Реферат: Логика и язык. Взаимосвязь логики и языка

В результате освоения данной темы студент должен:

знать

– характерные черты естественного и искусственного языка,
– функции языка;

уметь

– определять знаки-символы, знаки-индексы, знаки-образы,
– различать смысл и значение знака,
– оперировать логическими символами;

владеть

– навыками оперирования языками логики высказываний и логики предикатов.

Язык как знаковая система

Логика, представляя собой нормативную науку о формах и приемах познавательной интеллектуальной деятельности, является также наукой о языке, поскольку она изучает способы выражения мыслей в естественных языках и создает особые формализованные языки, позволяющие более точно, чем естественные, представлять логические формы мыслей.

В целях овладения логико-языковым анализом необходимо иметь четкое представление о структуре и функциях языка, соотношении логических и грамматических категорий, а также принципах построения особого языка логики.

Язык – это система знаков, служащих для хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.

Язык имеет множество аспектов и изучается лингвистикой, логикой, семиотикой и другими науками. Собственно, как система знаков, язык является предметом семиотики – общей теории знаковых систем. С точки зрения семиотики, в языке выделяют три аспекта:

– синтаксический – подразумевает, какие виды знаков используются в языке, как они могут сочетаться и как соотносятся между собой;
– семантический – его составляют отношения между знаком и его значением, т.е. к объектам внеязыковой действительности, которые они обозначают. Например, слово "экономист" обозначает представителя определенной профессии; слово "справедливый" указывает на некоторое свойство объекта, а слова "южнее", "лучше" – на определенные отношения в действительности;
– прагматический – касается отношения между знаками и теми, кто их использует, между языком и его носителем, пользователем. Например, одно и то же выражение языка в зависимости от ситуации, например от интонации, может иметь различные смысловые оттенки.

Соответственно этому, семиотика включает три раздела: синтаксис, семантику и прагматику.

Главным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки.

Знак – это любой чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, замещающий другой, отличный от него, объект.

Другими словами, чтобы предмет стал знаком, необходимо, чтобы он заменял, замещал другой, отличный от него объект.

К основным функциям знаков относятся:

1) выделение объектов, на которые направлен познавательный процесс;
2) мысленное оперирование с ними.

В силу высказанного знак должен быть, во-первых, чувственно воспринимаемым, и во-вторых, связан естественным образом или по соглашению с обозначаемым.

Как правило, знаки имеют предметное и смысловое значение. Предмет, обозначаемый знаком, называется предметным значением или денотатом знака.

Каждый знак указывает на свое значение каким-то особым способом, связывается с ним посредством определенной информации об обозначаемом, которая либо содержится в материальной природе знака, либо приписывается знаку.

Например, отпечатки следов на песке является знаком того, что здесь шел или стоял человек, животное, машина и т.п., и, следовательно, несет определенную информацию, а третий звонок в театре – знак того, что начинается спектакль или иное театральное действие.

смысловым значением знака, т.е. это такая характеристика обозначаемого им объекта, которая позволяет однозначно мысленно выделить его из множества других объектов.

Предметное значение часто называют просто значением, а смысловое значение – смыслом. В итоге мы получаем следующую схему (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Эта теория знаков называется трехплоскостной семантикой.

Говоря о смысле знака, необходимо отметить, что для одного и того же предмета (класса предметов) могут иметь место различные выделяющие характеристики, т.е. два различных выражения могут иметь разные смыслы, но одно и то же предметное значение. Например, "МГУ им. М. В. Ломоносова" и "Университет, находящийся на Воробьевых горах". Такие знаки называются равнозначными.

Смыслы могут быть собственными и приданными. Смысл знака называется собственным , если характеристика обозначаемого объекта выражена в самой структуре знака. Например, "Народный артист России" – это выражение имеет собственный смысл, поскольку оно обозначает любого человека, удостоенного этого высшего звания, указывая на него посредством информации, заложенной в самом выражении.

Смысл знака называется приданным , если его характеристика принята по соглашению в некотором сообществе. Например, слово "кислород", обозначая один определенный газ, может иметь разные смыслы: газ, образующий в соединении с водородом воду, или химический элемент с атомным весом 16, или какие-то еще другие смыслы.

Придание смысла некоторому языковому выражению в логике совершается с помощью особой логической операции, называемой определением.

К основным характеристикам языка зачастую относят также и смысловое содержание – некоторую совокупность значений, не имеющей никакой определенной логической структуры и являющуюся сугубо индивидуальной для каждого человека, т.е. его собственное понимание того или иного знака. Например, понятия "игра", "болезнь", "дурь" и т.п. Однако это не означает, что эти знаки являются бессмысленными. В этих случаях связь знака с объектом устанавливается стихийно в процессе формирования языка.

Чтобы предмет стал знаком, необходимо, чтобы он заменял, замещал другой, отличный от него, объект. Все многообразие знаков, в зависимости от характера их отношения к обозначаемым объектам, можно разбить на определенные типы.

1. Знаки-индексы – это знаки, которые соотносятся с представляемыми ими объектами как следствие с причинами. Например, дым над лесом говорит о наличии там огня, а изменение ртутного столба – об изменении высоты атмосферного давления.
2. Знаки-образы – это те знаки, которые сами по себе несут информацию о представленных ими объектах, поскольку они находятся в отношении подобия с обозначаемыми объектами. Например, фотографии, отпечатки пальцев и т.п.
3. Знаки-символы – некоторые чувственные образы, используемые для представления отвлеченного содержания. Например, чайка – символ Московского Художественного театра, Московский Кремль – символ России. Эти знаки не соотносимы и не сходны с представляемыми ими объектами.

Логика исследует знаки последнего вида.

Как правило, знаки имеют предметное и смысловое значение.

Предмет, обозначаемый знаком, называется предметным значением, или денотатом знака.

Выражаемая знаком характеристика объекта (информация об этом объекте) называется смысловым значением знака.

Предметное значение часто называют просто значением, а смысловое значение – смыслом.

Предметом изучения логики служат знаки-символы, наиболее существенное значение среди которых имеют имена.

Имя – это слово или словосочетание, являющееся знаком предмета. Слово "предмет" здесь используется в широком смысле – как предмет познания. По существу, предметом мысли является все то, что означено именем (отдельные вещи, их свойства и отношения, процессы, явления, события, классы предметов и т.п.). Поскольку имя является знаком, оно имеет значение или смысл (или то и другое).

Значение имени – это предмет или класс предметов, обозначаемый этим именем.

Смысл – это информация о предметах, обозначаемых именем, которая позволяет отличать их от других предметов.

В зависимости от того, содержится ли эта информация в самом имени или нет, имена делятся на имеющие собственный смысл и имена с приданным смыслом. Имена, имеющие собственный смысл, по форме являются описательными. Например: учащийся вуза, самый большой город России. Их смысл определяется как смыслом имен, их составляющих, так и отношениями между значением этих имен. Имена с приданным смыслом являются неописательными, поэтому смысл им придается извне, путем постановки в соответствие этим именам других имен. Например: студент, город и т.п.

По значению имена могут быть пустыми и непустыми.

Пустыми называют имена, которые не обозначают ни одного предмета, существующего в универсуме рассуждения. Например: деревянное железо, круглый квадрат, вечный двигатель.

Непустыми называют имена, которые обозначают предметы, которые реально существуют или существовали в универсуме рассуждения. Например: Луна, Аристотель, столица государства.

Непустые имена бывают единичными и общими.

Единичным называют имя, обозначающее один предмет. Например: МГУ им. М. В. Ломоносова, столица России.

Общим называется имя, обозначающее целое множество объектов. Например: государство, академия. Общие имена могут быть универсальными.

Универсальными называют имена, объемом которых – весь универсум рассуждения (вся область предметов, о которых ведется рассуждение). Например: "Человек, знающий некоторые иностранные языки или не знающий ни одного иностранного языка". Универсум рассуждения здесь – множество всех людей.

Введение

1. Логика и язык

Заключение

Словарь терминов

Список используемой литературы

Введение

Язык, как известно, представляет собой средство коммуникации, общения между людьми, с помощью которого они обмениваются друг с другом мыслями, той или иной информацией. Мысль находит свое выражение именно в языке, без такого выражения мысли одного человека оказываются недоступными другому.

Главная цель логики состоит в том, чтобы найти правила и принципы обоснованных рассуждений. В доказательных рассуждениях мы опираемся на правила дедуктивных умозаключений, которые при истинных посылках гарантируют получение достоверно истинных заключений. В правдоподобных рассуждениях мы стремимся с помощью соответствующих аргументов (доводов) подтвердить и обосновать свои заключения. Оперируя понятиями и суждениями, мы абстрагируемся в логике от целого ряда условий и обстоятельств, поскольку нашей задачей является сохранение, передача и преобразование истины. По сути дела основная задача логики состоит в том, чтобы сформулировать правила преобразования информации, т.е. из имеющейся информации получить новую информацию. Именно для этой цели и предназначены рассуждения, или умозаключения, содержащие в своем составе различные посылки, состоящие из суждений, которые в свою очередь состоят из понятий.

1. Логика и язык.

Для выражения всех элементов рассуждения служат различные средства языка. Понятия выражаютсяпосредством отдельных слов или словосочетаний, суждения и умозаключения - с помощью простых или сложных предложений. Поэтому логический анализ рассуждений тесно связан с анализом языка, хотя отнюдь не сводится к последнему. Действительно, при логическом анализе суждений мы интересуемся его логической структурой, а не грамматической формой. Поэтому выделяем в суждении те элементы, которые имеют существенное значение для его характеристики с точки зрения истинности и ложности. В строгом смысле слова только суждения могут рассматриваться как истинные или ложные, ибо именно они могут верно или неверно, адекватно или неадекватно относиться к действительности. Предложения же хотя и используются для выражения суждений, сами по себе не могут рассматриваться как истинные или ложные. Более того, существуют в нашем языке такие предложения, которые служат не для выражения суждений, а представляют собой вопросы, повеления и т.п. Почему так важен логический анализ, какую роль он играет в повседневном и особенно научном познании?

· Поскольку язык развивался как средство коммуникации и взаимопонимания между людьми, постольку он главным образом совершенствовался для быстрой передачи информации, увеличения объема передаваемых сообщений, иногда даже за счет неточности и неопределенности их смысла. Это особенно характерно для образного языка ораторской и художественной речи, которая изобилует сравнениями, метафорами, синонимами и омонимами; и другими языковыми средствами, придающими ей особую окраску, эмоциональность, наглядность и выразительность. Но все это значительно затрудняет логический анализ языка, а иногда и затрудняет понимание речи.

· Как универсальное средство для коммуникации и обмена мыслями и информацией, язык выполняет множество функций, которые не интересуют логику. Логика, напротив, стремится как можно точнее передать и преобразовать существующую информацию и тем самым устранить некоторые недостатки естественного языка путем создания искусственных формализованных языков. Такие искусственные языки используются прежде всего в научном познании, а в последние годы они нашли широкое распространение в программировании и алгоритмизации различных процессов с помощью компьютеров. Достоинство подобных языков состоит прежде всего в их точности, однозначности, а самое главное - в возможности представления обычного содержательного рассуждения посредством вычисления.

Формализация рассуждения состоит в представлении его посредством символов и формул искусственного (формализованного) языка, в котором перечисляются, во-первых, исходные формулы, выражающие основные утверждения содержательной теории, во-вторых, первоначальные понятия, которые фигурируют в этих утверждениях, и, в-третьих, явно указываются те правила вывода или преобразования, с помощью которых в содержательных теориях получают теоремы из аксиом, а в формальных теориях исходные формулы преобразуют в производные. Нетрудно заметить, что формализация рассуждения происходит в соответствии с требованиями аксиоматического метода, знакомого нам из школьного курса геометрии. Разница состоит только в том, что вместо понятий и суждений в ней используются символы и формулы, а логический вывод теорем из аксиом заменяется преобразованием исходных формул в производные. Таким образом, при полной формализации содержательное мышление (рассуждение) его отображается в формальном исчислении. Кроме формализованных языков логики и математики,к искусственным научным языкам относят также языки тех наук, в которых широко используются символы и формулы. Типичным является, например, язык химических символов и формул. Однако в таких языках символы и формулы служат для более компактной и краткой записи соответствующих понятий и утверждений. Так, в химии символы употребляются для записи химических элементов или простых веществ, а формулы - для записи их соединений и сложных веществ. Но само рассуждение проводится как обычно на содержательном уровне.

Какую роль играет формализация в научном познании вообще и в логике в особенности?

1). Формализация дает возможность анализировать, уточнять, определять и эксплицировать (разъяснять) понятия. Интуитивные понятия хотя и кажутся более ясными и очевидными с точки зрения здравого смысла, оказываются не подходящими для научного познания в силу их неопределенности, неоднозначности и неточности. Так, например, понятия непрерывности функции, геометрической фигуры в математике, одновременности событий в физике, наследственности в биологии и многие другие существенно отличаются от тех представлений, которые они имеют в обыденном сознании. Кроме того, некоторые исходные понятия обозначаются в науке теми же словами, которые употребляются в разговорном языке для выражения совершенно других вещей и процессов. Такие основополагающие понятия физики, как сила, работа и энергия, отображают вполне определенные и точно указанные процессы: например сила рассматривается в физике как причина изменения скорости движущегося тела, а работа - как произведение силы на путь. В разговорной речи им придается более широкий, но неопределенный смысл, вследствие чего физическое понятие, например работы, неприменимо к характеристике умственной деятельности. Но даже в науке смысл и значение вводимых понятий со временем изменяется, уточняется и обобщается.

Формализация приобретает особую роль при анализе доказательств. Представление доказательства в виде последовательности формул, получаемых из исходных с помощью точно указанных правил преобразования, придает ему необходимую строгость и точность. При таком подходе исключаются ссылки на интуицию, очевидность или наглядность чертежа, так что при соответствующей программе доказательство можно передать вычислительной машине. О том, какое значение имеет строгость доказательства, свидетельствует история попыток доказательства аксиомы о параллельных в геометрии, когда вместо такого доказательства сама аксиома заменялась эквивалентным утверждением. Именно неудача подобных попыток заставила Н.И. Лобачевского мри тать невозможным такое доказательство.

3).Формализация, основанная на построении искусственных логических языков, служит теоретическим фундаментом для процессов алгоритмизации и программирования вычислительных устройств, а тем самым и компьютеризации не только научно-технического, но и другого знания.

Следовательно, формализация предполагает содержательный логический анализ тех способов рассуждения, посредством которых получаются одни утверждения из других, но сами утверждения, представляющие по своей структуре суждения, в свою очередь состоят из понятий. Поэтому мы начнем изучение логики с анализа понятий.

Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Подобно тому, как к ядру ореха можно добраться лишь вскрыв его скорлупу, так и логические формы могут быть выявлены лишь, путем анализа языка.

В целях овладения логико-языковым анализом рассмотрим кратко структуру и функции языка, соотношение логических и грамматических категорий, а также принципы построения особого языка логики.

Язык - это знаковая информационная система, выполняющая функцию формирования, хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.

Основным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки. Знак - это любой чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, выступающий представителем другого предмета. Среди различных знаков выделим два вида: знаки-образы и знаки-символы.

Знаки-образы имеют определенное сходство с обозначаемыми предметами. Примеры таких знаков: копии документов; дактилоскопические отпечатки пальцев; фотоснимки; некоторые дорожные знаки с изображением детей, пешеходов и других объектов. Знаки-символы не имеют сходства с обозначаемыми предметами. Например: нотные знаки; знаки азбуки Морзе; буквы в алфавитах национальных языков.

Множество исходных знаков языка составляет его алфавит.

Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем - семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.

Для выражения всех элементов рассуждения служат различные средства языка. Понятия выражаются посредством отдельных слов или словосочетаний, суждения и умозаключения - с помощью простых или сложных предложений. Поэтому логический анализ рассуждений тесно связан с анализом языка, хотя отнюдь не сводится к последнему. Действительно, при логическом анализе суждений мы интересуемся его логической структурой, а не грамматической формой. Поэтому выделяем в суждении те элементы, которые имеют существенное значение для его характеристики с точки зрения истинности и ложности. В строгом смысле слова только суждения могут рассматриваться как истинные или ложные, ибо именно они могут верно или неверно, адекватно или неадекватно относиться к действительности. Предложения же хотя и используются для выражения суждений, сами по себе не могут рассматриваться как истинные или ложные. Более того, существуют в нашем языке такие предложения, которые служат не для выражения суждений, а представляют собой вопросы, повеления и т.п. Почему так важен логический анализ, какую роль он играет в повседневном и особенно научном познании?

Поскольку язык развивался как средство коммуникации и взаимопонимания между людьми, постольку он главным образом совершенствовался для быстрой передачи информации, увеличения объема передаваемых сообщений, иногда даже за счет неточности и неопределенности их смысла. Это особенно характерно для образного языка ораторской и художественной речи, которая изобилует сравнениями, метафорами, синонимами и омонимами; и другими языковыми средствами, придающими ей особую окраску, эмоциональность, наглядность и выразительность. Но все это значительно затрудняет логический анализ языка, а иногда и затрудняет понимание речи.

Как универсальное средство для коммуникации и обмена мыслями и информацией, язык выполняет множество функций, которые не интересуют логику. Логика, напротив, стремится как можно точнее передать и преобразовать существующую информацию и тем самым устранить некоторые недостатки естественного языка путем создания искусственных формализованных языков. Такие искусственные языки используются, прежде всего, в научном познании, а в последние годы они нашли широкое распространение в программировании и алгоритмизации различных процессов с помощью компьютеров. Достоинство подобных языков состоит прежде всего в их точности, однозначности, а самое главное - в возможности представления обычного содержательного рассуждения посредством вычисления.

Формализация рассуждения состоит в представлении его посредством символов и формул искусственного (формализованного) языка, в котором перечисляются, во-первых, исходные формулы, выражающие основные утверждения содержательной теории, во-вторых, первоначальные понятия, которые фигурируют в этих утверждениях, и, в-третьих, явно указываются те правила вывода или преобразования, с помощью которых в содержательных теориях получают теоремы из аксиом, а в формальных теориях исходные формулы преобразуют в производные. Нетрудно заметить, что формализация рассуждения происходит в соответствии с требованиями аксиоматического метода, знакомого нам из школьного курса геометрии. Разница состоит только в том, что вместо понятий и суждений в ней используются символы и формулы, а логический вывод теорем из аксиом заменяется преобразованием исходных формул в производные. Таким образом, при полной формализации содержательное мышление (рассуждение) его отображается в формальном исчислении. Кроме формализованных языков логики и математики, к искусственным научным языкам относят также языки тех наук, в которых широко используются символы и формулы. Типичным является, например, язык химических символов и формул. Однако в таких языках символы и формулы служат для более компактной и краткой записи соответствующих понятий и утверждений. Так, в химии символы употребляются для записи химических элементов или простых веществ, а формулы - для записи их соединений и сложных веществ. Но само рассуждение проводится как обычно на содержательном уровне.

Какую роль играет формализация в научном познании вообще и в логике в особенности?

1) Формализация дает возможность анализировать, уточнять, определять и эксплицировать (разъяснять) понятия. Интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными и очевидными с точки зрения здравого смысла, оказываются не подходящими для научного познания в силу их неопределенности, неоднозначности и неточности. Так, например, понятия непрерывности функции, геометрической фигуры в математике, одновременности событий в физике, наследственности в биологии и многие другие существенно отличаются от тех представлений, которые они имеют в обыденном сознании. Кроме того, некоторые исходные понятия обозначаются в науке теми же словами, которые употребляются в разговорном языке для выражения совершенно других вещей и процессов.

Такие основополагающие понятия физики, как сила, работа и энергия, отображают вполне определенные и точно указанные процессы: например сила рассматривается в физике как причина изменения скорости движущегося тела, а работа - как произведение силы на путь. В разговорной речи им придается более широкий, но неопределенный смысл, вследствие чего физическое понятие, например работы, неприменимо к характеристике умственной деятельности. Но даже в науке смысл и значение вводимых понятий со временем изменяется, уточняется и обобщается.

Множество исходных знаков языка составляет его алфавит.

Синтаксис - это раздел семиотики, изучающий структуру языка: способы образования, преобразования и связи между знаками. Семантика занимается проблемой интерпретации, т.е. анализом отношений между знаками и обозначаемыми объектами. Прагматика анализирует коммуникативную функцию языка - эмоциональные, психологические, эстетические, экономические и другие отношения носителя языка к самому языку. язык имя логический мышление

По происхождению языки бывают естественные и искусственные.

Естественные языки - это исторически сложившиеся в обществе звуковые (речь), а затем и графические (письмо) информационные знаковые системы. Они возникли для закрепления и передачи накопленной информации в процессе общения между людьми. Естественные языки выступают носителями многовековой культуры народов. Они отличаются богатыми выразительными возможностями и универсальным охватом самых различных областей жизни.

Искусственные языки - это вспомогательные знаковые системы, создаваемые на базе естественных языков для точной и экономной передачи научной и другой информации. Они конструируются с помощью естественного языка или ранее построенного искусственного языка. Язык, выступающий средством построения или изучения другого языка, называют метаязыком, основной - языком-объектом. Метаязык, как правило, обладает более богатыми по сравнению с языком-объектом выразительными возможностями.

Искусственные языки различной степени строгости широко используются в современной науке и технике: химии, математике, теоретической физике, вычислительной технике, кибернетике, связи, стенографии.

Особую группу составляют смешанные языки, базой в которых выступает естественный (национальный) язык, дополняемый символикой и условными обозначениями, относящимися к конкретной предметной области. К этой группе можно отнести язык, условно называемый «юридическим языком», или «языком права». Он строится на базе естественного (в нашем случае русского) языка, а также включает множество правовых понятий и дефиниций, правовых презумпций и допущений, правил доказательства и опровержения. Исходной клеточкой этого языка выступают нормы права, объединяемые в сложные нормативно-правовые системы.

Искусственные языки успешно используются и логикой для точного теоретического и практического анализа мыслительных структур.

Один из таких языков - язык логики высказываний. Он применяется в логической системе, называемой исчислением высказываний, которая анализирует рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений. Принципы построения этого языка будут изложены в главе о дедуктивных умозаключениях.

Второй язык - это язык логики предикатов. Он применяется в логической системе, называемой исчислением предикатов, которая при анализе рассуждений учитывает не только истинностные характеристики логических связок, но и внутреннюю структуру суждений. Рассмотрим кратко состав и структуру этого языка, отдельные элементы которого будут использованы в процессе содержательного изложения курса.

Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.

Имя - это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя как языковая категория имеет таким образом две обязательные характеристики или значения: предметное значение и смысловое значение.

Предметное значение (денотат) имени - это один или множество каких-либо объектов, которые этим именем обозначаются. Например, денотатом имени «дом» в русском языке будет все многообразие сооружений, которые этим именем обозначаются: деревянные, кирпичные, каменные; одноэтажные и многоэтажные и т.д.

Смысловое значение (смысл, или концепт) имени - это информация о предметах, т.е. присущие им свойства, с помощью которых выделяют множество предметов. В приведенном примере смыслом слова «дом» будут следующие характеристики любого дома: 1) это сооружение (здание), 2) построено человеком, 3) предназначено для жилья.

Отношение между именем, смыслом и денотатом (объектом) можно представить следующей семантической схемой:

Это значит, что имя денотирует, т.е. обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.

Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.

Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события иди их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.

По составу различают имена простые, которые не включают других имен (государство), и сложные, включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие. Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).

Имена признаков - качеств, свойств или отношений - называются предикаторами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т.д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»). Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» - к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).

Предложения - это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.

Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):

1) а, b, с,... - символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;
2) х, y, z, ... - символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;
3) Р 1 ,Q 1 , R 1 ,... - символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;
4) р, q, r, ... - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозициональными переменными (от латинского рropositio - «высказывание»);
5) - символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: -- квантор общности; он символизирует выражения -- все, каждый, всякий, всегда и т.п.; -- квантор существования; он символизирует выражения -- некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
6) логические связки:
- - конъюнкция (союз «и»);
- - дизъюнкция (союз «или»);
- - импликация (союз «если..., то...»);
- - эквиваленция, или двойная импликация (союз «если и только если..., то...»);
- - отрицание («неверно, что...»).

Технические знаки языка: (,) - левая и правая скобки.

Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами - ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:

1. Всякая пропозициональная переменная -- р, q, r, ... есть ППФ.
2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А 1 (х), А 2 (х, у), А 3 (х, у, z), А" (х, у,..., n), где А 1 , А 2 , А 3 ,..., А n - знаки метаязыка для предикаторов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения хА (х) и хА(х) также будут ППФ.
4. Если А и В - формулы (А и В - знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1-4, не являются ППФ данного языка.

Поскольку логика изучает формы мыслей и способы их выражения в языке, постольку логика является также наукой о языке. В логике исследуются отдельные аспекты естественных языков (языков, которые возникли и развиваются в основном стихийно), а также создаются искусственные языки - специальные языки логики. Одним из таких языков является язык логики предикатов, широко используемый при выявлении связей между мыслями по их логическим формам. Основное достоинство этого языка заключается в том, что его выражения однозначны. В нем нет омонимов и нет неясных выражений. Это позволяет строго фиксировать ход рассуждений и точно решать вопрос об их правильности или неправильности, а также ряд других вопросов.

При логическом анализе язык рассматривается как система знаков.

Знак - это материальный объект, используемый в процессе познания или общения в качестве представителя какого-либо объекта.

Можно выделить знаки следующих трех типов: (1) знаки-индексы; (2) знаки-образы; (3) знаки-символы.

Знаки-индексы связаны с представляемыми ими объектами материально, например, как следствия с причинами. Так, дым говорит о наличии огня, повышенная температура тела человека - о заболевании, изменение цвета ногтей - о заболевании внутренних органов, изменение высоты ртутного столба - об изменении атмосферного давления.

Знаками-образами являются те знаки, которые сами по себе несут информацию о представляемых ими объектах (карта местности, картина, чертеж), поскольку они находятся в отношении подобия с обозначаемыми объектами.

Знаки-символы не связаны материально и не сходны с представляемыми ими объектами.

Логика исследует знаки последнего вида.

Как правило, знаки имеют предметные и смысловые значения. Предметным значением является тот объект, который представляется (или обозначается) знаком. Смысловым значением - выраженная в языке характеристика объекта, представителем которого является знак, позволяющая отличить обозначаемый объект от других объектов. Предметное значение часто называют просто значением , а смысловое значение - смыслом .

Некоторые знаки не имеют значения, т.е. представляют несуществующие объекты (например, «вечный двигатель»), а некоторые не имеют смысла, т.е. обозначают какие-то объекты, но не несут о них информации, по крайней мере такой, которая выражена в языке и позволяет однозначно выделять предметы, обозначаемые знаком.

Роль знаков в познании исследовал еще Аристотель. Этой проблемой занимались Лейбниц и другие ученые. Особенно актуальным стало развитие учения о знаках в XIX в. в связи с запросами лингвистики и символической логики. Американский философ Чарльз Пирс (1839-1914) заложил основы особой науки о знаках - семиотики. В этой науке выделяют три раздела - синтаксис, семантику и прагматику, что связано с наличием трех аспектов языка.

Синтаксисом называется раздел семиотики, в котором исследуются отношения между материальными объектами, выступающими в роли знаков (правила построения и преобразования выражений языка и т.д.). В процессе этого исследования отвлекаются от смыслов и значений знаков.

Семантикой называется раздел семиотики, в котором прежде всего исследуются отношения знаков к представляемым ими объектам, а также смыслы знаков, поскольку они являются одним из средств установления связи знаков и их значений.

Прагматика изучает то, что привносят отдельные личности и социальные группы в понимание знаков, отношение человека к знакам, а также отношения между людьми в процессе знакового общения.

Одним из видов знаков являются имена. Учение об именах, называемое теорией именования , относительно полно разработано немецким ученым Готлобом Фреге (1848-1925). Большой вклад в создание этого учения внесли американские логики Р. Карнап (1891-1970) и А. Черч (1903-1995), а также отечественный логик Е.К. Войшвилло (р. 1913).

Основным понятием теории именования является понятие «имя».

Имя - это слово или словосочетание, обозначающее какой-либо предмет. Поскольку имя является знаком, оно имеет значение или смысл (или то и другое). Значение имени - это предмет, обозначаемый этим именем. Другие названия значения имени - денотат, десигнат, номинат. Смысл (или концепт ) - это представленная в языке информация о предметах, которую выражает имя и которая позволяет однозначно выделять предметы, являющиеся значениями имени.

Различают имена двух типов. Имя, относящееся к первому типу, обозначает один предмет. Имя второго типа является общим для предметов некоторого класса. Имена первого типа называются единичными , а второго - общими . Примеры единичных имен: Луна; столица России; автор романа «Война и мир». Примеры общих имен: животное, имеющее мягкие мочки ушей; европейское государство; ученик. Таким образом, значением единичного имени является единственный предмет. Значениями общего имени являются предметы некоторого класса, содержащего более одного элемента. Класс, который составляют предметы, являющиеся значениями имени, называется объемом имени. Объем единичного имени - класс, состоящий из одного предмета.

Графически:

пометка">универсальными . Универсальными называются общие имена, объемами которых является весь универсум рассуждения, т.е.: вся предметная область, о которой рассуждают. Например, «человек, знающий некоторые иностранные языки или не знающий ни одного иностранного языка». Универсум рассуждения здесь - множество (всех) людей. Объем имени - то же самое множество. Имя «человек, знающий какие-то иностранные языки» - не универсальное, поскольку его объем не совпадает с множеством (всех) людей. Универсум рассуждения определяется контекстом, в котором употребляется имя.

Могут быть имена с разными смыслами и одним и тем же объемом (например, «самый большой город Англии» и «столица Англии»), но не может быть имен с одним и тем же смыслом, но разными объемами.

Имена могут обозначать предметы, не существующие в универсуме рассуждения. Такие имена являются мнимыми . Примеры: «русалка», «самая удаленная точка Вселенной». Эти имена являются мнимыми, если универсум рассуждения составляют предметы, существующие в объективной реальности. Объем мнимого имени - пустое множество.

пометка">действительными .

Фреге и Черч считают, что все имена имеют смысл. Войшвилло полагает, что не все. Аргументируя свою точку зрения, он делит имена на два вида по типу смыслов - на имена, имеющие собственный смысл, и имена, не имеющие собственного смысла. Имена, имеющие собственный смысл, - это описательные имена типа «самая большая река в Европе». Смысл таких имен определяется их структурой, а также смыслами или значениями имен, составляющих эти описательные имена. Если имена, входящие в сложное имя, не имеют смысла, то и в этом случае описательное имя имеет смысл. Этот смысл заключается в указании отношения между значениями составляющих имен. Не описательные имена типа «Волга» не имеют собственного смысла. Если они и имеют смысл, то лишь приданный. Не описательным именам придается смысл посредством описательных имен, которые ставятся им в соответствие. В описательные имена в свою очередь входят имена не описательные. Им тоже придается смысл через описательные. Очевидно, что такой процесс не может быть бесконечным, т.е. некоторые не описательные имена имеют значение, но не имеют смысла. Эти имена обозначают предметы, но не несут о них информации, которая выражена в языке и позволяет выделять эти предметы среди других предметов универсума. Значения таких имен выделяются посредством органов чувств или интуиции.

В естественном языке некоторые выражения, в зависимости от контекста, обозначают различные предметы, а также встречаются случаи, когда значениями выражений могут быть сами эти выражения и т.д. Такая ситуация недопустима в языках науки, которые подчиняются следующим трем нормативным принципам: (1) принципу предметности; (2) принципу однозначности; (3) принципу взаимозаменимости.

Согласно принципу предметности в высказываниях должно утверждаться или отрицаться нечто о значениях имен, входящих в предложения, а не о самих именах. Нужно, конечно, иметь в виду, что значениями некоторых имен являются имена. Такие случаи не противоречат принципу предметности. Например, в предложении «Материя первична, а сознание вторично» «материя» - это имя объективной реальности, а в предложении «„Материя“ - философская категория» слово «материя», взятое в кавычки, - это имя имени, имя категории. Такие имена называются кавычковыми именами. Иногда в естественном языке встречаются случаи, когда именем имени является само исходное имя. Например, в предложении «Слово стол состоит из четырех букв» слово «стол» является именем самого этого слова. Такое употребление имен называется автонимным. Автонимное употребление имен недопустимо в научных языках, поскольку оно приводит к недоразумениям. Так, в известном определении В.И. Ленина: «Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них» - имеет место автонимное употребление имени «материя». Это вызывало споры о том, что называл В.И. Ленин материей, объективную реальность или категорию, т.е. мысль, понятие о реальности.

Согласно принципу однозначности выражение, используемое в качестве имени, должно быть именем только одного предмета, если это единичное имя, а если это общее имя, то данное выражение должно быть именем, общим для предметов одного класса. В естественном языке данный принцип не всегда соблюдается. Его соблюдение необходимо при построении искусственных языков, например языка логики предикатов.

Принцип взаимозаменимости: если в сложном имени заменить часть, в свою очередь являющуюся именем, другим именем с тем же значением, то значение полученного в результате такой замены сложного имени должно быть тем же, что и значение исходного сложного имени. Пусть дано предложение «Земля вращается вокруг Солнца» (будем считать, что предложения тоже являются именами и значением предложения является истина или ложь). Заменим имя «Солнце» в приведенном предложении на имя «центральное тело «Солнечной системы». Очевидно, что значения этих имен совпадают. В результате такой замены из истинного предложения получаем истинное.

Принцип взаимозаменимости кажется естественным, однако можно привести примеры подстановки имен, которые ему противоречат. Рассмотрим предложение: «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли». Оно истинно. Заменим имя «Солнце» на имя «центральное тело Солнечной системы», имеющее то же значение. Получим ложное предложение.

Такие несоответствия принципу взаимозаменимости называются антиномиями отношения именования .

Следует различать два способа употребления имен. Первый - имя просто выделяет предмет (предметы). Второй - предметы, обозначаемые именем, рассматриваются в определенном аспекте. Если имя употребляется во втором смысле, то его можно заменять другим именем с тем же значением, если только во втором имени предметы рассматриваются в том же аспекте. Указанную выше замену можно было бы произвести, если бы Птолемей считал, что значения имен «Солнце» и «центральное тело Солнечной системы» совпадают. Тогда значением предложения «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли» была бы «ложь». Ложным бы оказалось и предложение, получаемое в результате замены: «Птолемей считал, что центральное тело Солнечной системы вращается вокруг Земли».

Выражения языка делятся на классы в зависимости от типов выражаемых ими смыслов, а также от типов объектов, которые они обозначают или представляют. Эти классы называются семантическими категориями .

Прежде всего выделяют предложения, а также части предложений, играющие самостоятельную роль в составе предложений.

Предложения делятся на классы в зависимости от того, выражают ли они суждения, вопросы, нормы и т.д. Предложения, выражающие суждения, называются высказываниями.

Среди выражений, входящих в предложения и играющих в них самостоятельную роль, выделяют дескриптивные и логические термины .

К дескриптивным терминам относятся: 1) единичные имена; 2) общие имена; 3) знаки свойств и отношений; 4) знаки признаков; 5) знаки предметных функций.

Единичные и общие имена охарактеризованы выше.

Свойства - это то, чем отличаются друг от друга предметы и явления. Если мы сравниваем людей, то можем сказать, что один высокий, а другой низкий, один черноглазый, а другой голубоглазый и т.д. Относя в мыслях свойство к предмету, мы получаем истинное или ложное предложение.

Отношение отличается от свойства тем, что для получения истинного или ложного предложения его (отношение) следует отнести в мыслях к паре или тройке и т.д. предметов. Примеры отношений: «больший, чем», «расположенный между» и т.п.

В современной логике знаки свойств и знаки отношений включаются в одну семантическую категорию - категорию знаков, представляющих характеристики последовательностей предметов. При этом свойства рассматриваются как характеристики последовательностей, состоящих из одного предмета, а отношения - как характеристики последовательностей, состоящих из нескольких предметов (двухместные отношения - характеристики пар предметов, трехместные отношения - характеристики троек предметов и т.д.).

Отношение «больший, чем», - двухместное, так как для получения истинного или ложного предложения его необходимо отнести в мыслях к паре предметов. Отношение «расположенный между» - трехместное, его необходимо отнести к тройке предметов, чтобы получить истинное или ложное предложение.

Признак «какого-либо предмета - это наличие или отсутствие у него того или иного свойства или отношения к другим предметам». Признак n-ки (пары, тройки и т.д. предметов) - это наличие или отсутствие какого-либо отношения между ее элементами. Слова или словосочетания, выражающие признаки последовательностей из n предметов опред-е">предикатами .

В предложении «Этот стол желтый» утверждается наличие у этого стола желтого цвета. Словосочетание «является желтым» - знак признака, а слово «желтый» - знак свойства. В предложении «Москва больше Архангельска» «больше» - знак признака пары предметов (Москва, Архангельск). Содержание этого предложения можно выразить по-другому: «Москва есть большая, чем Архангельск». Здесь «есть большая, чем» («больше») - знак признака, а «большая, чем» - знак отношения.

Между общими именами, с одной стороны, и знаками свойств и отношений - с другой, не всегда легко провести различие. Вне контекста, например, слово «красный» можно считать как знаком свойства, так и общим именем. В последнем случае это общее имя красных предметов.

При построении языка логики предикатов будем понимать свойства как общие имена предметов, а n-местные отношения - как общие имена n-ок предметов. Общие имена в таком расширительном толковании будем называть предикаторами .

Знаки предметных функций, или функциональные знаки, или предметные функторы, представляют предметные функции.

Функцией называется соответствие, в силу которого объекты (предмет, пара, тройка предметов и т.д.) из некоторого множества, называемого областью определения функции, соотносятся с объектами из другого или того же самого множества, называемыми значениями функции.

Предметной называется функция, значениями которой являются предметы. Примеры предметных функций: sin, log, +, масса. Применив функциональный знак «масса» к единичному имени «Земля», получим в качестве значения единичное имя «масса Земли», обозначающее определенную величину, т.е. предмет. Таким образом, данная функция сопоставляет предметы (материальные объекты, обладающие массой) с другими предметами (величинами массы).

Основными логическими терминами русского языка являются следующие слова и словосочетания: «есть» («суть»), «и», «или», «если..., то...», «не», «неверно, что...», «всякий» («каждый»), «все», «некоторые», «тот..., который...», «следовательно». Некоторые из этих терминов выражают отношения действительности. Например, «и» выражает сосуществование двух положений дел или ситуаций, а «если..., то...» - связь двух ситуаций, когда при наличии первой всегда имеет место вторая. Такие отношения называют логическими в отличие от нелогических отношений, т.е. отношений, представляемых дескриптивными терминами.

Рассмотрим предложение: «Если ни один член семьи Ивановых не является честным человеком, и Степан - член семьи Ивановых, то Степан не является честным человеком» и определим, к каким семантическим категориям относятся выражения, являющиеся его частями. В этом предложении «если..., то...» - логический термин, «ни один» («все») - логический термин, «член семьи Ивановых» - предикатор (общее имя), «не» - логический термин, «является» («есть») - логический термин, «честный человек» - предикатор (общее имя), «и» - логический термин, «Степан» - единичное имя.

Поясним (еще раз), какая часть смысла дескриптивных терминов сохраняется при выявлении логической формы мысли.

Проанализируем два рассуждения.

(1) Все участники этого преступления опознаны потерпевшим. Ни один из членов семьи Петровых не опознан потерпевшим. Никто из лиц, не участвовавших в совершении этого преступления, не привлечен к уголовной ответственности за его совершение. Следовательно, ни один из членов семьи Петровых не привлечен к уголовной ответственности за совершение этого преступления.

(2) Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать логику. Ни один из сыновей Крокса не может понимать логику. Сумасшедшие не допускаются к голосованию. Следовательно, ни один из сыновей Крокса не допускается к голосованию.

Заменим дескриптивные термины-предикаторы, встречающиеся в каждом из этих рассуждений, переменными Р, Q, R, S в том порядке, в каком они входят в рассуждение.

В первое рассуждение входят четыре дескриптивных термина-предикатора, порядок их вхождения в рассуждение таков: первым встречается термин «участник этого преступления» (Р ), вторым - «опознанный потерпевшим» (Q ), третьим - «член семьи Петровых» (R ), четвертым - «привлеченный к уголовной ответственности за совершение этого преступления» (S ). Следует заметить, что термин «не участвовавший в совершении этого преступления» можно рассматривать как полученный в результате применения операции логического отрицания «не» к термину «участник этого преступления» и обозначить «не-Р ».

Во втором рассуждении встречаются четыре дескриптивных термина в следующем порядке: «находящийся в здравом уме» (Р ), «могущий понимать логику» (Q ), «сын Крокса» (R ), «допускаемый к голосованию» (S ). Термин «сумасшедший» соответствует термину «не находящийся в здравом уме» и обозначается «не-P ».

Перепишем оба рассматриваемых рассуждения, подставив вместо дескриптивных терминов соответствующие переменные. Слово «следовательно» заменим чертой, отделяющей последние предложения рассуждений от предшествующих предложений:

пометка">логическая форма .

При выявлении логической формы сохраняется информация о том, к какой семантической категории относится дескриптивный термин, заменяемый переменной. Поэтому при построении формализованных языков логики, в частности языка логики предикатов, для выражений разных категорий вводятся различные символы. Кроме того, при выявлении логической формы различные вхождения одного и того же термина в контекст заменяются одним и тем же символом и различные термины - различными символами.

Для выражения всех этих элементов рассуждения служат различные средства языка. Понятия выражаются посредством отдельных слов или словосочетаний, суждения и умозаключения – с помощью простых или сложных предложений. Поэтому логический анализ рассуждений тесно связан с анализом языка, хотя отнюдь не сводится к последнему. Действительно, при логическом анализе суждений мы интересуемся его логической структурой, а не грамматической формой. Поэтому выделяем в суждении те элементы, которые имеют существенное значение для его характеристики с точки зрения истинности и ложности. В строгом смысле слова только суждения могут рассматриваться как истинные или ложные, ибо именно они могут верно или неверно, адекватно или неадекватно относиться к действительности. Предложения же хотя и используются для выражения суждений, сами по себе не могут рассматриваться как истинные или ложные. Более того, существуют в нашем языке такие предложения, которые служат не для выражения суждений, а представляют собой вопросы, повеления и т.п. Подробнее о них речь пойдет в гл.3, здесь же нам хотелось бы обратить внимание на различие между логическим и грамматическим анализом.

Почему так важен логический анализ, какую роль он играет в повседневном и особенно научном познании?

1. Поскольку язык развивался как средство коммуникации и взаимопонимания между людьми, постольку он главным образом совершенствовался для быстрой передачи информации, увеличения объема передаваемых сообщений, иногда даже за счет неточности и неопределенности их смысла. Это особенно характерно для образного языка ораторской и художественной речи, которая изобилует сравнениями, метафорами, синонимами и омонимами и другими языковыми средствами, придающими ей особую окраску, эмоциональность, наглядность и выразительность. Но все это значительно затрудняет логический анализ языка, а иногда и затрудняет понимание речи.

2. Как универсальное средство для коммуникации и обмена мыслями и информацией, язык выполняет множество функций, которые не интересуют логику. Логика, напротив, стремится как можно точнее передать и преобразовать существующую информацию и тем самым устранить некоторые недостатки естественного языка путем создания искусственных формализованных языков. Такие искусственные языки используются прежде всего в научном познании, а в последние годы они нашли широкое распространение в программировании и алгоритмизации различных процессов с помощью компьютеров. Достоинство подобных языков состоит прежде всего в их точности, однозначности, а самое главное – в возможности представления обычного содержательного рассуждения посредством вычисления.

Формализация рассуждения состоит в представлении его посредством символов и формул искусственного (формализованного) языка, в котором перечисляются, во-первых, исходные формулы, выражающие основные утверждения содержательной теории, во-вторых, первоначальные понятия, которые фигурируют в этих утверждениях, и, в-третьих, явно указываются те правила вывода или преобразования, с помощью которых в содержательных теориях получают теоремы из аксиом, а в формальных теориях исходные формулы преобразуют в производные. Нетрудно заметить, что формализация рассуждения происходит в соответствии с требованиями аксиоматического метода, знакомого нам из школьного курса геометрии. Разница состоит только в том, что вместо понятий и суждений в ней используются символы и формулы, а логический вывод теорем из аксиом заменяется преобразованием исходных формул в производные. Таким образом, при полной формализации содержательное мышление (рассуждение) его отображается в формальном исчислении. Кроме формализованных языков логики и математики, к искусственным научным языкам относят также языки тех наук, в которых широко используются символы и формулы. Типичным является, например, язык химических символов и формул. Однако в таких языках символы и формулы служат для более компактной и краткой записи соответствующих понятий и утверждений. Так, в химии символы употребляются для записи химических элементов или простых веществ, а формулы – для записи их соединений и сложных веществ. Но само рассуждение проводится как обычно на содержательном уровне.

Какую роль играет формализация в научном познании вообще и в логике в особенности?

1. Формализация дает возможность анализировать, уточнять, определять и эксплицировать (разъяснять) понятия. Интуитивные понятия хотя и кажутся более ясными и очевидными с точки зрения здравого смысла, оказываются не подходящими для научного познания в силу их неопределенности, неоднозначности и неточности. Так, например, понятия непрерывности функции, геометрической фигуры в математике, одновременности событий в физике, наследственности в биологии и многие другие существенно отличаются от тех представлений, которые они имеют в обыденном сознании. Кроме того, некоторые исходные понятия обозначаются в науке теми же словами, которые употребляются в разговорном языке для выражения совершенно других вещей и процессов. Такие основополагающие понятия физики, как сила, работа и энергия, отображают вполне определенные и точно указанные процессы: например, сила рассматривается в физике как причина изменения скорости движущегося тела, а работа – как произведение силы на путь. В разговорной речи им придается более широкий, но неопределенный смысл, вследствие чего физическое понятие, например работы, неприменимо к характеристике умственной деятельности. Но даже в науке смысл и значение вводимых понятий со временем изменяется, уточняется и обобщается.

2. Формализация приобретает особую роль при анализе доказательств. Представление доказательства в виде последовательности формул, получаемых из исходных с помощью точно указанных правил преобразования, придает ему необходимую строгость и точность. При таком подходе исключаются ссылки на интуицию, очевидность или наглядность чертежа, так что при соответствующей программе доказательство можно передать вычислительной машине. О том, какое значение имеет строгость доказательства, свидетельствует история попыток доказательства аксиомы о параллельных в геометрии, когда вместо такого доказательства сама аксиома заменялась эквивалентным утверждением. Именно неудача подобных попыток заставила Н.И. Лобачевского признать невозможным такое доказательство.

3. Формализация, основанная на построении искусственных логических языков, служит теоретическим фундаментом для процессов алгоритмизации и программирования вычислительных устройств, а тем самым и компьютеризации не только научно-технического, но и другого знания.