Построение сечения тетраэдра по двум точкам. Тема: Параллельность прямых и плоскостей
На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра
А,
B
,
C
,
D
- вершины тетраэдра
.
AB
,
AC
,
AD
,
BC
,
BD
,
CD
- ребра тетраэдра
.
ABC
,
ABD
,
BDC
,
ADC
- грани тетраэдра
.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение
:
Рассмотрим грань тетраэдра D
ВС
. В этой грани точки N
и P
принадлежат грани D
ВС
, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P
принадлежат секущей плоскости. Значит, NP
- это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D
ВС
и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP
и ВС
не параллельны. Они лежат в одной плоскости D
ВС.
Найдем точку пересечения прямых NP
и ВС
. Обозначим ее Е
(Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .
Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .
Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ
параллельна плоскости АВС
по условию, значит, эта плоскость φ
параллельна прямым АВ
, АС
, ВС
.
В плоскости АВ
D
через точку М
проведем прямую PQ
параллельно АВ
(рис. 5). Прямая PQ
лежит в плоскости АВ
D
. Аналогично в плоскости АС
D
через точку Р
проведем прямую РR
параллельно АС
. Получили точку R
. Две пересекающиеся прямые PQ
и РR
плоскости РQR
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ
и АС
плоскости АВС
, значит, плоскости АВС
и РQR
параллельны. РQR
- искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D
МN
. Пусть прямая D
М
пересекает прямую АВ в точке К
(Рис. 7.). Тогда, СК
D
- это сечение плоскости D
МN
и тетраэдра. В плоскости D
МN
лежит и прямая NM
, и полученная прямая СК
. Значит, если NM
не параллельна СК
, то они пересекутся в некоторой точке Р
. Точка Р
и будет искомая точка пересечения прямой NM
и плоскости АВС
.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN
не параллельна плоскости АВС
. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN
и плоскости АВС
. Это точка К
, она получена с помощью вспомогательной плоскости D
МN
, т.е. мы проводим D
М
и получаем точку F
. Проводим СF
и на пересечении MN
получаем точку К
.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР
. Прямая КР
лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС
. Получаем точки Р 1
и Р 2
. Соединяем Р 1
и М
и на продолжении получаем точку М 1
. Соединяем точку Р 2
и N
. В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1
. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN
параллельна плоскости АВС
. Плоскость МNР
проходит через прямую МN
параллельную плоскости АВС
и пересекает плоскость АВС
по некоторой прямой Р 1 Р 2
, тогда прямая Р 1 Р 2
параллельна данной прямой MN
(Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().
3. Фестиваль педагогических идей ().
Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью
.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Содержание: 1. Цели и задачи. 2. Введение. 3. Понятие секущей плоскости. 4. Определение сечения. 5. Правила построения сечений. 6. Виды сечений тетраэдра. 7. Виды сечений параллелепипеда. 8. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 9. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 10. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. 11. Второй вариант решения предыдущей задачи. 12. Задача на построение сечения параллелепипеда. 13. Задача на построение сечения параллелепипеда. 14. Пожелание учащимся. Цель работы: Развитие пространственных представлений у учащихся. Задачи: Познакомить с правилами построения сечений. Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники». Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Треугольники Четырехугольники Параллелепипед имеет 6 граней Треугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться: Четырехугольники Шестиугольники Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D M AA 1. Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC). N K BB C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. D F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какойпрямые точкой, лежащей в Какие можно Соедините получившиеся Какие сразу той жеточки граниможно можно продолжить, чтобы получить точки, лежащие в одной соединить? соединить полученную дополнительную точку? грани, назовите сечение. дополнительную точку? D иЕ АС ЕLFK FСЕК иточкой K, и FК F L C M A E K B Правила Второй способ Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О Способ №1. Способ №2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продолжим 4. В1О MN,ВА 5. В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Параллелепипед и тетраэдр, сечения Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I Вариант II 1. Какую поверхность мы называем тетраэдром? параллелепипедом? 2. Что такое грани, ребра, вершины параллелепипеда? тетраэдра? 3. Сформулируйте свойство параллелепипеда о диагоналях. о гранях. Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I 4. Какие ребра тетраэдра называются противоположными? Вариант II 4. Какие грани параллелепипеда называются смежными? 5. Начертите изображение параллелепипеда. тетраэдра. Перечислите все элементы, укажите их количество. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т.к. (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – сечение. Построение сечений тетраэдра Решим задачу D M B A C Решим задачу K M L A N Решим задачу D AC BD B A M C Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C Решим задачу D M B A K N C Решим задачу D M ABC K N ACD B N A M C Решим задачу D M ABC K N ACD N B A M C Домашнее задание повторить п. 1 – 14, подготовиться к зачету № 74, 75(б), 107, 79 Построение сечений параллелепипеда Решим задачу B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Решим задачу С1 B1 A1 D1 B A С D Решим задачу B1 A1 C1 D1 B A C D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 10 10 10 10 ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ И МНОГОЕ УВИДЕЛИ! ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА: ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.
В каждой из этих граней отмечаются вершины противоположные вершине A, это будут вершины B, C и D. Полученные отрезки AB, AC, AD, BC, DC и BD между как граней куба, поэтому ABCD является правильным тетраэдром.
Обратите внимание
Тетраэдр является одним из пяти возможных правильных многогранников. К правильным многогранникам относятся так же: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и гексаэдр или куб. Куб – простейший для построения многогранник, все остальные могут быть построены с его помощью.
Стереометрия, как часть геометрии, гораздо ярче и интереснее именно тем, что фигуры здесь не плоскостные, а объемные. В многочисленных задачах требуется рассчитать параметры параллелепипедов, конусов, пирамид и других трехмерных фигур. Иногда уже на этапе построения возникают сложности, которые легко устраняются, если следовать простым принципам стереометрии.
Вам понадобится
- - линейка;
- - карандаш;
- - циркуль;
- - транспортир.
Инструкция
Определитесь с количеством граней, а также количеством углов в многоугольниках самих граней перед . Если в условии говорится о правильном многограннике, то стройте его так, чтобы он был выпуклый (не ломанный), чтобы грани представляли собой правильные многоугольники, а в каждой вершине трехмерной фигуры сходилось одинаковое количество ребер.
Помните об особых многогранниках, для которых есть постоянные характеристики:
- тетраэдр состоит из треугольников, имеет 4 вершины, 6 ребер, сходящихся в вершинах по 3, а также 4 грани;
- гесаэдр, или куб, состоит из квадратов, имеет 8 вершин, 12 ребер, сходящихся по по 3 на вершинах, а также ;
- октаэдр состоит из треугольников, имеет 6 вершин, 12 ребер, примыкающих по 4 к вершинам, а также 8 граней;
- – это двенадцатигранная фигура, состоящая из пятиугольников, имеющая 20 вершин, а также 30 ребер, примыкающих к вершине по 3;
- , в свою очередь, имеет 20 треугольных граней, 30 ребер, примыкающих по 5 к каждой из 12 вершин.
Начните построение с , если ребра многогранника параллельны. Это касается параллелепипеда, . При этом будет удобнее начинать построение с рисования основания многогранника, а затем достраивать грани соответственно заданным углам относительно плоскости основания. Для куба и прямого параллелепипеда это будет прямой угол между плоскостью основания и боковых граней. Для наклонного параллелепипеда соблюдайте условия задачи, при необходимости используя транспортир. Помните, что плоскости верхней и нижней грани этой фигуры параллельны.
Постройте неправильный с учетом количества углов в каждой из граней, а также числа смежных . При построении многогранника не забывайте, что грани многогранных фигур не всегда равновеликие, с одинаковым количеством углов. Например, в основании может быть ромб, а боковые грани ее будут составлять с разной длиной ребер.
Видео по теме
Обратите внимание
Если в задаче просят изобразить тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, то сразу отмечайте, что речь идет об изначально правильном многограннике с соответствующим числом граней.
Полезный совет
Многогранник в общем смысле состоит из определенного количества плоских многоугольников. При этом обязательно соблюдаются следующие условия:
- смежность многоугольников, из которых состоит многогранник. Это означает, что сторона одного многоугольника одновременно является стороной и другого – смежного;
- все многоугольники непрерывно связаны между собой. Это так называемый принцип «связности».
Изготовить модель тетраэдра можно из самых разных материалов. Один из наиболее доступных вариантов - склеить его из бумаги. При этом клей требуется не всегда, поскольку самоклеющаяся бумага тоже подходит для таких целей.
Вам понадобится
- - бумага для построения развертки;
- - бумага для модели;
- - линейка;
- - карандаш;
- - транспортир;
- - ножницы;
- - компьютер с AutoCAD.
Инструкция
Начните с построения развертки. Если вы собираетесь клеить тетраэдр из обычной плотной бумаги, развертку можно сделать прямо на ней. Для самоклеющейся бумаги лучше начертите выкройку, как это выполняется в классическом моделировании. Можно использовать и компьютер с AutoCAD или любым другим графическим редактором, позволяющим строить правильные многоугольники.
