Нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины. Математическое ожидание при игре в Покер

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Пример №1 .

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Математическим ожиданием случайной величины X называется среднее значение .

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X) , где C = const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X)·M(Y)

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X) .

Дисперсия представляет собой мерой отклонения значений случайной величины от своего среднего значения.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(СX) = C 2 D(X) , где C = const

4. Для независимых случайных величин

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется средним квадратичным отклонением .

@ Задача 3 : Пусть случайная величина X принимает всего два значения (0 или 1) с вероятностями q, p , где p + q = 1 . Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

M(X) = 1·p + 0·q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Задача 4 : Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны 8. Найти математическое ожидание и дисперсия случайных величин: а) X – 4 ; б) 3X – 4 .

Решение: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Задача 5 : Совокупность семей имеет следующее распределение по числу детей:

Определить x 1 , x 2 и p 2 , если известно, что M(X) = 2; D(X) = 0,9 .

Решение: Вероятность p 2 равна p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Неизвестные x находятся из уравнений: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Генеральная совокупность и выборка. Оценки параметров

Выборочное наблюдение

Статистическое наблюдение можно организовать сплошное и не сплошное. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности (генеральной совокупности). Генеральная совокупность это множество физических или юридических лиц, которую исследователь изучает согласно своей задачи. Это часто экономически невыгодно, а иногда и невозможно. В связи с этим изучается только часть генеральной совокупности – выборочная совокупность .

Результаты, полученные на основе выборочной совокупности, можно распространить на генеральную совокупность, если следовать следующим принципам:

1. Выборочная совокупность должна определяться случайным образом.

2. Число единиц выборочной совокупности должно быть достаточным.

3. Должна обеспечиваться репрезентативность ( представительность) выборки. Репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности, которую она должна отражать.

Типы выборок

В практике применяются следующие типы выборок:

а) собственно-случайная, б) механическая, в) типическая, г) серийная, д) комбинированная.

Собственно-случайная выборка

При собственно-случайной выборке отбор единиц выборочной совокупности производится случайным образом, например, посредством жеребьевки или генератора случайных чисел.

Выборки бывают повторные и бесповторные. При повторной выборке единица, попавшая в выборку, возвращается и сохраняет равную возможность снова попасть в выборку. При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в дальнейшем в выборке не участвует.

Ошибкиприсущие выборочному наблюдению, возникающие в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную совокупность, называются стандартными ошибками . Они представляют собой среднее квадратичное расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими значениями показателей генеральной совокупности.

Расчетные формулы стандартной ошибки при случайном повторном отборе следующая: , а при случайном бесповторном отборе следующая: , где S 2 – дисперсия выборочной совокупности, n/N – доля выборки, n, N - количества единиц в выборочной и генеральной совокупности. При n = N стандартная ошибка m = 0.

Механическая выборка

При механической выборке генеральная совокупность разбивается на равные интервалы и из каждого интервала случайным образом отбирается по одной единице.

Например, при 2%-ной доли выборки из списка генеральной совокупности отбирается каждая 50-я единица.

Стандартная ошибка механической выборки определяется как ошибка собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка

При типической выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы, затем из каждой группы случайным образом производится отбор единиц.

Типической выборкой пользуются в случае неоднородной генеральной совокупности. Типическая выборка дает более точные результаты, потому что обеспечивается репрезентативность.

Например, учителя, как генеральная совокупность, разбиваются на группы по следующим признакам: пол, стаж, квалификация, образование, городские и сельские школы и т.д.

Стандартные ошибки типической выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2 заменяется средней величиной от внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка

При серийной выборке генеральная совокупность разбивается на отдельные группы (серии), затем случайным образом выбранные группы подвергаются сплошному наблюдению.

Стандартные ошибки серийной выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2 заменяется средней величиной от межгрупповых дисперсий.

Комбинированная выборка

Комбинированная выборка является комбинацией двух или более типов выборок.

Точечная оценка

Конечной целью выборочного наблюдения является нахождение характеристик генеральной совокупности. Так как этого невозможно сделать непосредственно, то на генеральную совокупность распространяют характеристики выборочной совокупности.

Принципиальная возможность определения средней арифметической генеральной совокупности по данным средней выборки доказывается теоремой Чебышева . При неограниченном увеличении n вероятность того, что отличие выборочной средней от генеральной средней будет сколь угодно мало, стремится к 1.

Это означает, что характеристика генеральной совокупности с точностью . Такая оценка называется точечной .

Интервальная оценка

Базисом интервальной оценки является центральная предельная теорема .

Интервальная оценка позволяет ответить на вопрос: внутри какого интервала и с какой вероятностью находится неизвестное, искомое значение параметра генеральной совокупности?

Обычно говорят о доверительной вероятности p = 1 – a, с которой будет находиться в интервале – D < < + D, где D = t кр m > 0 предельная ошибка выборки, a - уровень значимости (вероятность того, что неравенство будет неверным), t кр - критическое значение, которое зависит от значений n и a. При малой выборке n < 30 t кр задается с помощью критического значения t-распределения Стъюдента для двустороннего критиерия с n – 1 степенями свободы с уровнем значимости a (t кр (n – 1, a) находится из таблицы «Критические значения t–распределения Стъюдента», приложение 2). При n > 30, t кр - это квантиль нормального закона распределения (t кр находится из таблицы значений функции Лапласа F(t) = (1 – a)/2 как аргумент). При p = 0,954 критическое значение t кр = 2 при p = 0,997 критическое значение t кр = 3. Это означает, что предельная ошибка обычно больше стандартной ошибки в 2-3 раза.

Таким образом, суть метода выборки заключается в том, что на основании статистических данных некоторой малой части генеральной совокупности удается найти интервал, в котором с доверительной вероятностью p находится искомая характеристика генеральной совокупности (средняя численность рабочих, средний балл, средняя урожайность, среднее квадратичное отклонение и т.д.).

@ Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S = 6). С вероятностью p = 0,954 определить предельнуюошибку выборочной средней и доверительный интервал средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.

Решение: Предельнаяошибка выборочной средней согласно (1) равна D = 2· 0,6 = 1,2, а доверительный интервал определяется как (22 – 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20,8; 23,2).

§6.5 Корреляция и регрессия

Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Вероятности
и
определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р , а вероятность ненаступления этого события равна
. Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли

,

где
– число сочетаний из п элементов по . Тогда

Искомая вероятность

Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность
по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

где
и
.

Из условия задачи . Тогда

.

Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна

Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности
приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения
. Поэтому при малых значениях р для вычисления
применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где .

Эта формула используется при
, причем чем меньше р и больше п , тем результат точнее.

По условию задачи
;
. Тогда

Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р , то вероятность
того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

,
.

Функция
называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для
. При
функция
. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа
. Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи . По приведенным выше формулам находим
и :

Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х :

2. Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

2. Где в первой строке даны значения случайной величины х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание вычисляется по формуле

2) Дисперсия
дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от
. Из последней формулы имеем

Дисперсию
можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия
равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания
, то есть

Для вычисления
составим следующий закон распределения величины
:

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х , равное квадратному корню из дисперсии
, то есть

.

Из этой формулы имеем:

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения
; 2) математическое ожидание
; 3) дисперсию
.

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения
, то есть

.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией
, то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция
при
и при
равна нулю, то из последней формулы имеем

.

3) Дисперсию
определим по формуле

Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.

Решение. 1) Пусть Х – длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией
, то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку
, определяется по формуле

.

Вероятность выполнения строгих неравенств
определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

, (1)

где
– функция Лапласа,
.

В задаче . Тогда

2) По условию задачи , где
. Подставив в (1) , имеем

. (2)

Из формулы (2) имеем.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь