Построение параллельных прямых. Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки

В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:

1. Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
2. Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
3. Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

1. Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
2. Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
3. На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
4. С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Другие способы построения параллельных прямых

Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.

При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.

Известная с античных времён.

В задачах на построение возможны следующие операции:

• Выбрать произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
• С помощью циркуля провести окружность с центром в построенной точке с радиусом, равным расстоянию между двух построенных точек.
• С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

Простой пример

Задача. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружность с центром в точке A радиусом AB .
• Проводим окружность с центром в точке B радиусом AB .
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей.
• Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q .
• Находим точку пересечения AB и PQ . Это - искомая середина отрезка AB .

Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны способы построения правильных для n=2^k\,\! , 3\cdot 2^k , 5\cdot 2^k и 3\cdot5\cdot2^k .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

• - разбить произвольный угол на три равные части.
• - построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
• - построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Построения одним циркулем и одной линейкой

По теореме Мора-Маскерони (Mohr–Mascheroni theorem) с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.

Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения (см., например, в теории поверхностей ).

В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе-Штейнера (Poncelet-Steiner theorem), .

См.также

• - программа, позволяющая делать построения с помощью циркуля и линейки.

Литература

• А. Адлер. Теория геометрических построений, Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. Издание третье. Л., Учпедгиз, 1940 - 232 с.
• И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Издание восемнадцатое, М., Учпедгиз, 1950 - 176 с.
• Б. И. Аргунов, М Б Балк. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М., Учпедгиз, 1957 - 268 с.
• А. М. Воронец. Геометрия циркуля, Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л.А.Люстерника, М.- Л., ОНТИ, 1934 - 40 с.
• Ю. И. Манин, О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки, Энциклопедия элементарной математики книга четвёртая (геометрия) , М., Физматгиз, 1963. - 568с.
• Ю. Петерсен. Методы и теории решения геометрических задач на построение, Москва, типография Э.Лисснера и Ю.Романа, 1892 - VIII + 114с.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга, М.: Наука, 1992. 80 с. Серия Популярные лекции по математике, выпуск 62
• Я. Штейнер, Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга, М., Учпедгиз, 1939 - 80 с.

Данная статья написана по материалам одного из разделов книги Седжвика, Уэйна и Дондеро "Программирование на языке Python", уже упоминавшейся ранее . Называется этот раздел "Системы итерационных функций", и в нём описано построение различных изображений, таких как треугольник Серпиньского, папоротник Барнсли и некоторых других, с помощью достаточно несложного алгоритма, который, к тому же, ещё и с лёгкостью реализуется.

Начну я с описания данного алгоритма. Я буду использовать математическую терминологию, в том числе, и ту, которую авторы книги, в ходе своего повествования, не задействуют. Сугубо математический взгляд на алгоритмы облегчает мне их понимание, да и излагать их с помощью математического языка мне достаточно удобно.

Так что для понимания теоретической части статьи читателю пригодятся знания некоторых разделов математики, которые обычно читаются в технических вузах. А именно, нелишним будет знакомство с теорией вероятностей и элементами математического анализа.

За теоретической частью статьи будет следовать практическая, описывающая реализацию алгоритма на языке C99. Поскольку результатами работы программы будут являться изображения, мы будем использовать в программе графическую библиотеку pgraph , предполагая, что читатель, хотя бы в общих чертах, с ней знаком.

Итак, переходим к теоретической части нашего повествования.

Итерационные функции и случайные последовательности

Перед тем, как изложить схему, по которой будет вестись построение изображений, поговорим о последовательностях, члены которых вычисляются посредством рекуррентных формул.

Зададим 2 последовательности, x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞ , с помощью следующих рекуррентных формул:

X n = f x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

Поясним, что x 0 и y 0 - это некоторые заранее заданные числа, а f (x , y ) и g (x , y ) - это некоторые функции двух переменных, называемые итерационными . Сам процесс вычисления очередного члена той или иной последовательности через такие функции будем называть итерациями , а приведённый выше набор рекуррентных формул - итерационной схемой.

Рекурсивный способ задания последовательностей, скорее всего, хорошо знаком читателю, если он изучал математику в вузе. Несколько необычным может показаться "перекрёстный" способ вычисления членов последовательностей, при котором для вычисления n -го члена каждой из двух последовательностей нужен не только n − 1-й член той же последовательности, но и n − 1-й член другой.

А теперь рассмотрим схему построения членов двух последовательностей, использующую не одну пару итерационных функций, а m пар. Каждая из этих функций будет линейной по обеим переменным, а также будет содержать аддитивную константу. Более конкретно, функции будут иметь вид:

F k x , y = a k x + b k y + c k g k x , y = d k x + e k y + h k , k = 0 , 1 , … , m - 1 .

Для каждого n , начиная с 1, будет случайным образом выбираться число от 0 до m − 1, и при вычислении x n и y n в рекуррентных формулах будет использоваться пара итерационных функций, индексы которых равны данному случайному числу. Отметим, что случайные числа, "появляющиеся" перед каждой итерацией, не обязаны быть равновероятными. Однако для разных шагов вероятность появления конкретного фиксированного числа одна и та же.

Давайте теперь сформулируем сказанное на строгом математическом языке. Рассмотрим последовательность дискретных независимых в совокупности случайных величин T n = 1 ∞ , распределённых по одному и тому же закону. А именно: каждая случайная величина принимает значения 0, 1, …, m − 1 с соответствующими вероятностями p 0 , p 1 , …, p m -1 .

Теперь последовательности, x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞ зададим с помощью следующей итерационной схемы:

X n = f T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

Как и ранее, x 0 и y 0 - это некоторые заранее заданные числа.

Таким образом, каждая из последовательностей является случайной, т. е. её члены - это случайные величины. Однако, каждую из этих последовательностей можно "реализовать", т. е. вычислить все её члены (разумеется, таких реализаций будет бесконечно много).

Зададимся главным вопросом данного раздела. А какое же отношение изображения, которые мы собираемся строить, имеют к этой паре случайных последовательностей? Очень простое. Построим реализацию этих двух последовательностей. Для каждого натурального n пару (x n , y n ) можно рассматривать как координаты точки, заданной в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости. Так вот, изображение, соответствующее некоторой паре реализованных последовательностей, представляет собой геометрическое место всех таких точек на плоскости.

Казалось бы, для каждой реализации пары последовательностей мы будем получать своё изображение, отличное от других. Однако, как это ни парадоксально, получаемые изображения каждый раз будут практически совпадать (т. е. при построении на компьютере будут неразличимы человеческим глазом). А при соответствующем подборе итерационных функций и законов распределения случайных величин, участвующих в формировании членов последовательностей, можно создавать весьма интересные узоры.

Добавим, что при построении изображений на компьютере, мы, разумеется, будем выполнять лишь конечное (но достаточно большое) число итераций.

О генерации псевдослучайных чисел

При написании программы мы столкнёмся с необходимостью генерировать псевдослучайные числа, распределённые, вообще говоря, не равномерно, а по заранее заданному закону. В то же самое время, мы будем располагать лишь программным генератором псевдослучайных чисел, равномерно распределённых на промежутке . Как из второго распределения получить первое?

Переведём задачу в математическую плоскость. Пусть имеется непрерывная случайная величина U , распределённая равномерно на отрезке . Зададимся целью построить дискретную случайную величину T как функцию от U , таким образом, чтобы T принимала значения 0, 1, …, m − 1 с соответствующими вероятностями p 0 , p 1 , …, p m -1 .

Решить поставленную задачу весьма просто. Введём в рассмотрение суммы вероятностей

Если верхний предел суммирования по i меньше нижнего, то такую сумму по определению будем полагать равной 0.

Т выразим через U следующим образом:

T = 0 , если U ∈ s 0 , s 1 , 1 , если U ∈ s 1 , s 2 , 2 , если U ∈ s 2 , s 3 , … … … … … … , … … … … … … , m - 1 , если U ∈ s m - 1 , 1 .

Очевидно, случайная величина T распределена по требуемому нами закону. Заметим, что, по сути, Т - это номер промежутка, в который попадает случайная величина U (при условии, что промежутки мы нумеруем числами от 0 до m − 1 в порядке возрастания их левых границ).

С практической точки зрения полученный результат позволяет на каждом шаге итерации в качестве номера итерационных функций брать номер промежутка, в который попадает число, сгенерированное датчиком псевдослучайных чисел, равномерно распределённых на отрезке .

А теперь можно переходить к написанию программы.

Структура программы

Программа состоит из файла main.c и файлов, образующих графическую библиотеку pgraph. Содержимое файла main.c начинается со следующей директивы, подключающей графическую библиотеку:

Далее в файле содержатся описания глобальных константных переменных и константных массивов. За ними - определения функций get_random_value() и main() . Первая из них генерирует псевдослучайные числа, а вторая выполняет основную работу по построению изображений.

Глобальные константные переменные и константные массивы

Вся информация, необходимая для построения конкретного изображения, содержится в глобальных константных переменных и константных массивах. Разумеется, для каждого изображения набор значений констант и элементов константных массивов будет "свой".

Ниже приводятся описания данных констант и массивов.

• n - количество итераций;
• w - ширина изображения в пикселях;
• h - высота изображения в пикселях;
• xc - абсцисса начала новой системы координат в старой системе;
• yc - ордината начала новой системы координат в старой системе;
• l - длина в пикселях отрезка, параллельного одной из осей координат, имеющего в новой системе координат единичную длину;
• m - количество пар итерационных функций, т. е. число m ;
• s - одномерный массив размера m , содержащий суммы вероятностей случайных величин T n (k -й элемент массива содержит s k );
• f - двухмерный массив, состоящий из m f k (x , y k , 0), (k , 1), (k , 2) содержат числа a k , b k , c k соответственно, где 0 ≤ k ≤ m − 1);
• g - двухмерный массив, состоящий из m "строк" и 3-х "столбцов", содержащий константы, задействованные в функциях g k (x , y ) (элементы массива с индексами (k , 0), (k , 1), (k , 2) содержат числа d k , e k , h k соответственно, где 0 ≤ k ≤ m − 1).

Все переменные имеют тип int , а базовым типом всех массивов является double .

Поясним, что под "старой" системой координат подразумевается та, которая определена в библиотеке pgraph. Построения всех изображений будут вестись в новой системе, полученной из старой параллельным переносом (сдвиги по осям абсцисс и ординат равны соответственно x c и y c ) и "сжатием" в l раз. Таким образом, точка, имеющая в новой системе координаты (x , y ), в старой будет иметь координаты (x l + x c , y l + y c ). Излишне, думаю, пояснять, что за хранение чисел x c , y c и l ответственны константные переменные xc , yc и l соответственно.

Для хранения чисел x 0 и y 0 переменные не выделяются, поскольку во всех случаях построения изображений в качестве этих чисел берутся нули.

Генерация псевдослучайных чисел: функция get_random_value()

Функция get_random_value() при каждом обращении к ней генерирует псевдослучайное целое число в диапазоне от 0 до m − 1 в соответствии с описанной ранее схемой . Вот код этой функции:

Получаем с помощью стандартной библиотечной функции rand() псевдослучайное число в диапазоне от 0 до значения макроса RAND_MAX , делим полученный результат на это значение и присваиваем частное переменной r (стр. 3). Теперь в r хранится число, принадлежащее отрезку . Его приближённо можно считать значением случайной величины, равномерно распределённой на этом отрезке.

Поясним, что значение макроса RAND_MAX , в нашем случае (т. е. в случае использования компилятора MinGW64 версии 4.9.2 для 64-битных систем) равно 32767.

Теперь, с помощью линейного поиска, задействующего цикл while , ищем индекс наибольшего элемента массива s , не превосходящего значение r , увеличенный на единицу, и сохраняем его в переменной c (см. стр. 4-6). Отметим, что в случае, если значение r - нулевое, цикл не выполняется ни разу, а переменная с сохраняет единичное значение (см. стр. 4).

Значение, возвращаемое функцией, можно приближённо рассматривать как значение случайной величины T , описанной в упомянутом выше разделе.

Генерация изображения: функция main()

А вот и код функции main() :

Создаём изображение с заданными размерами (стр. 3). Выделяем память под переменные x и y , в которых будут храниться текущие члены последовательностей, и инициализируем их нулями (стр. 4). Напомню, что в качестве чисел x 0 и y 0 , участвующих в вычислении первых членов каждой из последовательностей, берутся нули.

Вычисляем в цикле for первые n членов каждой последовательности (стр. 5-13). Получаем сначала псевдослучайное число и записываем его в r (стр. 7). Далее вычисляем текущие значения членов обеих последовательностей, помещая их во временные переменные x1 и y1 (стр. 8, 9). При вычислении используем константы, фигурирующие в итерационных функциях и хранящиеся в массивах f и g . Выбор той или иной пары наборов коэффициентов (а значит, пары итерационных функций) зависит от значения r , использующегося в качестве первых индексов участвующих в вычислениях элементов массивов.

Переписываем вычисленные текущие значения в переменные x и y (стр. 10, 11). Координаты точки, содержащиеся в этих переменных, переводим в координаты исходной системы координат, округляем до целых и наносим точку с результирующими координатами на изображение чёрным цветом (стр. 12).

По завершении цикла сохраняем сформированное изображение в файле "out.bmp" (стр. 14) и освобождаем занимаемую изображением память (стр. 15). На этом работа функции завершается.

Построение изображения треугольника Серпиньского

Треугольник Серпиньского представляет собой множество точек, получаемого из всех точек некоторого исходного равностороннего треугольника следующим образом. Треугольник разбивается тремя средними линиями на 4 треугольника, после чего "центральный" треугольник удаляется. Далее c каждым из оставшихся трёх равносторонних треугольников выполняется та же операция. Наконец, то же самое мы делаем с получившимися девятью равносторонними треугольниками.

Продолжая описанные операции до бесконечности, удаляем, в итоге, из исходного треугольника бесконечное число равносторонних треугольников, сумма площадей которых равна площади исходного. Оставшиеся точки образуют линию, называемую треугольником Серпиньского , играющую важную роль в теории множеств.

В книге Седжвика и других авторов предлагается следующий способ построения изображения треугольника Серпиньского. Рассмотрим 3 точки на плоскости, являющиеся вершинами равностороннего треугольника, например, точки с координатами 0 , 0 , 0 , 1 , 1 / 2 , 3 / 2 в декартовой прямоугольной системе координат. Выбираем наугад (с равными вероятностями) одну из трёх вершин треугольника и строим точку, делящую отрезок, соединяющий вершину с координатами 0 , 0 и выбранную наугад вершину, пополам. Это первая точка нашего изображения.

Приведённый алгоритм можно уложить в описанную ранее схему построения изображений, задействующую случайные последовательности и итерационные функции.

Нам потребуются 3 пары итерационных функций. Их индексы 0, 1, 2 должны выбираться с вероятностями 1/3, 1/3, 1/3 соответственно. Сами итерационные функции приведены ниже.

F 0 x , y = 1 / 2 x , g 0 x , y = 1 / 2 y , f 1 x , y = 1 / 2 x + 1 / 2 , g 1 x , y = 1 / 2 y , f 2 x , y = 1 / 2 x + 1 / 4 , g 2 x , y = 1 / 2 y + 3 / 4 .

Теперь давайте вставим в нашу программу описания глобальных константных переменных и константных массивов, соответствующие данным вероятностям и данным итерационным функциям. Но для начала определим макрос TRIANGLE , поместив в файл main.с после инструкции #include следующую инструкцию

После инструкции вставляем в файл следующий код: