Производная и первообразная функция. Производная и первообразная показательной функции
График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.
Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.
В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.
Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.
Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:
e = 2,7182818284…
Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).
Производная показательной функции
Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .
Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Пример: найти производную функции y = 2 x .
По формуле производной показательной функции получаем:
(2 x)’ = (2 x)*ln(2).
Ответ: (2 x)*ln(2).
Первообразная показательной функции
Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.
Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.
Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Решение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
\(\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\)\(\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\)
СодержаниеЭлементы содержания
Производная, касательная, первообразная, графики функций и производных.
Производная Пусть функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\).
Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел
\(f"(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\)
если этот предел существует.
Производная функции в точке характеризует скорость изменения этой функции в данной точке.
| Функция | Производная |
| \(const\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^{n-1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln{a}\) |
| \(\ln{x}\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\log_a{x}\) | \(\dfrac{1}{x\ln{a}}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2x}\) |
Правила дифференцирования \(f\) и \(g\) - функции, зависящие от переменной \(x\); \(c\) - число.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac{f}{g}\right)"=\dfrac{f"g-g"f}{g^2}\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - производная сложной функции
Геометрический смысл производной Уравнение прямой - не параллельной оси \(Oy\) можно записать в виде \(y=kx+b\). Коэффициент \(k\) в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой . Он равен тангенсу угла наклона этой прямой.
Угол наклона прямой - угол между положительным направлением оси \(Ox\) и данной прямой, отсчитываемый в направлении положительных углов (то есть, в направлении наименьшего поворота от оси \(Ox\) к оси \(Oy\)).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)
Если \(f"(x_0)=0\), то касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) параллельна оси \(Ox\).
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Монотонность функции Если производная функции положительна во всех точках промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.
Если производная функции отрицательна во всех точках промежутка, то функция убывает на этом промежутке.
Точки минимума, максимума и перегиба положительного на отрицательное в этой точке, то \(x_0\) - точка максимума функции \(f\).
Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0\), а значение производной этой функции \(f"\) меняется с отрицательного на положительное в этой точке, то \(x_0\) - точка минимума функции \(f\).
Точки, в которых производная \(f"\) равна нулю или не существует называются критическими точками функции \(f\).
Внутренние точки области определения функции \(f(x)\), в которых \(f"(x)=0\) могут быть точками минимума, максимума или перегиба.
Физический смысл производной Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону \(x=x(t)\), то скорость этой точки равна производной координаты по времени:
Ускорение материальной точки в равно производной скорости этой точки по времени:
\(a(t)=v"(t).\)
