С помощью уравнения шредингера можно рассчитать. Уравнение Шредингера (общие свойства)

1. Введение

Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.

В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.

Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что "перескок" электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.

Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.

Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.

Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.

Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.

Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.

Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.

Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более "физическими"; операции же над матрицами - более громоздкими.

Функция Ψ. Нормировка вероятности.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.

Плоская волна де Бройля

является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией

Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:

где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.

Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.

Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.

№1 Стационарное уравнение Шредингера имеет вид . Это уравнение записано для….

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид

, где потенциальная энергия микрочастицы. Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика , а вне ящика частица находиться не может, т.к. его стенки бесконечно высоки. Поэтому данное уравнение Шредингера записано для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками.

Линейного гармонического осциллятора

ü Частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Частицы в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Электрона в атоме водорода

Установите соответствия между квантовомеханическими задачами и уравнениями Шредингера для них.

Общий вид стационарного уравнения Шредингера имеет вид:

Потенциальная энергия частицы,

Оператор Лапласа. Для одновременного случая

Выражение для потенциальной энергии гармонического осциллятора,т.е частицы совершающей одномерное движение под действием квазиупругой силы имеет вид U= .

Значение потенциальной энергии электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками U=0.Электрон в водородоподобном атоме обладаем потенциальной энергией Для атома водородаZ=1 .

Таким образом, для электрона в одномерном потенциальном ящике ур-ие Шредингера имеет вид:

С помощью волновой функции,являющейся решением уравнения Шредингера,можно определить….

Варианты ответа: (Укажите не менее двух вариантов ответа)

Средние значения физических величин,характеризующих частицу

Вероятность того,что частица находится в определенной области пространства

Траекторию частицы

Местонахождение частицы

Величина имеет смысл плотности вероятности(вероятности,отнесенной к единице объема),т.е определяет вероятность пребывания частицы в соответствующем месте пространства.Тогда вероятность W обнаружения частицы в определенной области пространства равна

Уравнение Шредингера (конкретные ситуации)

№1Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид где ширина ящика, квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если число узлов функции на отрезке и , то равно…

Число узлов , т.е. число точек, в которых волновая функция на отрезке обращается в нуль, связано с номером энергетического уровня соотношением . Тогда , и по условию это отношение равно 1,5. Решая полученное уравнение относительно , получаем, что

Ядерные реакции.

№1 В ядерной реакции буквой обозначена частица …

Из законов сохранения массового числа и зарядового числа следует, что заряд частицы равен нулю, а массовое число равно 1. Следовательно, буквой обозначен нейтрон.

ü Нейтрон

Позитрон

Электрон

На графике в полулогарифмическом масштабе показана зависимость изменения числа радиоактивных ядер изотопа от времени.Постоянная радиоактивного распада в равна …(ответ округлите до целых)

Число радиоактивных ядер изменяется со временем по закону -начальное число ядер, -постоянная радиоактивного распада.Прологарифмировав это выражение,получим

ln .Следовательно, =0,07

Законы сохранения в ядерных реакциях .

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения …

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса (спина) и всех зарядов (электрического , барионного и лептонного ). Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий, но определяют также все возможности этих последствий. Для выбора правильного ответа надо проверить, каким законом сохранения запрещена и какими разрешена приведенная реакция взаимопревращения элементарных частиц. Согласно закону сохранения лептонного заряда в замкнутой системе при любых процессах, разность между числом лептонов и антилептонов сохраняется. Условились считать для лептонов: . лептонный заряд а для антилептонов: . лептонный заряд . Для всех остальных элементарных частиц лептонные заряды принимаются равными нулю. Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения лептонного заряда , т.к.

ü Лептонного заряда

Барионного заряда

Спинового момента импульса

Электрического заряда

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения…

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии,импульса,момента импульса(спина)и всех зарядов(электрического Q,барионного B и лептонного L).Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий,но определяют также все возможности этих последствий. Согласно закону сохранения барионного заряда B,для всех процессов с участием барионов и антибарионов суммарный барионный зарад сохраняется. Барионам (нуклонам n,p и гиперонам)приписывается барионный заряд

B=-1,а всем остальным частицам барионный заряд-B=0.Реакция не может идти из-за нарушения закона барионного заряда B,т.к (+1)+(+1)

Варианты ответа: ,лептонного заряда,спинового момента импульса,электрического заряда. Q=0, антипротона (

Для частиц квантового мира действуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами и частицы, и волны – и, действительно, при рассеивании пучка электронов на отверстии наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому можно говорить не о движения квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в конкретной точке в некий момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Зачастую частица передвигается сквозь силовое поле, не зависящее от времени. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шрёдингера:

В представленном уравнении m и Е – и соответственно энергия частицы, пребывающей в силовом поле, а U – этого поля. — оператор Лапласа. — постоянная Планка, равная 6,626 10 -34 Дж с.

(её также называют амплитудой вероятности, или пси-функцией) – это и есть функция, позволяющая узнать, в каком месте пространства, скорее всего, будет находиться наш микрообъект. Физический смысл имеет не сама функция, а её квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме :

Следовательно, найти функцию в конечном объеме можно с вероятностью:

Так как пси-функция – вероятность, то она не может быть ни меньше нуля, ни превышать единицу. Полная вероятность найти частицу в бесконечном объеме – это условие нормировки:

Для пси-функции работает принцип суперпозиции: если частица или система может находиться в ряде квантовых состояний , то для нее возможно и состояние, определяемое их суммой:

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет множество решений, однако при решении следует учесть граничные условия и отобрать только собственные решения – те, которые обладают физическим смыслом. Такие решения существуют только для отдельных значений энергии частицы Е, которые и образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2 . Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует волновая функция ψ n (x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2). Состояния частицы ψ n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3 . Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

4.4 . Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R nl (r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R nl (r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

4.5 . Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений

2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34 Дж·сек.

Пространственное квантование . Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6 . Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение . Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.

Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7 . Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1,..., |l − s|

Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:

J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.

Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .

4.8 . Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n (1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

где U 0 , а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j z , однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ -). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Из статистического толкования волн де Бройля (см. § и соотношения не- определенностей Гейзенберга (см. § 215) следовало, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравне- ние, из которого бы вытекали наблю- даемые на опыте волновые свойства частиц.

Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции так как именно она, или, точнее, величина |Ф|2, определяет вероятность пребывания частицы в мо- мент времени t в объеме dV, в обла- сти с координатами и х + dx, y+dy,

z и Так как искомое уравнениедолжно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, опи- сывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивист- ской квантовоймеханики сформулиро- вано в 1926 г. Э.Шредингером. Урав- нение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравне- ния Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электро- магнитного поля), не выводится, а по- стулируется. Правильность этого урав- нения подтверждается согласием с опы- том получаемых с его помощью резуль- татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение

Шредингера имеет вид

Мнимаяединица, y,z,t) -

Потенциальная функция частицы в си- ловом поле, в котором она движется; z,t) - искомая волновая функция

Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоро- стью, т. е. со скоростью v с. Оно до- полняется условиями, накладываемы- ми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, одно- значной и непрерывной (см. § 216);

2) производные -, -, --, долж-

дх ду

ны быть непрерывны; 3) функция |Ф|2 должна быть интегрируема; это усло- вие в простейших случаях сводится к

Условию нормировки (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно де Бройля, сопостав- ляется Для простоты рассмот- рим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) t) = A cos - илив комплекснойзаписи t)- Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что - = -). В квантово й

Показатель экспоненты берут со знаком « - », поскольку физический смысл имеет только |Ф|2, то это несуществен- но. Тогда

Используя взаимосвязь между энерги- ей Е и импульсом = --) и подставляя

выражения (217.3), получим дифференци- альное уравнение

которое совпадает с уравнением для случая U- О (мы рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энерги- ей U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и ис- пользуя взаимосвязь между ("для

Случая = Е -U), придем к диффе- ренциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не долж- ны восприниматься как вывод уравне- ния Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравне- ния Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость времени, иными словами, найти урав- нение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксирован- ными значениями энергии. Это возмож- но, если силовое поле, в котором час- тица движется, стационарно, т. е. функ- ция U= z) не зависит явно от вре- мени и имеет смысл потенциальной энергии.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выража-

Ется множителем е" = е, так что

(217.4)

где Е - полная энергия частицы, посто- янная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

Откуда после деления па общий множи- тель е соответствующих преобра-

зовании придем к уравнению, опреде- ляющему функцию

Уравнение урав-

нением Шредингера для стационар- ных состояний. В это уравнение в ка- честве параметра входит полная энер- гия Е частицы. В теории дифференци- альных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчислен- ное множество решений, из которых по- средством наложения граничных усло- вий отбирают решения, имеющие фи- зический

Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регуляр- ности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, од- нозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физичес- кий смысл имеют только такие реше- ния, которые выражаются регулярны- ми функциями Но регулярные реше- ния имеют место не при любых значе- ниях параметра Е, а лишь при опреде- ленном их наборе, характерном для дан- ной задачи. Эти значения энергии на- зываются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются соб- ственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как не- прерывный, так и дискретный ряд. В пер- вом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дис- кретном спектре.

§ 218. Принцип причинности в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости

принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображе- ниях. В классической механике, соглас- но принципупричинности- принци- пу классического детерминизма, по известному состоянию системы в неко- торый момент времени (полностью оп- ределяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и си- лам, приложенным к ней, можно абсо- лютно точно задать ее состояние в лю- бой последующий момент. Следова- тельно, классическая физика основыва- ется на следующем понимании причин- ности: состояние механической систе- мы в начальный момент времени с из- вестным законом взаимодействия час- тиц есть причина, а ее состояние в пос- момент - следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и опреде- ленную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса [задаются соотношением неопределен- ностей поэтому и делается вы- вод о том, что в начальный момент вре- мени состояние системы точно не оп- ределяется. Если же состояние системы не определенно в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. наруша- ется принцип причинности.

Однако никакого нарушения прин- ципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, по- скольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в класси- ческой механике. В квантовой меха- нике состояние микрообъекта полнос- тью определяется волновой функцией квадрат модуля которой

2 задает плотность вероятно- сти нахождения частицы в точке с ко- ординатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция удовлетворяет уравнению

Шредингера содержащему пер- вую производную функции Ф по време- ни. Это же означает, что задание функ- ции (для момента времени опре- деляет ее значение в последующие мо- менты. Следовательно, в квантовой ме- ханике начальное состояние есть причина, а состояние Ф в последующий момент - следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т.е. задание функции пре- допределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким обра- зом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествую- щего состояния, как того требует прин- цип причинности.

§219. Движение свободной частицы

Свободнаячастица - частица,дви- жущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную (пусть она движется вдоль оси х) силы не дей- ствуют, то потенциальная энергия час- тицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия ча- стицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убе- диться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция - где А = const и к = const, с собственным значением энергии

Функция = = представляет собой только координат- ную часть волновой функции Поэтому зависящая от времени волно- вая функция, согласно (217.4),

(219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [см. (217.2)].

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятиви- стских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое чис- ло к может принимать любые положи- тельные значения), т. е. энергетический спектр свободной частицы является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохро- матической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от време- ни плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероят- ными.

§ 220. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими

«стенками»

Проведем качественный анализ ре- шений уравнения Шредингера приме-

Рис. 299

(220.4)

нительно к частице в одномерной пря- моугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Та- кая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принима- ем, что частица движется вдоль оси х)

где ширина «ямы», а энергия отсчи- тывается от ее дна (рис. 299).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одно- мерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно вы- сокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и вол- новая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х- 0 и х = непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло- вия в данном случае имеют вид

В пределах «ямы» (0 х урав- нение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

Общее решение дифференциально- го уравнения (220.3):

Так как по (220.2) = 0, то В = 0.

(220.5)

Условие (220.2) = 0 выполняется только при где п - целые числа, т. е. необходимо, чтобы

Из выражений (220.4) и (220.6) сле- дует,

т. е. стационарное уравнение Шредин- гера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяет- ся только при собственных значени- ях зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия частицы в

«потенциальной яме» с бесконечно вы- сокими «стенками» принимает лишь определенныедискретныезначения, т.е. квантуется.

Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а чис- ло п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определен- ном энергетическом уровне или, как говорят, частица находится в квантовом

Подставив в (220.5) значение к из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А най- дем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования полу-

А - а собственные функции будут иметь вид

I рафики собственных функции (220.8), соответствующие уровням

энергии (220.7) при п=1,2, 3, приведе- ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра- жена плотность вероятности обнаруже- ния частицы на различных расстояни- ях от «стенок» ямы, равная =

Для п= 1, 2 и 3. Из рисун- ка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может на- ходиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое пове- дение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны. Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя

Соседними уровнями равен

Например, для электрона при раз- мерах ямы - 10"1 м (свободные элек-

Троны в металле) 10 Дж

Т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерыв- ным. Если же размеры ямы соизмери- мы с атомными м), то для электрона Дж эВ, т.е. получаются явно дискретные зна- чения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравне- ния Шредингера к частице в «потенци- альной яме» с бесконечно высокими

«стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как клас- сическая механика на энергию этой ча- стицы никаких ограничений не накла- дывает.

Кроме того,

Рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциаль- ной яме» с бесконечно высокими «стен- ками» не может иметь энергию меньше

Минимальной, равной [см. (220.7)].

Наличие отличной от нуля мини- мальной энергии не случайно и выте- кает из соотношения неопределеннос- тей. Неопределенность координаты Ах частицы в «яме» шириной Ах= Тогда, согласно соотношению неопре- деленностей импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса

Такому разбросу значений

импульса соответствует кинетическая энергия

Все остальные уровни (п > 1) име- ют энергию, превышающую это мини- мальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следу- ет, что при больших квантовых числах

т. е. соседние уровни расположены тес- но: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последова- тельности уровней и характерная осо- бенность квантовых процессов - диск- ретность - сглаживается. Этот резуль- тат является частным случаем принци- па соответствия Бора (1923), соглас- но которому законы квантовой механи- ки должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полнос- тью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее примене- ния, причем в определенных предель- ных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относи- тельности переходят при v с в форму- лы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза да Бройля приписывает вол- новые свойства всем телам, но в тех слу- чаях, когда мы имеем дело с макроско- пическими телами, их волновыми свой- ствами можно пренебречь, т.е. приме- нять классическую механику Ньютона.

§ 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Туннельный эффект

простейший потенци- альный барьер прямоугольной формы (рис. для одномерного (по оси движения частицы. Для потенциально- го барьера прямоугольной формы вы- сотой шириной /можем записать

При данных условиях задачи клас- сическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над ба- рьером (при Е > U), либо отразится от него (при Е < U) будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микро- частицы, даже при Е > U, имеется от- личная от нуля вероятность, что части- ца отразится от барьера и будет двигать- ся в обратную сторону. При Е име- ется также отличная от нуля вероят- ность, что частица окажется в области х> т.е. проникнет сквозь барьер. По- добные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, опи-

412

сывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Уравнение (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных рис. 301, а области име- ет

(для областей

(для области

Общие решения этих дифференци- альных уравнений:

Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 име- ется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент формуле (221.3) следует принять рав- ным нулю.

В области 2 решение зависит от со- отношений E>U или Е Физичес- кий интерес представляет случай, ког- да полная энергия частицы меньше вы- соты потенциального барьера, посколь- ку при Е законы классической фи- зики однозначно не разрешают части- це проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно q = - мни- мое число, где

(для области

(для области 2);

Значение q и 0, полу- чим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

В этом выражении первое слагаемое представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (со- ответствует частице, движущейся в сто- рону барьера), а второе - волну, рас- пространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барь- ера (соответствует частице, движущей- ся от барьера налево).

(для области 3).

В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распро- страняющимся в обе стороны, посколь- ку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно по- казать, что для частного случая высо- кого и широкого барьера, когда 1,

Качественный характер функций и иллюстрируется на рис. 301, откуда следует, что волно-

Функция не равна нулю и внутри ба- рьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей ампли- тудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля веро- ятность прохождения сквозь потенци- альный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому спе- цифическому квантовому явлению, по- лучившему название туннельного эф- фекта, в результате которого микро- объект может «пройти» сквозь потен- циальный барьер. через Совместное решение уравнений для прямоугольного потенциального барьера дает (в предпо- ложении, что коэффициент прозрачно- сти мал по сравнению с единицей)

где - постоянный множитель, кото- рый можно приравнять единице; U - высота потенциального барьера; Е - энергия частицы; - ширина барьера.

Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины / барьера и от (U - чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произ- вольной формы (рис. 302), удовлетво- ряющей условиям так называемого ква- зиклассического приближения (доста- точно гладкая форма кривой), имеем

где U= U(x).

С классической точки зрения про- хождение частицы сквозь потенциаль- ный барьер при Е невозможно, так как частица, находясь в области барье- ра, должна была бы обладать отрица- тельной кинетической энергией. Тун- нельный эффект является специфиче- ским квантовым эффектом.

Прохождение частицы сквозь об- ласть, в которую, согласно законам клас- сической механики, она не может про- никнуть, можно пояснить соотношени- ем неопределенностей. Неопределен- ность импульса Ар на отрезке Ах = со- ставляет Ар > -. Связанная с этим раз- бросом в значениях импульса кинети-

302

Ческая энергия может оказаться

достаточной для того, чтобы полная

энергия частицы оказалась больше по- тенциальной.

Основы теории туннельных перехо- дов заложены в работах Л. И. Мандель- штама

Туннельное прохождение сквозь потен- циальный барьер лежит в основе мно- гих явлений физики твердого тела (на- пример, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атом- ной и ядерной физики (например, распад, протекание термоядерных реак- ций).

§ 222. Линейный гармонический осциллятор

В квантовой механике

Линейный гармонический осцил- лятор - система, совершающая одно- мерное движение под действием квази- упругой силы, - является моделью, ис- пользуемой во многих задачах класси- ческой и квантовой теории (см. § 142). Пружинный, физический и математи- ческий маятники - примеры класси- ческих гармонических осцилляторов.

Потенциальная энергия гармони- ческого осциллятора [см. (141.5)] равна

Где - собственная частота колебаний осциллятора; т - масса частицы.

Зависимость (222.1) имеет вид пара- болы (рис. 303), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является парабо- лической.

Амплитуда малых колебаний клас- сического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 17).

дингера учитывающим выраже- ние (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния кванто- вого осциллятора определяются урав- нением Шредингера вида

= 0, (222.2)

где Е - полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных урав-

нений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собствен- ных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может

иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена сни- зу отличным от нуля, как и для прямо- угольной «ямы» с бесконечно высоки- ми «стенками» (см. § 220), минималь- ным значением энергии = Су-

ществование минимальной энергии - она называется энергией нулевых ко- лебаний - является типичной для кван- товых систем и представляет собой пря- мое следствие соотношения неопреде- ленностей.

Наличие нулевых колебаний означа- ет, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы» (независимо от формы ямы). В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопреде- ленность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в

«потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора про- тиворечит выводам классической тео- рии, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осцил- лятор, равна нулю (соответствует поко- ящейся в положении равновесия части- це). Например, согласно выводам клас- сической физики при Т = 0 энергия колебательного движения атомов кри- сталла должна была бы обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное коле- баниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассея- ния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторо- му предельному значению, указываю- щему на то, что при Т 0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.

Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармо- нического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (см. рис. 303), а именно расстоя- ние между соседними энергетическими уровнями равно причем минималь- ное значение энергии =

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значительному отличию от классиче