По какой формуле находится работа силы тяжести. Механическая работа

На этом уроке мы рассмотрим различное движение тела под действием силы тяжести и научимся находить работу этой силы. Также введём понятие потенциальной энергии тела, узнаем, как связана эта энергия с работой силы тяжести, выведем формулу, по которой находится эта энергия. С помощью данной формулы решим задачу, взятую из сборника для подготовки к единому государственному экзамену.

На прошлых уроках мы изучили разновидности сил в природе. Для каждой силы необходимо правильно вычислять работу. Данный урок посвящён изучению работы силы тяжести.

При небольших расстояниях от поверхности Земли сила тяжести постоянна и по модулю равна , где m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Пусть тело массой m свободно падает с высоты над каким-либо уровнем, с которого ведётся отсчёт, до высоты над тем же уровнем (см. Рис. 1).

Рис. 1. Свободное падение тела с высоты до высоты

При этом модуль перемещения тела равен разности этих высот:

Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то работа силы тяжести равна:

Значение высот в этой формуле можно отсчитывать от любого уровня (уровень моря, уровень дна ямы, которая вырыта в земле, поверхность стола, поверхность пола и т. д.). В любом случае высоту данной поверхности выбирают равной нулю, поэтому уровень данной высоты называют нулевым уровнем .

Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести будет равна:

Если тело, брошенное вверх с нулевого уровня, достигает высоты hнад этим уровнем, то работа силы тяжести будет равна:

Пусть тело массой m движется по наклонной плоскости высотой h и при этом совершает перемещение , модуль которого равен длине наклонной плоскости (см. Рис. 2).

Рис. 2. Движение тела по наклонной плоскости

Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна:

где - угол между векторами силы тяжести и перемещения.

На рисунке 2 видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h - катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

Следовательно

Мы получили выражение для работы силы тяжести такое же, как в случае вертикального движения тела. Можно сделать вывод: если траектория тела не является прямолинейной и тело движется под действием силы тяжести, то работа силы тяжести определяется только изменением высоты тела над некоторым нулевым уровнем и не зависит от траектории движения тела.

Рис. 3. Движение тела по криволинейной траектории

Докажем предыдущее утверждение. Пусть тело движется по некоторой криволинейной траектории (см. Рис. 3). Эту траекторию мысленно разбиваем на ряд малых участков, каждый из которых можно считать маленькой наклонной плоскостью. Движение тела по всей траектории можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей. Работа силы тяжести на каждом из участков будет равна произведению силы тяжести на высоту данного участка. Если изменения высот на отдельных участках равны , то работы силы тяжести на них равны:

Полная работа на всей траектории равна сумме работ на отдельных участках:

- полная высота, которую преодолело тело,

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Что и требовалось доказать.

При движении вниз работа положительна, при движении вверх - отрицательна.

Пусть некоторое тело совершило движение по замкнутой траектории, то есть оно сначала спустилось вниз, а потом по какой-то другой траектории вернулось в исходную точку. Так как тело оказалось в той же самой точке, в которой оно было изначально, то разность высот между начальным и конечным положением тела равна нулю, поэтому и работа силы тяжести будет равна нулю. Следовательно, работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

В формуле для работы силы тяжести вынесем (-1) за скобку:

Из прошлых уроков известно, что работа сил, приложенных к телу, равна разности между конечным и начальным значением кинетической энергии тела. В полученной формуле также видна связь между работой силы тяжести и разностью между значениями некоторой физической величины, равной . Такая величина называется потенциальной энергией тела , которое находится на высоте h над некоторым нулевым уровнем.

Изменение потенциальной энергии отрицательно по величине, если совершается положительная работа силы тяжести (видно из формулы ). Если совершается отрицательная работа, то изменение потенциальной энергии будет положительным.

Если тело падает с высоты h на нулевой уровень, то работа силы тяжести будет равна значению потенциальной энергии тела, поднятого на высоту h .

Потенциальная энергия тела , поднятого на некоторую высоту над нулевым уровнем, равна работе, которую совершит сила тяжести при падении данного тела с данной высоты на нулевой уровень.

В отличие от кинетической энергии, которая зависит от скорости тела, потенциальная энергия может быть не равной нулю даже у покоящихся тел.

Рис. 4. Тело, находящееся ниже нулевого уровня

Если тело находится ниже нулевого уровня, то оно обладает отрицательной потенциальной энергией (см. Рис. 4). То есть знак и модуль потенциальной энергии зависят от выбора нулевого уровня. Работа, которая совершается при перемещении тела, от выбора нулевого уровня не зависит.

Термин «потенциальная энергия» применяется только по отношению к системе тел. Во всех вышеприведенных рассуждениях этой системой была «Земля - тело, поднятое над Землёй».

Однородный прямоугольный параллелепипед массой m с рёбрами располагают на горизонтальной плоскости на каждой из трёх граней поочерёдно. Какова потенциальная энергия параллелепипеда в каждом из этих положений?

Дано: m - масса параллелепипеда; - длина рёбер параллелепипеда.

Найти: ; ;

Решение

Если нужно определить потенциальную энергию тела конечных размеров, то можно считать, что вся масса такого тела сосредоточена в одной точке, которая называется центром масс данного тела.

В случае симметричных геометрических тел центр масс совпадает с геометрическим центром, то есть (для данной задачи) с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда. Таким образом, необходимо посчитать высоту, на которой расположена данная точка при различных расположениях параллелепипеда (см. Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Для того чтобы найти потенциальную энергию, необходимо полученные значения высоты умножить на массу параллелепипеда и ускорение свободного падения.

Ответ: ; ;

На данном уроке мы научились вычислять работу силы тяжести. При этом увидели, что, независимо от траектории движении тела, работа силы тяжести определяется разностью между высотами начального и конечного положения тела над некоторым нулевым уровнем. Также мы ввели понятие потенциальной энергии и показали, что работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятой с противоположным знаком. Какую работу надо совершить, чтобы переложить пакет с мукой массой 2 кг с полки, находящейся на высоте 0,5 м относительно пола, на стол, находящийся на высоте 0,75 м относительно пола? Чему равны относительно пола потенциальная энергия пакета с мукой, лежавшего на полке, и его потенциальная энергия тогда, когда он находится на столе?

«Физика - 10 класс»

Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз.

В начальный момент времени тело находилось на высоте hx над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высоте h 2 (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Δ| = h 1 - h 2 .

Направления векторов силы тяжести T и перемещения Δ совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем

А = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис. 5.9). Векторы Т и Δ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |Δ| = h 2 - h 1 . Работу силы тяжести запишем так:

А = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна:

А = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следовательно,

А = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.14)

Это выражение совпадает с выражением (5.12).

Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами h 1 и h 2 над поверхностью Земли.

Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 - h 2 . Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна:

А = mgh 1 - mgh 2 .

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории.

Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа А 1 силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD: А 1 = mg(h 2 - h 1), по траектории DEB: А 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогда суммарная работа А = А 1 + А 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Итак работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами .

Сила тяжести является консервативной силой.

Работа силы тяжести. Решение задач

Цель урока: определить формулу для работы силы тяжести; определить, что работы силы тяжести не зависит от траектории движения тела; развить практические навыки по решению задач.

Ход урока.

1.Организационный момент. Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, постановка цели урока.

2.Проверка домашней работы.

3.Изучение нового материала. На предыдущем уроке мы с вами определили формулу для определения работы. Какой формулой определяется работа постоянной силы? (А= FScosα )

Что такое А и S ?

Теперь же применим эту формулу для силы тяжести. Но для начала вспомним, чему равна сила тяжести? (F = mg )

Рассмотрим случай а) тело падает вертикально вниз. Как мы с вами знаем сила тяжести всегда направленно строго вниз. Для того чтобы определить направление S необходимо вспомнить определение. (Перемещение-это вектор соединяющий начальную и конечную точку. Направлен он от начала к концу)

Т.о. для определения , Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то α =0 и работа силы тяжести равна:

Рассмотрим случай б) тело двигается вертикально вверх. Т.к. направление силы тяжести и перемещении противоположны, то то α =0 и работа силы тяжести равна .

Т.о. образом если сравнить две формулы по модулю, то они будут одинаковы.

Рассмотрим случай в) тело движется по наклонной плоскости. Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна , где – угол между векторами силы тяжести и перемещения. На рисунке видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h – катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

.Следовательно

Т.о. какой можно сделать вывод? (что работа силы тяжести не зависит от траектории движения.)

Рассмотрим последний пример, когда траектория движения будет замкнутая линия. Кто скажет чему будет равна работа и почему? (А=0, т.к. перемещение равно 0)

Отметим!: работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

4. Закрепление материала.

Задача 1. Охотник стреляет со скалы под углом 40° к горизонту. За время падения пули работа силы тяжести составила 5 Дж. Если пуля вошла в землю на расстоянии 250 м от скалы, то какова её масса?

Задача 2. Находясь на Нептуне, тело совершило перемещение так, как показано на рисунке. При этом перемещении работа силы тяжести составила 840 Дж. Если масса данного тела равна 5 кг, то каково ускорение свободного падения на Нептуне?

5. Домашнее задание.

Рис. 1. Свободное падение тела с высоты до высоты

При этом модуль перемещения тела равен разности этих высот:

Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то работа силы тяжести равна:

Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести будет равна:

Рис. 2. Движение тела по наклонной плоскости

где - угол между векторами силы тяжести и перемещения.

Следовательно

Рис. 3. Движение тела по криволинейной траектории

Полная работа на всей траектории равна сумме работ на отдельных участках:

- полная высота, которую преодолело тело,

При движении вниз работа положительна, при движении вверх - отрицательна.

В формуле для работы силы тяжести вынесем (-1) за скобку:

Рис. 4. Тело, находящееся ниже нулевого уровня

Дано: m - масса параллелепипеда; - длина рёбер параллелепипеда.

Найти: ; ;

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ;

A тяж = mg(h н – h к) (14.19)

где h н и h к - начальная и конечная высоты (рис.14.7) материальной точки массой m, g - модуль ускорения свободного падения.

Работа силы тяжести A тяж определяется начальным и конечным положениями материальной точки и не зависит от траектории между ними.

Она может быть положительной, отрицательной и равной нулю:

а) A тяж > 0 - при спуске материальной точки,

б) A тяж < 0 - при подъеме материальной точки,

в) A тяж = 0 - при условии, что высота не изменяется, либо при замкнутой траектории материальной точки.

Работа силы трения при постоянных скорости м.т. (v = const ) и силы трения (F тр = const ) на промежутке времени t:

A тр = (F тр,v )t, (14.20)

Работа силы трения может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Например:

а
) работа силы трения, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска (рис.14.8), A тр.2,1 > 0, т.к. угол между силой, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска F тр.2,1 и скоростью v 2 нижнего бруска (относительно поверхности Земли) равен нулю;

б) A тр.1,2 < 0 - угол между силой трения F тр.1,2 и скоростью v 1 верхнего бруска равен 180 (см. рис.14.8);

в) А тр = 0 - например, брусок находится на вращающемся горизонтальном диске (относительно диска брусок неподвижен).

Работа силы трения зависит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

§15. Механическая энергия

Кинетическая энергия материальной точки K - СФВ, равная половине произведения массы м.т. на квадрат модуля ее скорости:

(15.1)

Кинетическая энергия, обусловленная движением тела, зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:

Единица кинетической энергии -джоуль: [К] = Дж.

Теорема о кинетической энергии - приращение кинетической энергии м.т. равно работе A р равнодействующей силы:

K = A р. (15.3)

Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ А i всех силF i (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:

(15.4)

Модуль скорости материальной точки: при A р > 0 - увеличивается; при A р < 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Кинетическая энергия системы материальных точек K с равна сумме кинетических энергий K i всех n м.т., принадлежащих данной системе:

(15.5)

где m i и v i - масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.

Приращение кинетической энергии системы м.т. K с равно сумме работ А рi всех n равнодействующих сил, приложенных к i-м материальным точкам системы:

(15.6)

Поле сил - область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил - поле, силы которого не изменяются с течением времени.

Однородное поле сил - поле, силы которого во всех его точках одинаковы.

Центральное поле сил - поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния до этого центра.

Неконсервативные силы (нкс.сл) - силы, работа которых зависит от траектории между начальным и конечным положениями тела.

Пример неконсервативных сил - силы трения. Работа сил трения по замкнутой траектории в общем случае не равна нулю.

Консервативные силы (кс.сл) - силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется потенциальным.

Пример консервативных сил - силы тяжести и упругости.

Потенциальная энергия П - СФВ, являющаяся функцией взаимного расположения частей системы (тела).

Единица потенциальной энергии -джоуль: [П] = Дж.

Теорема о потенциальной энергии

Убыль потенциальной энергии системы материальных точек равна работе консервативных сил:

–П с = П н – П к = A кс.сл (15.7)

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Потенциальная энергия материальной точки П в какой-либо точке силового поля - СФВ, равная работе консервативных сил при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:

П = A кс.сл. (15.8)

Потенциальная энергия упругодеформированной пружины

(15.9)

где х - смещение незакрепленного конца пружины; к - жесткость пружины, С - произвольная постоянная (выбирается из условия удобства решения задачи).

Графики П(х) при различных постоянных: а) С > 0, б) С = 0, в) С < 0  параболы (рис.15.1).

При условии П (0) = 0 постоянная С = 0 и

(15.10)