Непрерывная и дискретная модели описания процесса замедления. Модели непрерывные и дискретные

Дискретные модели. Однако деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным при этом непрерывные параметры представляются как дискретные величины путем введения разного рода шкал балльных оценок и т. Дискретные системы изучаются с помощью аппарата теории алгоритмов и теории автоматов.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Дискретные модели относятся к системам, все элементы которых, а также связи между ними (т. е. обращающаяся в системе информация) имеют дискретный характер. Следовательно, все параметры такой системы дискретны.

Непрерывные модели. Противоположное понятие непрерывная система. Однако деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно, зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным (при этом непрерывные параметры представляются как дискретные величины путем введения разного рода шкал, балльных оценок и т. п.). Дискретные системы изучаются с помощью аппарата теории алгоритмов и теории автоматов. Их поведение может описываться с помощью разностных уравнений.

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
16929.		Дискретные математические модели в профессиональной подготовке студентов экономических специальностей ВУЗов	10.92 KB
	Дискретные математические модели в профессиональной подготовке студентов экономических специальностей ВУЗов Сложившаяся в настоящее время практика преподавания курса Дискретная математика для студентов экономических специальностей ВУЗов приводит к тому что они фактически не обладают знаниями и умениями позволяющими успешно решать широкий круг практических задач использующих дискретные объекты и модели не имеют развитого логического мышления у них отсутствует культура алгоритмического мышления. Для восполнения указанных пробелов...
15214.		ЦИФРОВЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ	97.04 KB
	Обработкой сигнала называют процесс преобразования сигнала исходящего от источника информации с целью освобождения от различного рода помех и от информации вносимой косвенным характером измеряемого физического процесса и нелинейными характеристиками датчиков а также с целью представления полезной информации в наиболее удобной форме. С учетом математической модели сигнала и задач обработки строится математическая модель процесса ЦОС. Классы моделей систем ЦОС отличаются по видам решаемых задач...
15563.		СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	58.05 KB
	Модель авторегрессии выражает текущее значение процесса через линейную комбинацию предыдущих значений процесса и отсчета белого шума. Название процесса термин математической статистики где линейная комбинация x = 1y1 2 y2 p yp z = z Ty связывающая неизвестную переменную x с отсчетами y = T называется моделью регрессии x регрессирует на y. Для стационарности процесса необходимо чтобы корни k характеристического уравнения p 1p-1 p =0 лежали внутри круга единичного круга I 1 . Корреляционная...
16918.		Дискретные структурные альтернативы: методы сравнения и следствия для экономической политики	11.74 KB
	Дискретные структурные альтернативы: методы сравнения и следствия для экономической политики Современная экономическая теория в своей основе даже если далеко не всегда есть основания идентифицировать специфические черты соответствующей исследовательской программы является теорией индивидуального выбора что обусловливает высокий статус принципа методологического индивидуализма в исследованиях посвященных самым разнообразным проблемам Шаститко 2006. Индивидуальный выбор строится на таких фундаментальных основаниях как ограниченность...
3111.		Инвестиции и сбережения в кейнсианской модели. Макроэкономическое равновесие в модели “кейнсианский крест”	27.95 KB
	Инвестиция это функция ставки процента: I=Ir Эта функция убывающая: чем выше уровень процентной ставки тем ниже уровень инвестиций. По взглядам Кейнса сбережения это функция доходаа не процентной ставки: S=SY Т. инвестиции являются функцией процентной ставки а сбережения функцией дохода.
5212.		Уровни модели OSI и TCP/IP	77.84 KB
	Сетевая модель - теоретическое описание принципов работы набора сетевых протоколов, взаимодействующих друг с другом. Модель обычно делится на уровни, так, чтобы протоколы вышестоящего уровня использовали бы протоколы нижестоящего уровня
8082.		Модели элементов	21.98 KB
	Совокупность элементов модели дискретного устройства называется базисом моделирования. Очень часто базис моделирования не совпадает с элементным базисом. Обычно из более сложной модели базиса моделирования можно получить более простую модель. В данном случае совпадение 2х соседних итераций является критерием окончания моделирования одного входного набора.
2232.		Цветовые модели	475.69 KB
	О работе с цветом Свойства цвета и соответствие цветов Цветовой круг и дополнительные цвета Цветовой круг демонстрирует соотношение между тремя первичными цветами красным зеленым и синим и тремя первичными цветами голубым пурпурным и желтым. Цвета расположенные друг напротив друга называются дополнительными цветами. Если вы сделали фотографию в которой избыток зеленого цвета то этот эффект можно подавить добавив соответствующий дополнительный цвет пурпурный смесь красного и синего согласно модели RGB. Дополнительный цветовой...
7358.		Модели обучения	16.31 KB
	Традиционное обучение представляет собой обучение ЗУН по схеме: изучение нового - закрепление - контроль - оценка. Ученики выступают как объекты управления. Со стороны учителя преобладает авторитарно-директивный стиль управления и инициатива обучаемых чаще подавляется, чем поощряется
7155.		Цвет и цветовые модели	97.22 KB
	Чтобы успешно применять их в компьютерной графике необходимо: понимать особенности каждой цветовой модели уметь определять тот или иной цвет используя различные цветовые модели понимать как различные графические программы решают вопрос кодирования цвета понимать почему цветовые оттенки отображаемые на мониторе достаточно сложно точно воспроизвести при печати. Так как цвет может получиться в процессе излучения и в процессе отражения то существуют два противоположных метода его...

Дискретные и непрерывные модели.

Структурные и функциональные модели.

В случае если в моделях первого вида отражается структура (устройство) изучаемой системы, представляющая собой набор взаимосвязанных элементов системы, то в функциональных моделях внимание уделяется не описанию структуры системы, а количественному описанию того, как данная система реагирует на внешние воздействия. В этом случае полученную модель называют "черным ящиком". Структурные модели, как правило, строятся для хорошо структуризованных систем. Функциональные модели строятся, в основном, для хорошо структуризованных процессов. Возможно, так же сочетание этих двух видов моделей, в результате чего может получиться гибридная модель, позволяющая описывать слабо структуризованные системы и процессы. Примером таких моделей являются системно-динамические модели, предназначенные для описания эколого-экономических процессов. Структурные модели используются, к примеру, в теории фирмы при изучении монополии или потребительского выбора. Примером применения функциональных моделей может служить теория производственных функций.

Такое деление моделей исходит из деления всех величин на дискретные, принимающих значения в конечном числе точек выбранного интервала и непрерывные, принимающие значения на всем интервале. Конечно, возможен и промежуточный случай. Как правило, большинство математических моделей допускают как дискретную, так и непрерывную интерпретацию. В случае если в дискретном случае описание моделей ведется на языке сумм и конечных разностей, то в непрерывных моделях - на языке интегралов и бесконечно-малых приращений. В качестве примера дискретных экономико-математических моделей можно привести широко распространенные модели, связанные с целочисленным программированием, математической теорией игр, сетевым планированием. К числу непрерывных моделей относятся различные модели математической экономики, в том числе рыночного равновесия, многие оптимизационные модели.

Линейные и нелинейные модели. Такое деление моделей исходит от характера взаимосвязей между элементами системы. В случае если в линейных моделях предполагается линейная зависимость между переменными, описывающими модель, то в нелинейных моделях присутствуют связи между элементами, задаваемые нелинейными функциями. Примером использования линейных и нелинейных моделей в экономике является решение задач линейного и соответственно нелинейного программирования. В случае если линейными моделями, как правило, описываются простые системы, то нелинейными моделями, к числу которых относится большинство системно-динамических моделей, описываются сложные системы. Возможно, также выделение смешанных моделей, примером которых бывают слабо нелинейные модели.

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-y І. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) -(2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: , du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические - динамические», «дискретные - непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u 1) и человек без жетона , т.е. U={ u 1 }. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u 0), т.е. U ={u 0 , u 1 , }. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y 0) и «закрыто» (y 1). Таким образом, Y={y 0 , y 1 } и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i -м месте стоит j , если значению входа соответствует значение выхода y i .

Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).

Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и 0 - «нет воздействия», и 1 - «опускание жетона», и 2 - «прохождение». Множество Y можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y (t )не определяется только значением входа и (t ),а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s) при sСистема имеет «память». Простейший тип ММ для описания дискретных систем с памятью - это конечный автомат . Для его построения вводится конечное множество внутренних состояний системы X , определяющее «память». В данном случае в X достаточно включить два элемента х 0 - «жетон не был брошен», x 1 - «жетон был брошен». Значения состояния системы в следующий момент времени I выхода в текущий момент зависят от текущих значений состояния и входа, т.е.

x (k+1)=F (x(k), и (k)), y (k) = G (x(k), и (к)), (2.4]

где k - номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и)и функцию выходов G (x, и )можно задать таблично:

Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь - RС -цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t )=E 0 (t ), выходом - напряжение на конденсаторе y (t )=E 1 (t ). Закон Ома дает ММ системы в виде дифференциального уравнения 1-го порядка

у=и - у ,(2.5)

где -RC - постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R 1 . Если исследователя интересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E 0 (t )= const, то нужно положить в (2.5) у= 0и получить статическую модель

y (t )=u (t ).(2.6)

Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E 0 (t )изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с ).

Пример 4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций ,существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популяций (видов) y 1 (t ), y 2 (t ). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник - жертва» (например, у 1 - численность лис в лесу, а у 2 - численность зайцев; или у 1 - концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у 2 - число заболевших и т.д.). В данном случае у 1 , у 2 - целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у 1 , у 2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у 1 , у 2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у 1 , у 2 . Простейшая модель динамики популяции получается, если предположить, что:

При отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;

При отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;

Численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у 1 , у 2 .

При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки - Вольтерра:

где а, Ь, с, d - положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.

Отображения в пространстве.

Трехмерное вращение.

Сдвиг.

Основы преобразований.

Трехмерное изменение масштаба.

Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

Матрица имеет вид:

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.

Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:

И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.

Для отображения yz:

Для отображения xz:

Тв.модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.

Предварительные замечания. Рассмотрим многомерную систему автоматического управления, где в качестве регулятора используется БЦВМ, связанная с непрерывным объектом с помощью ЦАП и АЦП (рис.1.4). Будем считать, что измеряемый векторный выход объектаквантуется с помощью АЦП в моментытак, что на входе БЦВМ действует векторная решётчатая функция. В БЦВМ реализуется определённый алгоритм управления и на её выходе формируется последовательность дискретных значений управляющих воздействий, которую также можно рассматривать как векторную решётчатую функцию. Здесь для простоты положим, что разрядность ЦАП и АЦП достаточно высока, так что эффектом квантования по уровню можно пренебречь.
Пусть непрерывный объект представляется дифференциальными уравнениями в форме Коши
(2.4.1)
где –числовые матрицы соответствующих размеров.
Будем считать, что ЦАП и АЦП работают синхронно (с одинаковым периодом), но не синфазно, и пусть выдача рассчитанных управлений производится с задержкой на, где–относительное запаздывание, так что на ЦАП поступает смещённая решётчатая функция. Таким образом, эквивалентная схема принимает вид рис.2.5.

Рис. 2.5.
Очевидно, что непрерывный объект управления (2.4.1) совместно с ЦАП, АЦП и звеном задержки можно рассматривать как некоторую эквивалентную дискретную систему, на входе и выходе которой действуют решётчатые функцииисоответственно. Как и в случае импульсных систем, разностные уравнения, описывающие эту систему, должны быть такими, чтобы их решения относительно переменных выхода и состояний совпадали прис соответствующими непрерывными функциями. Эти разностные уравнения как раз и будут являться дискретной моделью непрерывного объекта в системе управления с БЦВМ в контуре. Причём, эта модель, очевидно, будет зависеть от способа восстановления непрерывного процессапо его дискретам.
Применение экстраполяции нулевого порядка. Пусть операция ЦА-преобразования сопровождается формированием управленияметодом фиксации на период (экстраполяция нулевого порядка). Тогда функциябудет кусочно-постоянной (рис.2.6), удовлетворяющей условию
Для определения дискретной модели объекта (2.4.1) при условии (2.4.2) рассмотрим -ый интервал дискретности.

Рис. 2.6.
В соответствии с рис.2.6, этот интервал можно разбить на два под-интервала. На первом подинтервале, когда, на объект действует постоянное управление, а на втором – постоянное управление. Учитывая сказанное и используя формулу Коши (2.3.3), определим состояниев конце интервала по известному состояниюв начале интервала. Будем иметь
Преобразуем это выражение, используя для первого интеграла замену , а для второго –. Тогда после преобразований и перехода к решётчатым функциям получим
Обозначим
и учтём, что квантование выхода производится в моменты. Тогда окончательно, искомая дискретная модель примет вид
. (2.4.4)
Анализируя формулы (2.4.3), заметим, что матрицы изависят от величины запаздывания. Так, если(запаздывание отсутствует), тои мы получим дискретную модель непрерывного объекта без запаздывания. Если же, то, и тогда уравнения (2.4.4) будут представлять дискретную модель с "чистым" запаздыванием на один такт.
Отметим также, что при разностные уравнения (2.4.4) формально не являются уравнениями в форме Коши, так как в правой части первого уравнения присутствует переменная, сдвинутая на один такт по отношению к другим. Для устранения этого "недостатка" введем вектор дополнительных состояний , . Тогда нетрудно показать, что расширенная дискретная модель с вектором состояний , представится в следующем эквивалентном виде
(2.4.5)
где - новый вектор измеряемых переменных объекта, расширенных за счет управлений из предыдущего такта.
Таким образом наличие запаздывания привело к увеличению размерности дискретной модели по сравнению с размерностью непрерывного объекта. Это позволяет учесть запаздывание при синтезе алгоритмов работы БЦВМ (дискретных регуляторов), так как формально уравнения (2.4.5) представляют дискретную модель объекта без запаздывания, но повышенной размерности.
Применение экстраполяторов -го порядка. При рассмотрении этого вопроса для простоты ограничимся случаем . Кроме того, также для простоты, будем считать, что управлениеявляется скалярным (). Тогда, если для реализации этого управления используется метод экстраполяции-го порядка, то на интервалеуправлениебудет определяться выражением (1.4.10), то есть
, (2.4.6)
где производные () могут быть вычислены по дискретам,в соответствии с алгоритмом (1.4.16).
Переходя к определению дискретной модели непрерывного объекта (2.4.1) запишем состояние этого объекта в конце-го интервала дискретности по известному состояниюв начале интервала. Используя формулу Коши, будем иметь
.
Подставляя (2.4.6) и производя замену , после преобразований и перехода к решетчатым функциям, получим
Здесь учтено, что значения производных остаются постоянными в течение каждого интервала дискретности. Обозначим
,,.
Тогда (2.4.7) примет вид
.
Введем матрицу . Тогда, если использовать обозначение (1.4.12) для вектора, получим
где - определяется выражением (1.4.14), а- обозначает-мерный вектор (1.4.12), составленный из дискрет.
Обозначим столбцы матрицы через. Тогда учитывая структуру вектора, окончательно получим искомую дискретную модель
. (2.4.9)
Заметим, что несмотря на то, что по предположению управляющее воздействие формируется без задержки по отношению к моментам съема информации, дискретная модель (2.4.9) содержит запаздывания по управлению натактов одновременно. Как уже отмечалось в разделе 1.4, этот факт обусловлен использованием для формирования управленияэкстраполяции-го порядка.
Запишем полученную модель в эквивалентной форме с помощью расширенного состояния. Для этого введем вспомогательные переменные
Очевидно, что в этом случае
Тогда, если ввести вектор расширенного состояния
а также новый вектор измеряемых переменных
расширенный за счет управлений из предыдущих тактов, то (2.4.9) можно представить в следующем эквивалентном виде
, (2.4.10)
где ,,- матрицы размеров,,соответственно, имеющие следующую блочную структуру
, ,. (2.4.11)
Уравнения (2.4.10) представляют дискретную модель непрерывного объекта в системе управления с БЦВМ и экстраполятором -го порядка. Эта модель составлена для скалярного управления, и учет экстраполятора привел к тому, что ее размерность увеличилась напо сравнению с размерностью непрерывного объекта. Очевидно, что если рассматривать случай векторного управления, то формально дискретная модель (2.4.10) останется без изменения, но вводимые дополнительные переменныестанут векторными и общая размерность модели составит.