Сила действующая на электрон в магнитном поле. Движение электронов в магнитном поле
Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизменном во времени и направленном перпендикулярно скорости. Под заряженной частицей мы будем подразумевать электрон. Заряд его обозначим q =- q э и массу m . Заряд примем равным q э =1,601 . 10 -19 Кл, при скорости движения, значительно меньшей скорости света, масса m =0,91 . 10 -27 г. Допустим, что электрон движется в достаточно высоком вакууме, так что при движении электрон не сталкивается с другими частицами. На электрон, движущийся со скоростью в магнитном поле индукции, действует сила Лоренца
Учтем, что заряд электрона отрицателен, и скорость его направлена по оси y , а индукция по оси- x . Сила направлена перпендикулярно скорости и является центробежной силой. Она изменяет направление скорости, не влияя на числовое значение (см. рис.1)
Электрон будет двигаться по окружности радиусом r с угловой частотой, которую называют циклотронной частотой. Центробежное ускорение равно силе f , деленной на массу
Период равен
Следовательно
Движение электрона в неизменном во времени магнитном поле, когда скорость электрона не перпендикулярна силовым линиям
Рассмотрим два случая:
а) Движение в равномерном поле. На рис 2. обозначен угол между скоростью электрона и индукцией. Разложим на, направленную по и численно равную, и на, направленную перпендикулярно и численно равную. Так как, то наличие составляющей скорости не вызывает силы воздействия на электрон. Движение со скоростью приводит к вращению электрона вокруг линии подобно тому, как это было рассмотрено в первом пункте. В целом электрон будет двигаться по спирали. Осевой линией которой является линия магнитной индукции. Поступательное и одновременно вращательное движение называют дрейфовым движением. Радиус спирали шаг спирали
б) Движение в неравномерном поле. Если магнитное поле неравномерно, например сгущается (рис.2 в.), то при движении по спирали электрон будет попадать в точки поля, где индукция В увеличивается. Но чем больше индукция В, тем при прочих равных условиях меньше радиус спирали r . Дрейф электрона будет происходить в этом случае по спирали со всем уменьшающимся радиусом. Если бы
магнитные силовые линии образовывали расходящийся пучок, то электрон при своем движении попадал бы в точки поля со все уменьшающейся индукцией и радиус спирали возрастал бы
Фокусировка пучка электронов по¬стоянным во времени магнитным полем (магнитная линза)
Из катода электронного прибора (рис. 3) выходит расходящийся пучок электронов. Со скоростью электроны входят в неравномерное магнитное поле узкой цилиндрической катушки с током
Разложим скорость электрона в произвольной точке т на две составляю¬щие: и
Первая направлена противоположно, а вторая -перпендикулярно. Возникшая ситуация повторяет ситуацию, рассмотренную в пункте 2. Электрон нач¬нет двигаться по спирали, осью которой является. В результате электронный пучок фокусируется в точке b .
Движение электронов в равномерном электрическом поле. Принцип работы электронного осциллографа
Электрон, пройдя расстояние от катода К до узкого отверстия в аноде А (рис. 4, а), под действием ускоряющего напря¬жения U ак увеличивает свою кинетическую энергию на величину работы сил по¬ля
Скорость с которой электрон будет двигаться после выхода в аноде из отверстия 0, найдем из соотношения
При дальнейшем прямолинейном движении по оси х электрон попадает в равномерное электрическое поле, напряженностью Е между отклоняющими пластинами 1 и 2 (находятся в плоскостях, параллельных плоскости z ох).
Напряженность Е направлена вдоль оси у. Пока электрон движется между от¬клоняющимися пластинами, на него действует постоянная сила Fy = - q э E . направленная но оси -у. Под действием этой силы электрон движется вниз рав¬ноускоренно, сохраняя постоянную скорость вдоль оси х. В результате в про¬странстве между отклоняющими пластинами электрон движется по параболе. Когда он выйдет из поля пластин 1-2. в плоскости уох он будет двигаться по касательной к пара¬боле. Далее он попадает в поле пластин 3-4 , которые создают развертку во времени. Напряже¬ние U 31 между пластинами 3-4 и напряженность поля между ними E 1 линейно нарастают во времени (рис. 4, б). Электрон получает отклонение в направлении оси z , что и даст развертку во времени
Движение электрона в тормозящем поле
Пусть начальная скорость электрона v0 противоположна по направлению силе F, действующей на электрон со стороны поля.
Электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом. Так как сила F направлена навстречу скорости v0 то электрон тормозится и движется равнозамедленно. Поле в этом случае называют тормозящим. Энергия электронов в тормозящем поле уменьшается, так как работа совершается не полем, а самим электроном, который преодолевает сопротивление сил поля. Таким образом, в тормозящем поле электрон отдает энергию полю.
Если начальная энергия электрона равна еU0 и он проходит в тормозящем поле разность потенциалов U, то его энергия уменьшается на еU. Когда, электрон пройдет все расстояние между электродами и ударит в электрод с более низким потенциалом. Если же, то, пройдя разность потенциалов U0, электрон потеряет всю свою энергию, скорость его станет равна нулю и он начнет ускоренно двигаться обратно. Таким образом, электрон совершает движение, подобное полету тела, брошенного вертикально вверх.
Движение электрона в однородном поперечном поле
Если электрон вылетает с начальной скоростью v0 под прямым углом к направлению силовых линий поля то поле действует
На электрон с силой F, направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы F электрон совершал бы равномерное прямолинейное движение по инерции со скоростью v0.А под действием силы F электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном v0.Результирующее движение происходит по параболе, причем электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон выйдет за пределы поля, как показано на рисунке, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Это подобно движению тела, брошенного с некоторой начальной скоростью в горизонтальном направлении. Под действием силы тяжести такое тело при отсутствии воздуха двигалось бы по параболической траектории.
Электрическое поле всегда изменяет в ту или другую сторону энергию и скорость электрона. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Скорость электрона при ударе об электрод определяется только начальной скоростью и пройденной разностью потенциалов между конечными точками пути.
Движение электронов в однородном магнитном поле
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Когда неоднородность поля незначительна или когда нет необходимости в получении точных количественных результатов, можно пользоваться законами, установленными для движения электрона в однородном поле.
Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям (рис. В этом случае на движущийся электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору v0 и вектору магнитной индукции В:
Как видно, при v0 = 0 сила F равна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.
Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости v0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются, а изменяется лишь направление скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью происходит благодаря действию направленной к центру (центростремительной) силы, т. е. силы F.
Направление движения электрона в магнитном поле удобно определять по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых, линий, то электрон движется по часовой стрелке. Или иначе: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий.
Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся, выражением для центростремительной силы, известным из механики,
и приравняем его значению силы F по формуле (14):
Теперь из этого уравнения можно найти радиус:
Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится к прямолинейному движению по инерции и тем больше радиус траектории. С увеличением В растет сила F, искривление траектории усиливается и радиус уменьшается.
Выведенная формула справедлива для частиц с любой массой и зарядом.
Чем больше масса, тем сильнее стремится частица лететь по инерции прямолинейно, т. е. радиус r становится больше. А чем больше заряд, тем больше сила F и тем сильнее, искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции прямолинейно. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Рассмотрим более общий случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона v0 лежал в этой плоскости и чтобы ось х совпадала по направлению с вектором В.
Разложим v0 на составляющие и. Движение электрона со скоростью. эквивалентно току вдоль силовых линий. Но на такой ток магнитное поле не действует, т. е. скорость. не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, то он двигался бы прямолинейно и равномерно. А влияние поля на скорость такое же, как и в основном случае по рис. Имея только скорость электрон совершал бы движение по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.
Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (часто говорят "по спирали"). В зависимости от значений В, и эта винтовая траектория более или менее растянута. Ее радиус легко определить по формуле (16), подставив в нее скорость.
Для решения этой задачи так же воспользуемся прямоугольной системой координат. Ось у направим навстречу вектору магнитной индукции В, а ось х - так, чтобы вектор скорости электрона v0 находящегося в момент времени t = 0 в точке начала координат, лежал в плоскости XOY,. т.е. имеем компоненты vxo и vyo
В отсутствии электрического поля система уравнений движения электрона принимает вид:
или с учетом условий Вx =Bz=0, а Вy = - В:
Движение электрона в однородном магнитном поле
Интегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t=0, vy =vyo приводит к соотношению:
т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлении силовых линий поля.
Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее в дифференцировании первого по времени и подстановке значения dvz /dt из третьего, приводит к уравнению, связывающему скорость электрона vx со временем:
Решение уравнений такого типа можно представить в виде:
причем из начальных условий при t=0, v x=vx0 , dvx/dt=0 (что следует из первого уравнения системы, так как vz0 = 0) вытекает, что
Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системы приводит к выражению:
Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:
которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости (энергии) электрона.
В результате интегрирования уравнения, определяющего его vx, получаем:
постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.
Интегрирование уравнения, определяющего скорость vz с учетом того, что при z = 0, t = 0 позволяет найти зависимость от времени координаты z электрона:
Решая два последних уравнения относительно и, возводя в квадрат и складывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электрона на плоскости XOZ:
Это уравнение окружности радиуса, центр которой расположен на оси z на расстоянии r от начала координат (рис. 2.2). Сама траектория электрона представляет собой цилиндрическую спираль радиуса с шагом. Из полученных уравнений очевидно также, что величина представляет собой круговую частоту движения электрона по этой траектории.
Рассмотрим оператор Паули для случая постоянного магнитного поля. Вычисления мы проведем для наглядности в прямоугольных декартовых координатах. Если магнитное поле достаточно слабо, то членами в операторе содержащими квадрат
векторного потенциала, мы можем пренебречь, в линейных же членах мы можем заменить выражениями
которые дают
где составляющие орбитального момента количества движения электрона (см. (1) § 1).
Используя (2), мы получим для приближенное выражение
Добавляя к согласно (19) § 5, члены, зависящие от спина, мы будем иметь
В это выражение входит скалярное произведение магнитного поля на вектор магнитного момента электрона
Этот вектор складывается из двух частей: орбитальной и спиновой. Орбитальная часть пропорциональна орбитальному моменту количества движения электрона
и спиновая часть пропорциональна собственному (спиновому) моменту
При этом множитель пропорциональности между магнитным и механическим моментом для спиновой части вдвое больше, чем для орбитальной. Этот факт иногда называют магнитной аномалией спина.
В задаче со сферической симметрией зависящая от магнит» иого поля поправочная часть оператора энергии (4) коммутирует
с главной частью (оператором (7) § 5). Поэтому поправка к уровню энергии на магнитное поле состоит просто в добавлении к нему собственного значения поправочного члена в (4). Если направить ось вдоль магнитного поля, то добавка будет равна
где есть собственное значение оператора
Однако происходящая от спина поправка к состоящая в замене на не вносит новых уровней, поскольку есть целое число. Существенную роль играют здесь лишь поправки на теорию относительности.
В операторе энергии Паули Я [формула (4)] эти поправки не учитываются. Учет их приводит к тому, что в поле со сферической симметрией уравнение для радиальных функций будет содержать не только квантовое число I теории Шредингера, но и квантовое число входящее в уравнение для шаровых функций со спином
[формула (22) § 1] и связанное с соотношением
[формула (20) § 1].
Мы знаем, что при будет единственное значение но при возможны два значения а именно, . В результате Шредингеровский уровень, соответствующий данному значению I (и определенному значению главного квантового числа распадается при на два близких уровня, которые образуют дублет. Этот дублет принято называть релятивистским дублетом.
В уравнении для радиальных функций порядок величины релятивистского поправочного члена по отношению к главному (потенциальной энергии) может характеризоваться величиной где
есть безразмерная постоянная, которую принято называть постоянной тонкой структуры. Влияние же магнитного поля на уровни энергии характеризуется величиной (8).
Расщепление уровней энергии в магнитном поле носит название явления Зеемана (Zeeman).
Полная теория явления Зеемана для атома водорода будет изложена в конце этой книги на основе теории Дирака. Здесь же мы хотели бы только подчеркнуть тот факт, что поведение
электрона в магнитном поле убедительно доказывает наличие у него новой степени свободы, связанной со спином.
Существование этой новой степени свободы электрона играет особенно важную роль в квантовомеханической теории системы многих электронов (например, атома или молекулы), которую нельзя даже формулировать, не учитывая свойств симметрии волновой функции по отношению к перестановкам электронов. Эти свойства заключаются в требовании, чтобы волновая функция системы электронов, выраженная через совокупности переменных относящихся к каждому электрону, меняла знак при перестановке двух таких совокупностей, относящихся к двум электронам. Требование это называется принципом Паули или принципом антисимметрии волновой функции. Существенно отметить, что в число переменных каждого электрона входит, кроме его координат, также и его спиновая переменная а. Это показывает, что введение спиновой степени свободы электрона необходимо уже в нерелятивистской теории.
Многоэлектронной задаче квантовой механики будет посвящена следующая часть этой книги.
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Если неоднородность поля незначительна, или если нет необходимости в получении точных количественных оценок, то для изучения движения в неоднородном поле также можно пользоваться более простыми законами, полученными для однородного поля.
Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью V 0 , направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям, рис. 5. В этом случае на электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору V 0 и вектору магнитной индукции В, а численно равна:
При V 0 =0 сила F также равна нулю (на неподвижный электрон магнитное поле не действует). Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Так как сила F действует под прямым углом к скорости V 0 , она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются. Изменяется лишь направление движения.
Направление движения электрона определяется следующему мнемоническому правилу: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий. Это правило часто называют правилом буравчика.
Известно, что движение тела по окружности с постоянной скоростью происходит под действием направленной к центру (центростремительной) силы. В нашем случае в качестве центростремительной выступает сила Лоренца F. Из механики известно, что центростремительная сила может быть рассчитана по формуле:
где r – радиус окружности вращения электрона. Приравняв центростремительную силу, получаемую из последнего выражения к выражению для силы Лоренца, получим:
.
Откуда найдем радиус:
Чем больше скорость электрона, тем больше и радиус окружности, описываемой им в магнитном поле. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон летит равномерно и прямолинейно по инерции. Если же радиус окружности мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Рассмотрим случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом, рис. 6. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона V 0 лежал в этой плоскости и чтобы ось Х совпадала по направлению с вектором В. Разложим V 0 на составляющие V x и V y . Движение электрона со скоростью V x эквивалентно току вдоль силовых линий. На такой ток магнитное поле не действует. Следовательно скорость V x не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, он бы двигался прямолинейно и равномерно. Влияние поля на скорость V y такое же, как и в первом случае, отображенном на рис. 6. имея только скорость V y электрон двигался бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.
Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (по спирали). В зависимости о значений B, V x и V y , эта спираль более или менее растянута. Радиус спирали легко определить по последней формуле, подставив в нее скорость V y .
В некоторых электровакуумных приборах используется движение электронов в магнитном поле.
Рассмотрим случай, когда электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v 0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям. В этом случае на движущийся электрон действует так называемая сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору н0 и вектору напряженности магнитного поля Н. Величина силы F определяется выражением: F= ev0H.
При v0 = 0 сила Рравна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.
Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости н0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются по величине. Происходит лишь изменение направления скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью получается благодаря действию направленной к центру центростремительной силы, которой именно и является сила F.
Направление поворота электрона в магнитном поле в соответствии с правилом левой руки удобно определяется по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон движется по часовой стреле. Иначе говоря, поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается по направлению магнитных силовых линий.
Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся выражением для центростремительной силы, известным из механики: F = mv20/r. Приравняем его значению силы F = ev0H: mv20/r = ev0H. Теперь из этого уравнения можно найти радиус: r = mv0/(eH).
Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится двигаться прямолинейно по инерции и радиус искривления траектории будет больше. С другой стороны, с увеличением Н растет сила F, искривление траектории возрастает и радиус окружности уменьшается.
Выведенная формула справедлива для движения в магнитном поле частиц с любыми массами и зарядом.
Рассмотрим зависимость r от m и e. Заряженная частица с большей массой m сильнее стремится лететь по инерции прямолинейно и искривление траектории уменьшится, т. е. rстанет больше. А чем больше заряд e, тем больше сила F и тем сильнее искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше.
Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции по прямой линии. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Таким образом, магнитное поле изменяет только направление скорости электронов, но не ее величину, т. е. между электроном и магнитным полем нет энергетического взаимодействия. По сравнению с электрическим полем действие магнитного поля на электроны является более ограниченным. Именно поэтому магнитное поле применяется для воздействия на электроны значительно реже, нежели электрическое поле.
