Распределение пуассона график. Распределение пуассона

$Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$=$\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 г.)

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$- число испытаний Бернулли, $р$- вероятность осуществления события в одном испытании.

Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.

Теорема 1

Теорема Пуассона.

Если в схеме Бернулли n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так что $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (конечному числу), то

$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $

Без доказательства.

Примечание 1

Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$, причём $n \cdot p $

Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$:

$М(Х)$=$\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.

Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .

Применение формулы Пуассона при решении задач

Пример 1

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна $0,002$. Найти вероятность того, что в партии из $1500$ изделий будет не более 3-х бракованных. Найти среднее число бракованных изделий.

• Пусть $А$-число бракованных изделий в партии из $1500$ изделий. Тогда искомая вероятность, это вероятность того, что $А$ $\leq$ $3$. В данной задаче мы имеем схему Бернулли с $n=1500$ и $р=0,002$. Для применения теоремы Пуассона положим $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Тогда искомая вероятность

• Среднее число бракованных изделий $М(А)$=$\lambda$=3.

Пример 2

Коммутатор учреждения обслуживает $100$ абонентов. Вероятность того, что в течение $1$ минуты абонент позвонит, равна $0,01$. Найти вероятность того, что в течение $1$ минуты никто не позвонит.

Пусть $А$- число позвонивших на коммутатор в течение $1$ минуты. Тогда искомая вероятность -- это вероятность того, что $А=0$. В данной задаче применима схема Бернулли с $n=100$, $p=0,01$. Для использования теоремы Пуассона положим

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.

Тогда искомая вероятность

$Р = е^-1$ $\approx0,37$.

Пример 3

Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено

1. ровно три изделия;
2. менее трех изделий.

Рассмотрев замечание к формуле Пуассона, поскольку вероятность $р=0,002$ повреждения изделия мала, а число изделий $n=500$ велико, и $a=n\cdot p=1

Для решения второй задачи применима формула, где $k1=0$ и $k2=2$. Имеем:

Пример 4

Учебник издан тиражом $100000$ экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна $0,0001$. Какова вероятность того, что тираж содержит $5$ бракованных книг?

По условию задачи $n = 100000$, $p = 0,0001$.

События "из $n$ книг ровно $m$ книг сброшюрованы неправильно", где $m = 0,1,2, \dots ,100000$, являются независимыми. Так как число $n$ велико, а вероятность $p$ мала, вероятность $P_n (m)$ можно вычислить по формуле Пуассона: $P_n$(m)$\approx \frac{{\lambda }^m\cdot e^{-\lambda }}{m!}$ , где $\lambda = np$.

В рассматриваемой задаче

$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.

Поэтому искомая вероятность $P_{100000}$(5) определяется равенством:

$P_{100000}$ (5)$\approx \frac{e^{-10}\cdot {10}^5}{5!}\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.

Ответ: $0,0375$.

Пример 5

Завод отправил на базу $5000$ доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно $0,0002$. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

По условию $n=5000$; $р = 0,0002$; $k = 3$. Найдем $\lambda $:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.

Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:

Пример 6

Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.

Рассматрев условие задачи видим, что:

Найдем $\lambda $ для формуллы Пуассона:

\[\lambda =np=200\cdot 0,01=2.\]

Подставим значения в формулу Пуассона и получим значение:

Пример 7

На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 2-х студентов?

Имеем $n=500$; $p=1/365 \approx 0,0027$, $q=0,9973$. Поскольку количество испытаний велико, а вероятность выполнения очень мала и $npq=1,35 \

Введение

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.

История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.

Среди них нельзя не обратить внимание на труды Симеона Дени Пуассона ((1781–1840) – французский математик), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее. А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г.).

Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p

Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.

Распределение Пуассона в теории вероятностей

Функция и ряд распределения

Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p – параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P m = C n m · p m · (1 – p ) n – m

может быть написан, если положить p = a /n , в виде

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m , малые по сравнению с n . Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

очень близка к e –a . Отсюда получаем формулу:

Для производящей функции

Интегральная функция вероятности распределения равна

Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен. Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а .

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Р m равна единице.

Используем разложение функции е х в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х , поэтому, взяв х=а , получим

следовательно

Числовые характеристики положения о распределении Пуассона

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m =0 ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m =1 :

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х .

Кроме математического ожидания, положение случайной величины характеризуется модой и медианой.

Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение.

Для непрерывной величины модой называется точкой локального максимума функции плотности распределения вероятностей. Если многоугольник или кривая распределения имеют один максимум (рис. 2 а), то распределение называется унимодальным, при наличии более одного максимума – мультимодальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным). Распределение, имеющее минимум, называется антимодальным (рис. 2 б)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Наивероятнейшим значением случайной величины называется мода, доставляющая глобальный максимум вероятности для дискретной случайной величины или плотности распределения для непрерывной случайной величины.

Медиана – это такое значение х l , которое делит площадь под графиком плотности вероятности пополам, т.е. медиана является любым корнем уравнения. Математическое ожидание может не существовать, а медиана существует всегда и может быть неоднозначно определенной.

Медианой случайной величины

Числовые характеристики разброса

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

В случае, когда n велико, а λ = p·n > 10 формула Пуассона дает очень грубое приближение и для расчета P n (m) используют локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа .

Числовые характеристики случайной величины Х

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание : M[X] = λ = 2
Дисперсия : D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P 200 (1).
Получаем: . Тогда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имеем: a = 1.

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P 200 (k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p - достаточно малым; положим np = a, где a - некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 < 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание : поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ(лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

• число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
• число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
• число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

• события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
• средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
• два события не могут произойти одновременно;
• число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что приблизительно равно (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

• число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
• число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
• число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: и .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название - POISSON.DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), но и (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы . Формулы =ПУАССОН.РАСП(2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП(2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

При значениях λ>15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ , σ 2 =λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .

Распределение Пуассона - случай биномиального распределения , когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона :

,

где m число наступления события A ;

Среднее значение распределения Пуассона;

e =2,7183 - основание натурального логарифма.

Закон Пуассона зависит от одного параметра - λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.

Условия возникновения распределения Пуассона

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения , когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком) . Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

• стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
• ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
• отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• x - число событий m ;
• среднее;
• интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P (m ) и 1 - если вероятность F (m ).

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, ... вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины - 0):

P (6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины - 1):

P (≤6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.