Площадь треугольника по трём сторонам. Задача на нахождение стороны через площадь, сторону и угол треугольника
Чтобы определить площадь треугольника, можно пользоваться разными формулами. Из всех способов самый легкий и часто применяемый - это умножение высоты на длину основания с последующим делением полученного результата на два. Однако данный метод далеко не единственный. Ниже вы сможете прочесть, как найти площадь треугольника, используя разные формулы.
Отдельно мы рассмотрим способы вычисления площади специфических видов треугольника - прямоугольного, равнобедренного и равностороннего. Каждую формулу мы сопровождаем коротким пояснением, которое поможет вам понять ее суть.
Универсальные способы нахождения площади треугольника
В приведенных ниже формулах используются специальные обозначения. Мы расшифруем каждое из них:
- a, b, c – длины трех сторон рассматриваемой нами фигуры;
- r – радиус окружности, которая может быть вписана в наш треугольник;
- R – радиус той окружности, которая может быть описана вокруг него;
- α - величина угла, образованного сторонами b и с;
- β - величина угла между a и c;
- γ - величина угла, образованного сторонами а и b;
- h – высота нашего треугольника, опущенная из угла α на сторону а;
- p – половина суммы сторон a, b и с.
Логически понятно, почему можно находить площадь треугольника этим способом. Треугольник легко достраивается до параллелограмма, в котором одна сторона треугольника будет выполнять роль диагонали. Площадь параллелограмма находится умножением длины одной из его сторон на значение высоты, проведенной к ней. Диагональ разделяет этот условный параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Следовательно, совершенно очевидно, что площадь нашего исходного треугольника должна равняться половине площади этого вспомогательного параллелограмма.
S=½ a · b·sin γ
Согласно этой формуле, площадь треугольника находится умножением длин двух его сторон, то есть а и b, на синус образованного ими угла. Эта формула логически выводится из предыдущей. Если опустить высоту из угла β на сторону b, то, согласно свойствам прямоугольного треугольника, при умножении длины стороны a на синус угла γ получаем высоту треугольника, то есть h.
Площадь рассматриваемой фигуры находим путем умножения половины радиуса окружности, которую в него можно вписать, на его периметр. Иными словами, находим произведение полупериметра на радиус упомянутой окружности.
S= a · b · с/4R
Согласно данной формуле, необходимую нам величину можно найти путем деления произведения сторон фигуры на 4 радиуса окружности, вокруг нее описанной.
Эти формулы универсальны, так как дают возможность определить площадь любого треугольника (разностороннего, равнобедренного, равностороннего, прямоугольного). Можно это сделать и при помощи более сложных вычислений, на которых мы подробно останавливаться не станем.
Площади треугольников со специфическими свойствами
Как найти площадь прямоугольного треугольника? Особенностью этой фигуры является то, что две ее стороны одновременно являются ее высотами. Если а и b являются катетами, а с становится гипотенузой, то площадь находим так:
Как найти площадь равнобедренного треугольника? В нем две стороны с длиной а и одна сторона с длиной b. Следовательно, его площадь определить можно путем деления на 2 произведения квадрата стороны а на синус угла γ.
Как найти площадь равностороннего треугольника? В нем длина всех сторон равняется а, а величина всех углов - α. Его высота равна половине произведения длины стороны а на корень квадратный из 3. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно квадрат стороны а умножить на корень квадратный из 3 и разделить на 4.
Понятие площади
Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.
Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.
Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется
Тогда площадь треугольника равняется
Ответ: $15$.
Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.
Как найти площадь треугольника через высоту и основание
Теорема 1
Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.
Математически это выглядит следующим образом
$S=\frac{1}{2}αh$
где $a$ - длина стороны, $h$ - высота, проведенная к ней.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.
Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда
$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$
Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется
$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$
Теорема доказана.
Пример 2
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим
$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$
Ответ: $40,5$.
Формула Герона
Теорема 2
Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом
$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.
Доказательство.
Рассмотрим следующий рисунок:
По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим
Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Из этих двух соотношений получаем равенство
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$
$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$
$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$
$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$
Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит
$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$
$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$
$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$
$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
По теореме 1, получим
$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
Инструкция
Стороны
и углы считаются основными элементами а
. Треугольник полностью определяется любой из следующих своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника
, задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника
:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.
Для построения треугольника по трем сторонам a, b, c, необходимо из точки С отрезка СВ=a как из провести циркулем окружность радиусом b. Затем аналогичным образом провести из точки B окружность радиусом равным стороне c. Точка их пересечения A – третья вершина искомого треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b - стороны треугольника . Задача имеет , если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.
Площадь S, построенного таким образом треугольника
ABC с известными сторонами a, b, c, вычисляется по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где a, b, c – стороны треугольника
, p – полупериметр.
p = (a+b+c)/2
Если треугольник является равносторонним, то есть все его стороны равны (a=b=c).Площадь треугольника
вычисляется по формуле:
S=(a^2 v3)/4
Если треугольник является прямоугольным, то есть один из его углов равен 90°, а стороны, его образующие, катетами, третья сторона гипотенузой. В данном случае площадь
равняется произведению катетов, деленному на два.
S=ab/2
Чтобы найти площадь треугольника , можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.
Вам понадобится
- знание формул для нахождения площади треугольника
Инструкция
Если вы знаете величину одной из сторон и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей : S = a*h/2, где S - площадь треугольника, a - одна из сторон треугольника, а h - высота, к стороне a.
Существует известная для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину - полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c - . Тогда формула Герона следующим образом: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ возведение в степень.
Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β - угол, противолежащий стороне a, а α и γ - прилежащие к стороне углы.
Видео по теме
Обратите внимание
Самая общая формула, которая подходит для всех случаев - это формула Герона.
Источники:
Совет 3: Как найти по трем сторонам площадь треугольника
Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.
Вам понадобится
- длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов
Инструкция
Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
Можно вывести формулу для площади треугольника и из соображений, например, применив теорему косинусов.
По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти можно также в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.
Видео по теме
Для проведения ремонтных работ бывает необходимо измерить площадь стен. Так проще рассчитать необходимое количество краски или обоев. Для измерений лучше всего воспользоваться рулеткой или сантиметровой лентой. Замеры следует проводить уже после того, как стены были выровнены.
Вам понадобится
- -рулетка;
- -стремянка.
Инструкция
Чтобы посчитать площадь стен, вам необходимо знать точную высоту потолков, а также произвести замеры длины по полу. Делается это следующим образом: возьмите сантиметр, проложите его над плинтусом. Обычно сантиметра для всей длины не хватает, поэтому закрепите его в углу, затем размотайте на максимальную длину. В этой точке поставьте отметку карандашом, запишите полученный результат и дальнейшее измерение проводите тем же образом, начиная с последней точки замера.
Стандартная потолков в типовых - 2 метра 80 сантиметров, 3 метра и 3 метра 20 сантиметров, в зависимости от дома. Если дом был построен до 50-х годов, то, скорее всего, реальная высота несколько ниже указанной. Если вы вычисляете площадь для ремонтных работ, то небольшой запас не повредит - считайте, исходя из стандарта. Если все же необходимо знать реальную высоту - проведите замеры . Принцип аналогичен измерению длины, но потребуется стремянка.
Перемножьте полученные показатели - это и есть площадь вашей стены . Правда, при покрасочных работах или для необходимо вычесть площадь дверных и оконных проемов. Для этого проложите сантиметр вдоль проема. Если речь идет о двери, которую вы впоследствии собираетесь менять, то проводите со снятой дверной коробкой, учитывая только площадь непосредственно самого проема. Площадь окна высчитывается по периметру его рамы. После того, как площадь окна и дверного проема высчитана, вычтите результат из общей полученной площади комнаты.
Учтите, что замеры длины и ширины комнаты проводить вдвоем, так легче зафиксировать сантиметр или рулетку и, соответственно, получить более точный результат. Проводите один и тот же замер несколько раз, чтобы убедиться в точности полученных цифр.
Видео по теме
Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник - двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение - объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.
Вам понадобится
- лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор
Инструкция
Начертите на листе бумаги при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет , так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной "а", другая - стороной "b", и третья - стороной "c". Подпишите вершины треугольника буквами "А", "B" и "C".
Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр "h" восстановлен к стороне "c" из вершины "A". Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.
Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника "p", сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего : p(p-a)(p-b)(p-c).
Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема не . Вы можете найти объем , которая по сути треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.
Обратите внимание
Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения
Источники:
- Калькулятор “Все во все” - портал по справочным величинам
- объем треугольника в 2019
Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Начальный уровень
Площадь треугольника и четырехугольника. Примеры решения задач (2019)
Определение площади
Что такое площадь? Странный вопрос - не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?
Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:
Другими словами, площадь квадрата со стороной метр мы считаем одним «метром площади».
Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован - «метр квадратный»! И запомни обозначение.
А вот теперь хитрый вопрос: а что такое? Площадь квадрата со стороной? А вот и нет!
Смотри: квадрат со стороной.
А чтобы получить квадратных метра (то есть,), мы должны нарисовать, например так:
А как получить, скажем, ? Ну например так:
Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны метров и метров, то в этом прямоугольнике:
Поместится ровно квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть «слоев», в каждом из которых ровно квадратных метров.
Значит, всего в прямоугольнике размером x поместилось квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь .
А если фигура - вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?
Удивлю тебя - бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры - невозможно.
Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.
И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать,что площадь фигуры - это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.
И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много - математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.
Формулы площади
Квадрат
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Треугольник (произвольный)
Для треугольника есть сразу несколько формул площади.
Основная формула
Вторая основная формула
Третья формула
Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем , скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .
Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!
Произвольный четырехугольник
Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников - есть другие формулы.
Параллелограмм
Основная формула
Вторая формула
Ромб
У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:
Вторая формула
А дополнительной формулой становится
Трапеция
Основная формула
Вторая формула
«Хитрые вопросы о площади»
Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:
Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ - формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было, значит - площадь увеличилась в раз!
В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе.
Рисуем:
Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы - и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Прямоугольный треугольник
