Решение по теореме пифагора. Как применять теорему пифагора

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 1 .

__________
1 Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).
_________

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а , b и с (черт. 267).

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно равны а 2 , b 2 и с 2 . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .

Построим два квадрата МКОР и М"К"О"Р" (черт. 268, 269), приняв за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АBС.

Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 268 и 269, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а 2 и b 2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" разбился на четырёхугольник (он на чертеже 269 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АBС. Заштрихованный четырёхугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АBС, т. е. с ), а углы - прямые / 1 + / 2 = 90°, откуда / 3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 268 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырёх равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 269 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М"К"О"Р", равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырёх таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу с 2 = а 2 + b 2 , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Из формулы с 2 = а 2 + b 2 можно получить такие формулы:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Этими формулами можно пользоваться для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум данным его сторонам.
Например:

а) если даны катеты а = 4 см, b =3 см, то можно найти гипотенузу (с ):
с 2 = а 2 + b 2 , т. е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откуда с = √25 =5 (см);

б) если даны гипотенуза с = 17 см и катет а = 8 см, то можно найти другой катет (b ):

b 2 = с 2 - а 2 , т. е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откуда b = √225 = 15 (см).

Следствие: Если в двух прямоугольных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 гипотенузы с и с 1 равны, а катет b треугольника АBС больше катета b 1 треугольника А 1 В 1 C 1 ,
то катет а треугольника АВС меньше катета а 1 треугольника А 1 В 1 C 1 . (Сделать чертёж, иллюстрирующий это следствие.)

В самом деле, на основании теоремы Пифагора получим:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В записанных формулах уменьшаемые равны, а вычитаемое в первой формуле больше вычитаемого во второй формуле, следовательно, первая разность меньше второй,
т. е. а 2 < а 1 2 . Откуда а < а 1 .

Упражнения.

1. Пользуясь чертежом 270, доказать теорему Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Один катет прямоугольного треугольника равен 12 см, другой - 5 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, один из катетов равен 8 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 см, один из его катетов равен 35 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

5. Построить квадрат, по площади вдвое больший данного.

6. Построить квадрат, по площади вдвое меньший данного. Указание. Провести в данном квадрате диагонали. Квадраты, построенные на половинах этих диагоналей, будут искомыми.

7. Катеты прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника с точностью до 0,1 см.

8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из его катетов равен 15 см. Вычислить длину другого катета с точностью до 0,1 см.

9. Какой длины должна быть лестница, чтобы её можно было приставить к окну, находящемуся на высоте 6 м, если нижний конец лестницы должен отстоять от здания на 2,5 м? (Черт. 271.)

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич

Геометрия – наука не простая. Она может пригодиться как для школьной программы, так и в реальной жизни. Знание многих формул и теорем упростит геометрические вычисления. Одна из наиболее простых фигур в геометрии – это треугольник. Один из разновидностей треугольников, равносторонний, имеет свои особенности.

Особенности равностороннего треугольника

Согласно определению, треугольник – это многогранник, который имеет три угла и три стороны. Это плоская двумерная фигура, ее свойства изучаются в средней школе. По типу угла различают остроугольные, тупоугольные и прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник – такая геометрическая фигура, где один из углов равен 90º. Такой треугольник имеет два катета (они создают прямой угол), и одну гипотенузу (она находится напротив прямого угла). В зависимости от того, какие величины известны, существует три простых способа вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника.

Первый способ найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – древнейший способ вычислить любую из сторон прямоугольного треугольника. Звучит она так: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Таким образом, чтобы вычислить гипотенузу, следует вывести квадратный корень из сумы двух катетов в квадрате. Для наглядности приведены формулы и схема.

Второй способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2-х известных величин: катета и прилегающего угла

Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы, равносильно косинусу угла между этиv катетом и гипотенузой. Назовем известный нам угол α. Теперь, благодаря известному определению, можно легко сформулировать формулу для вычисления гипотенузы: Гипотенуза = катет/cos(α)

Третий способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2х известных величин: катета и противолежащего угла

Если известен противолежащий угол, возможно снова воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника. Отношение длины катета и гипотенузы равносильно синусу противолежащего угла. Снова назовем известный угол α. Теперь для вычислений применим немного другую формулу:
Гипотенуза = катет/sin (α)

Примеры, которые помогут разобраться с формулами

Для более глубокого понимания каждой из формул, следует рассмотреть наглядные примеры. Итак, предположим, дан прямоугольный треугольник, где есть такие данные:

• Катет – 8 см.
• Прилегающий угол cosα1 – 0.8.
• Противолежащий угол sinα2 – 0.8.

По теореме Пифагора: Гипотенуза = корень квадратный из (36+64) = 10 см.
По величине катета и прилежащего угла: 8/0.8 = 10 см.
По величине катета и противолежащего угла: 8/0.8 = 10 см.

Разобравшись в формуле, можно с легкостью вычислить гипотенузу с любыми данными.

Видео: Теорема Пифагора

Анимационное доказательство теоремы Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что она доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого она названа (есть и другие версии, в частности альтернативное мнение, что эта теорема в общем виде была сформулирована математиком-пифагорейцем Гиппасом).
Теорема гласит:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника c, а длины катетов как a и b, получим следующую формулу:

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, которое позволяет определить сторону прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.
Также доказано обратное утверждение (называют также обратной теореме Пифагора):

Для любых трех положительных чисел a, b и c, таких что a ? + b ? = c ?, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5) из книги «Чу Пэй» 500-200 до н.э. Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание о Пифагоровы числа, знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике, знание об отношении смежных углов и доказательство теоремы.
Мегалитические сооружения около 2500 до н.э. в Египте и Северной Европе, содержат прямоугольные треугольники со сторонами из целых чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден высказал гипотезу, что в те времена Пифагоровы числа были найдены алгебраически.
Написанный между 2000 и 1876 до н.э. папирус времен Среднего Египетского царства Berlin 6619 содержит задачу решением которой являются числа Пифагора.
Во время правления Хаммурапи Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написанная между 1790 и 1750 до н.э содержит много записей тесно связанных с числами Пифагора.
В сутрах Будхаяны, которые датируются по разным версиям восьмой или второй веками до н.э. в Индии, содержит Пифагоровы числа выведены алгебраически, формулировка теоремы Пифагора и геометрическое доказательство для ривнобедренного прямоугольного треугольника.
В сутрах Апастамба (около 600 до н.э.) содержится числовое доказательство теоремы Пифагора с использованием вычисления площади. Ван дер Варден считает, что оно было основано на традициях предшественников. Согласно Альбертом Бурко, это оригинальное доказательство теоремы и он предполагает, что Пифагор посетил Араконам и скопировал его.
Пифагор, годы жизни которого обычно указывают 569 – 475 до н.э. использует алгебраические методы расчета пифагоровых чисел, согласно Проклова комментариями к Евклида. Прокл, однако, жил между 410 и 485 годами н.э. Согласно Томасом Гизом, нет никаких указаний на авторство теоремы течение пяти веков после Пифагора. Однако, когда такие авторы как Плутарх или Цицерон приписывают теорему Пифагору, они делают это так, будто авторство широко известно и несомненно.
Около 400 до н. э соответствии Прокла, Платон дал метод расчета пифагоровых чисел, сочетавший алгебру и геометрию. Около 300 до н.э., в Началах Евклида имеем древнейшее аксиоматическое доказательство, которое сохранилось до наших дней.
Написанные где-то между 500 до н.э. и 200 до н.э., китайский математическая книга «Чу Пэй» (? ? ? ?), дает визуальное доказательство теоремы Пифагора, которая в Китае называется теорема гугу (????), для треугольника со сторонами (3, 4, 5). Во время правления династии Хань, с 202 до н.э. до 220 н.э. Пифагоровы числа появляются в книге «Девять разделов математического искусства» вместе с упоминанием о прямоугольные треугольники.
Впервые зафиксировано использование теоремы в Китае, где она известна как теорема гугу (????) и в Индии, где она известна как теорема Баскара.
Многие дискутируется была теорема Пифагора открыта один раз или многократно. Бойер (1991) считает, что знания обнаружены в Шульба Сутра могут быть месопотамского происхождения.
Алгебраическое доказательство
Квадраты образуются из четырех прямоугольных треугольников. Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Здесь представлены доказательства основан на теореме существования площади фигуры:

Разместим четыре одинаковые прямоугольные треугольники так, как это изображено на рисунке.
Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов , А развернутый угол – .
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной «a + b», а с другой – сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

Что и необходимо доказать.
По сходству треугольников
Использование подобных треугольников. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором угол C прямой, как показано на рисунке. Проведем высоту с точки C, и назовем H точку пересечения со стороной AB. Образован треугольник ACH подобен треугольника ABC, поскольку они оба прямоугольные (по определению высоты), и у них общий угол A, очевидно третий угол будет в этих треугольников также одинаков. Аналогично миркуюючы, треугольник CBH также подобен треугольника ABC. С подобия треугольников: Если

Это можно записать в виде

Если добавить эти две равенства, получим

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Другими словами, теорема Пифагора:

Доказательство Евклида
Доказательство Евклида в евклидовых «Началах», теорема Пифагора доказана методом параллелограммов. Пусть A, B, C вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A. Опустим перпендикуляр из точки A на сторону противоположную гипотенузы в квадрате построенном на гипотенузе. Линия делит квадрат на два прямоугольника, каждый из которых имеет такую же площадь, что и квадраты построены на катетах. Главная идея при доказательстве состоит в том, что верхние квадраты превращаются в параллелограммы такой же площади, а потом возвращаются и превращаются в прямоугольники в нижнем квадрате и снова при неизменной площади.

Проведем отрезки CF и AD, получим треугольники BCF и BDA.
Углы CAB и BAG – прямые; соответственно точки C, A и G – коллинеарны. Так же B, A и H.
Углы CBD и FBA – оба прямые, тогда угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
Треугольник ABD и FBC уровне по двум сторонам и углу между ними.
Поскольку точки A, K и L – коллинеарны, площадь прямоугольника BDLK равна двум площадям треугольника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогично миркуюючы получим CKLE = ACIH = AC 2
С одной стороны площадь CBDE равна сумме площадей прямоугольников BDLK и CKLE, а с другой стороны площадь квадрата BC 2, или AB 2 + AC 2 = BC 2.

Используя дифференциалы
Использование дифференциалов. Теореме Пифагора можно прийти, если изучать как прирост стороны влияет на ведичину гипотенузы как показано на рисунке справа и применить небольшое вычисления.
В результате прироста стороны a, из подобных треугольников для бесконечно малых приращений

Интегрируя получим

Если a = 0 тогда c = b, так что "константа" – b 2. Тогда

Как можно увидеть, квадраты получен благодаря пропорции между приращениями и сторонами, тогда как сумма является результатом независимого вклада приростов сторон, не очевидно из геометрических доказательств. В этих уравнениях da и dc – соответственно бесконечно малые приращения сторон a и c. Но вместо них мы используем? a и? c, тогда предел отношения, если они стремятся к нулю равна da / dc, производная, и также равен c / a, отношению длин сторон треугольников, в результате получаем дифференциальное уравнение.
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которую также называют теоремой Пифагора:

Если – Это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов называется равенства Парсеваля.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника .

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

треугольник прямоугольный.

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений ).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H .

Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения:

получаем:

,

что соответствует -

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

​

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим: