Пересечение прямой и плоскости в пространстве. Определение точки пересечения прямой с плоскостью

Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h 0α , f 0α .

Алгоритм

1. Через прямую a проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h 0γ , f 0γ .
2. Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B" = h 0α ∩ h 0γ , A"" = f 0α ∩ f 0γ . Точки A" и B"" лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
3. Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K" = a" ∩ A"B". Фронтальная проекция K"" лежит на прямой a"".

Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными способами .

Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек

1. Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A"" и С"" совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П 2 на разное расстояние.
2. Найдем горизонтальные проекции A" и C". Как видно на рисунке, точка C" удалена от плоскости П 2 на большее расстояние, чем т. A", принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а"", расположенный левее точки K"", будет видимым. Участок a"" правее K"" является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
3. Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D" и E" совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П 1 на разное расстояние.
4. Определим положение фронтальных проекций D"" и E"". Как видно на рисунке, точка D"", находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П 1 на большее расстояние, чем т. E"", принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а", расположенный правее точки K", будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a" левее K" является видимым.

Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .

Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.

Пересечение прямой линии с плоскостью

1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.

2. Получаем вот такой комплексный чертеж.

3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.

a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.

b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.

c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.

d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.

e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.

Определение видимости прямой

Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:

— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),

— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),

— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).

Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.

Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.

Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.

И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая параллельна плоскости;
• прямая пересекает плоскость.

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Пример 1

Вычислить, может ли точка М 0 с координатами - 2 , 3 , - 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с плоскостью x - 2 y - z + 3 = 0 .

Решение

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Представим координаты точки - 2 , 3 , - 5 и получим:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 · 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 - точка пересечения заданной прямой с плоскостью.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.

Пример 2

Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x - z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 .

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Возьмем систему уравнений вида x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 - 0 · 0 · 3 - 1 · 2 · 0 - (- 1) · 5 · (- 1) = - 11

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · (- 7) + 0 · (- 8) · 0 - - 0 · 0 · (- 7) - (- 3) · 2 · 0 - (- 1) · (- 8) · (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · (- 8) · 3 - 1 · 2 · (- 7) - (- 3) · 5 · (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 · 0 · (- 7) + (- 1) · (- 8) · 3 + (- 3) · 5 · 0 - - (- 3) · 0 · 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение (- 2 , 1 , 1) .

Ответ: (- 2 , 1 , 1) .

Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.

Пример 3

Найти точку пересечения прямой z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 .

Решение

Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.

Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Пример 4

Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и плоскости x + 4 y - 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с плоскостью x + 4 y - 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Пример 5

Найти координаты точки пересечения прямой x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z - 2 = 0 .

Решение

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

1 + 4 · λ + 4 · 7 - 7 · λ + 2 - 3 · λ - 2 = 0 ⇔ - 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .

x = - 1 + 4 · 1 y = 7 - 7 · 1 z = 2 - 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Ответ: (3 , 0 , - 1) .

Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.

Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дана прямая: (1) и плоскость: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если прямая (1) и плоскость (2) пересекаются, то координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям (1) и (2):

, .

Подставляя найденное значение t в (1), получим координаты точки пересечения.

1) Если Am + Bn + Cp = 0, а Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, то и t не существует, т.е. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Они параллельны.

2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. В этом случае t может принимать любые значения и , т.е. прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, т.е. она лежит в плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2·3t – 5 = 0 => -17=0, что невозможно ни при одном t, т.е. прямая и плоскость не пересекаются.

Пример 2. Найти точку пересечения прямой и плоскости: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Это верно при любом значении t, т.е. прямая лежит в плоскости.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точка пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол ц между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть заданы прямая и плоскость:

и .

Пусть прямая пересекает плоскость и образует с ней угол ц (). Тогда б = 90 0 – ц или б = 90 0 + ц – это угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Но . Значит

(3).

а) Если L P, то - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Если L||P, то - условие параллельности прямой и плоскости.

в) Если прямая L||P и при этом точка M0(x0, y0, z0) P, то прямая лежит в данной плоскости. Аналитически:

- условия принадлежности прямой и плоскости.

Пример. Дана прямая и точка М 0 (1, 0, –2). Через точку М 0 провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Уравнение искомой плоскости ищем в виде: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. В данном случая , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

Пучок плоскостей.

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

.

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0 .

Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0 .