Презентация построение прямоугольного треугольника по элементам. Построение треугольника по трем элементам презентация к уроку по геометрии (7 класс) на тему

Задача 1 : на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Решение.
Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ.
Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D.
Отрезок OD – искомый.

Задача 2: отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение.
Изобразим фигуры, данные в условии: угол с вершиной А и луч ОМ.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность с центром D, радиус, которой равен ВС. Окружности пересекаются в
двух точках. Одну обозначим
буквой Е. Получим угол МОЕ

Решение:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение:
Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.
Даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 угол hк.
Р1 Q1
Р2 Q2 h

Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р1Q1
и Р2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hк.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1
Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hк. (как это сделать, мы знаем).
На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2, и проведем отрезок ВС.
В самом деле, по построению АВ= Р1Q1, АС= Р2Q2, А=hк.

Построенный треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению АВ= Р1Q1, АС= Р2Q2,
А=hк.

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р1Q1, Р2Q2 и данном неразвернутом угле hк искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 2

Построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к ней углам.
Р1 Q1

как выполнялось построение?
всегда ли задача имеет решение?

Задача 3

Построить треугольник по трем его сторонам.
Решение.
Пусть даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 и Р3Q3. Требуется построить треугольник АВС, в котором
Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1 . Затем построим две окружности: одну - с центром А и радиусом Р2Q2.,

а другую - с центром В и радиусом Р3Q3 .
Пусть точка С - одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.
Р1 Q1
Р2 Q2
Р3 Q3

A B а
Построение треугольника по трем сторонам.

Построенный треугольник АВС, в котором
АВ = Р1Q1, AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 .

В самом деле, по построению АВ = Р1Q1,
AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 , т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.
Задача 3 не всегда имеет решение.
Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Итог урока.

Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Она состоит из частей:
1. Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.
2. Выполнение построения по намеченному плану.
3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
4. Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений .

№286

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Решение .
Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС, равна данному отрезку P1Q1, угол А равен данному
углу hк, а биссектриса АD этого треугольника равна данному
отрезку P2Q2.
Даны отрезки P1 Q1 и P2Q2 и угол hк (рисунок а).
P1 Q1 P2 Q2
рисунок а

Построение (рисунок б).

Построение (рисунок б).
1) Построим угол ХАУ, равный данному углу hк.
2)На луче АУ отложим отрезок АС, равный данному отрезку P1Q1.
3)Построим биссектрису АF угла ХАУ.
4) На луче АF отложим отрезок АD, равный данному отрезку Р2Q2
5) Искомая вершина В - точка пересечения луча АХ с прямой СD. Построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: АС=Р1Q1,
А = hк, АD = Р2Q2 , где АD - биссектриса треугольника АВС.

рисунок б

Вывод : построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи:
AC= P1 Q1 ; A=hk, AD= P2Q2 ,
где AD - биссектриса треугольника АВС

Дано: 1. отрезки P 1 Q 1 и P 2 Q угол hk Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2 h k

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку P 1 Q Построим угол ВАМ,равный данному углу hk. 4. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку P 2 Q Проведём отрезок BC. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение АВ С М а

Дано: 1. отрезки P 1 Q угол hk и mn Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1P1 Q1Q1 h k m n

Алгоритм построения 1. Проведем луч АК с началом в точке А. 2. Отложим от начала луча с помощью циркуля угол С 1 АВ, равный углу hk. 3. От начала луча отложим отрезок АВ, равный отрезку P 1 Q Построим угол АВС 2, равный углу mn. 5. Точку пересечения лучей АС 1 и ВС 2 обозначим точкой С. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение С1С1 С2С2 С АВК

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку Р 1 Q Построим окружность с центром А и радиусом Р 3 Q Построим окружность с центром В и радиусом Р 2 Q Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим точкой С. 6. Проведём отрезки АС и ВС. 7. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение а АВ С

Слайд 2

Построение треугольника по трем элементам

1 вариант - построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 2 вариант - построение треугольника по двум углам и стороне между ними. 3 вариант -построение треугольника по трем сторонам.

Слайд 3

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Слайд 4

Дано: 1. отрезки P1Q1 и P2Q2. 2. угол hk Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1 P2 Q1 Q2 h k

Слайд 5

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. 3. Построим угол ВАМ,равный данному углуhk. 4. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2. 5. Проведём отрезок BC. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение А В С М а

Слайд 6

Построение треугольника по двум углам и стороне между ними.

Слайд 7

Дано: 1. отрезки P1Q1. 2. угол hk и mn Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1 Q1 h k m n

Слайд 8

Алгоритм построения 1. Проведем луч АК с началом в точке А. 2. Отложим от начала луча с помощью циркуля угол С1АВ, равный углу hk. 3. От начала луча отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. 4. Построим угол АВС2, равный углу mn. 5. Точку пересечения лучей АС1 и ВС2 обозначим точкой С. 6. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение С1 С2 С А В К

Слайд 9

Построение треугольника по трем сторонам.

Слайд 10

Дано: Отрезки: P1Q1, P2Q1, P1Q1 Надо: с помощью циркуля и линейки без масштабных делений построить треугольник. P1 Q1 P2 Q2 P3 Q3

Слайд 11

Алгоритм построения 1. Проведем прямую а. 2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1. 3. Построим окружность с центром А и радиусом Р3Q3. 4. Построим окружность с центром В и радиусом Р2Q2. 5. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим точкой С. 6. Проведём отрезки АС и ВС. 7. Построенный треугольник АВС – искомый. Построение а А В С

Посмотреть все слайды

На сегодняшнем уроке мы более подробно познакомимся с задачами на построение. Построение треугольника по трём элементам и задачи на построение в целом - это объёмный класс. С простейшими из них мы сталкивались при работе с теоремами, а теперь стоит применить все наработанные теоретические знания на решение типичных задач.

слайды 1-2 (Тема презентации "Построение треугольника по трём элементам", пример)

Итак, в условие нашей задаче есть три элемента: две стороны и угол между этими сторонами. Мы знаем признак равенства треугольника по двум сторонам и углу. Значит, когда две стороны и угол одного треугольника соответственно идентичны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равные. То есть, может быть бесчисленное множество таких треугольников на доске в разных углах, но по факту это будет один и тот же треугольник. Таким образом, две стороны и угол однозначно задают треугольник, который в конечном итоге можно перемещать по плоскости. Так вот такой треугольник нам и нужно построить.

Нарисуем треугольник «АВС», который нам нужно будет построить. Используем достаточно стандартные обозначения.

Получается, нам дан некоторый отрезок «P1Q1». Второй отрезок «P2Q2», оба отрезка являются искомыми треугольника. Также дан угол «hk». Величина угла задана, но не определена. Однако мы помним, что она не может быть выше ста восьмидесяти градусов.

Возьмём прямую и на ней отложим отрезок «P2Q2», длину которого мы можем измерить с помощью циркуля. Мы знаем, что на прямой мы можем отложить отрезок от заданной точки, зная его длину. Что мы, собственно и делаем. Далее от заданного луча измеряем заданный угол и из нашей точки продолжаем луч под определённым углом. Угол можно измерять с помощью транспортира. На новом луче откладываем отрезок «P1Q1». Конечные точки на лучах необходимо соединить, и получим треугольник. Является ли треугольник искомым? Да, потому что использованы все необходимые данные.

слайды 3-4 (примеры)

Эта задача также соответствует признаку равенства треугольников, который говорит о том, что треугольники равны, если сторона и два прилежащих к ней угла идентичны. Конкретно данная задача заключается в следующем. Также нарисуем треугольник, который нам следует построить и обозначим его «АВС». Нам дан отрезок, длиною «MN», угол «бета» и «альфа».

На произвольной прямой откладываем точку «А». От данной точки откладываем необходимый отрезок, предварительно измерив его длину циркулем. Далее из точки «А» откладываем угол «альфа», а из вершины «В» откладываем необходимый угол «бета». Точка пересечения тих лучей будет являться третей вершиной заданного треугольника. Утверждаем, что треугольник «АВС» искомый. Почему? Потому что сторона «АВ» равна исходной стороне «MN», а заданные углы мы находим при основании полученной фигуры. Строить треугольники можно в разных плоскостях, они в любом случае будут искомыми.

Для закрепления третий пример необходимо дать учащимся на самостоятельный разбор, который потом проанализирует преподавать вместе с одним из учащихся. Изначально даны некоторые отрезки длиной «P1Q1», «P2Q2», «P3Q3». Мы видим, что отрезки различной длины, то есть никакие из них не равны, поэтому у нас получится произвольный треугольник. Для решения задачи вновь понадобиться линейка и циркуль.

Построим некоторую прямую «а», на которой поставим точку «В». От этой точки отложим отрезок длиною «P1Q1», так как он самый большой. Далее циркулем измеряем отрезок «P3Q3» и рисуем окружность с центром в точке «В». После этого повторяем действие, но уже в точке «А» рисуем окружность с радиусом «P2Q2». На точке пересечения окружностей находится третья вершина нашего треугольника. Этих точек будет две, но не важно, в какой плоскости вы нарисуете треугольник, потому что в любом случае он будет искомым.