определяет, и современному читателю кажется, что Евклиду не удалось ввести величины с той строгостью, которой он знаменит.

5. Когда Евклид вводит величины и числа, он дает несколько определений, но не постулатов или общих понятий. Например, можно было бы ожидать от Евклида постулирования, что , и т.д., но он этого не делает.

Когда Евклид вводит числа в седьмой Книге, он дает определение, очень похожее на основные определения в начале первой Книги:

Единица — это то, благодаря чему каждая из вещей, которые существуют, называется одной.

«_____» _________________2016г.

Руководитель:

«_____» __________________2016г.

Волгоград, 2016

Введение…………………………………………3

1. Евклид и его начало………………………...4

2. Евклида Алгоритм…………………………..7

Заключение………………………………………20

Список литературы…………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

Евклид и его начало

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в “неевклидовой геометрий”.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в н.э., - первый серьёзный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I,который царствовал с 306-283г.до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VI век до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах и слово “определение” в современном понимании не точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед.

“Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”. В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “улучшениями” позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математике (XVIв.) “Начала” изучали и воссоздавали заново. Логическое построение “Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и за пределами математики.

Евклида Алгоритм

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и б , положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1 ,r2 …, rn , а неполные частные через q1 , q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

. . . . . . . . . .

Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.

Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Начала Эвклида

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала».

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

VII – IX – арифметике;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Но не все из того, что уже было известно, изложено в «Началах», например, теория конических сечений в «Началах» не была представлена.

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

V постулат:

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

6. И половины равных равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

С современной точки зрения, одно из слабых мест «Начал» Евклида – это определения. Он дает определения таких понятий как точка, плоскость, прямая, т. е. стремится дать определение всем геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне туманны, например:

1. «Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек».

2. «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим».

Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток «Начал» – неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами «между» и «вне».

Огромное историческое значение «Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиом. Чтобы закончить характеристику «Начал» Евклида необходимо остановиться на особо важном вопросе – о V постулате Евклида и попытках его доказательства.

Начала Евклида

(«Нача́ла» Евкли́да) научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется. За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта. До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

«Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой. В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

«Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. - начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250-1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Полякова екатерина, учащаяся 6б класса

Кто такой Евклид?

В работе рассказывается о биографии древнегреческого математика Евклида (иначе Эвклид), авторе первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. История возникновения книги «Начала», её краткое содержание.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Новоаганская общеобразовательная средняя школа № 2»

Евклид и его книга «Начала»

Работу выполняла:

Екатерина Полякова, учащаяся 6б класса

Руководитель:

Чекина Ольга Александровна,

учитель математики.

Пгт. Новоаганск

2014

План

Ведение .

Цели и задачи.

II. Основная часть .

Кто такой Евклид?
Главная работа Евклида – "Начала".
О чем его книга?
Что сделал Евклид?

III. Заключение.

IV. Использованная литература.

Введение

Цель моей работы:

Расширить свои знания по выбранной теме. Узнать больше о жизни Эвклида, о его работе, о знаменитой книге «Начала».

Подготовиться к выступлению на ученической конференции.

Задачи :

1) Найти информацию по теме «Эвклид и его книга «Начала».

2) Познакомиться с его книгой «Начала».

3) Оформить доклад.

4) Выполнить презентацию.

5) Выступить на конференции.

Кто такой Евклид?

Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики , а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Большую часть жизни Эвклид провел в Александрии - городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта; чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон- храм муз.

Его работа?

Так как знания по математике нужно было как-то записывать, то Евклид написал книгу под названием «Начала», в которой было все, что люди тогда знали о геометрии и даже сейчас эти знания используются. Правда, потом древние книги безжалостно уничтожали, потому что они не нравились христианам и мусульманам. Но в некоторых переводах все же книга «Начала» выжила.

Важнейший математический труд гениального Евклида его книга

«Начала» имеет весьма почтенный возраст - свыше двух тысячелетий.

Главная работа Евклида – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида );

состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, до сих пор неизвестно кто их автор? Их приписывают Гипсиклу Александрийскому.

В "Началах" Евклид подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

О чем его книга?

Евклидова книга «Начала» представляет собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка - это неделимый атом пространства.

Сочинение Евклида состоит из 15 книг.

В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора.

Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры.

3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.

В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники.

Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач.

Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел.

В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности.

В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии.

В 12-й книге доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.

В основу 13-й книги легли результаты, полученные в области правильных многогранников.

Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я - во II в. до н. э., а 15-я - в VI в.

У Евклида мы встречаем также описание монохорда - однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры).

Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.

Что сделал Евклид?

Евклид - это древний мыслитель, который открыл науку геометрию. Можно сказать, что именно Евклид навел порядок в математике того времени.
Евклид – автор ряда работ по астрономии, оптике, музыке и др. Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса.

Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А «Начала», написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время.

Созданные в III в. до н. э. «Начала» не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики.

Эвклид, один из величайших геометров, решил найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе...

Конечно все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида.

Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Заключение

В результате проделанной работы я познакомилась с жизнедеятельностью Евклида. Изучила историю возникновения книги «Начала», её содержание.

Оформила доклад, выполнила презентацию.

Презентация может послужить дополнительным материалом на уроках математики.

Источники информации