Система линейных уравнений матрица онлайн. Решение системы с помощью обратной матрицы
(иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ . Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
- Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
- Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
- Используя равенство $X=A^{-1}\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.
Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ - матрица системы, $B$ - матрица свободных членов, $X$ - матрица неизвестных. Пусть матрица $A^{-1}$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^{-1}$ слева:
$$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $A^{-1}\cdot A=E$ ($E$ - единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:
$$E\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $E\cdot X=X$, то:
$$X=A^{-1}\cdot B.$$
Пример №1
Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.$ с помощью обратной матрицы.
$$ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). $$
Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2
$$ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$. Затем выполним умножение матриц
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Ответ : $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.$ методом обратной матрицы.
Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). $$
Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Основные понятия.
Определение 1 . Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
где и - числа.
Определение 2 . Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество.
Определение 3 . Система (I) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение и несовместной , если она не имеет решений. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной в противном случае.
Определение 4 . Уравнение вида
называется нулевым , а уравнение вида
называется несовместным . Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной.
Определение 5 . Две системы линейных уравнений называются равносильными , если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой.
Матричная запись системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему (I) (см. §1).
Обозначим:
Матрица коэффициентов при неизвестных
Матрица – столбец свободных членов
Матрица – столбец неизвестных
.
Определение 1. Матрица называется основной матрицей системы (I), а матрица - расширенной матрицей системы (I).
По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство:
.
Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1 ) можно разложить на множители:
, т.е.
Равенство (2) называется матричной записью системы (I) .
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Пусть в системе (I) (см. §1) m=n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение
где Δ = det A называется главным определителем системы (I), Δ i получается из определителя Δ заменой i -го столбца на столбец из свободных членов системы (I).
Пример.Решить систему методом Крамера:
.
По формулам (3) .
Вычисляем определители системы:
,
,
.
Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы:
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пусть в системе(I) (см. §1) m=n и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2 ):
т.к. матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1 ). Умножим обе части равенства (2) на матрицу , тогда
По определению обратной матрицы . Из равенства (3) имеем
Решить систему с помощью обратной матрицы
.
Обозначим
В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4) , т.е.
. (5)
Найдем матрицу (см. §6 главы 1 )
, , ,
, , ,
,
.
Метод Гаусса.
Пусть задана система линейных уравнений:
. (I)
Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.
Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы (I) любое из трёх действий:
1) вычёркивание нулевого уравнения;
2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;
3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.
Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.
Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы:
.
Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице .
Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.
В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х 1 , 2-ой столбец - из коэффициентов при х 2 и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х 2 , а во 2-ом столбце - коэффициенты при х 1 .
Будем решать систему (I) методом Гаусса.
1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).
2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.
3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a 11 =0 , то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).
4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x 1 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a 11 :
.
5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a 22 / =0 , если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a 22 /
.
Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х 2 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1 ) :
,
Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)
.
Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим .
Замечание 1. Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.
1. Система (I) несовместна.
2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных ().
3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных ().
Отсюда имеет место следующая теорема.
Теорема. Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.
Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:
б) ;
а) Перепишем заданную систему в виде:
.
Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).
Составляем расширенную матрицу:
.
Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим
.
Матрице соответствует система уравнений). - (см. определение 3§7 главы 1).
Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .
Общий вид матрицы:
Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:
- Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
- Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Основные виды матриц:
- Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
- Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
- Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
- Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
- Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.
Методы решения матриц.
Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.
Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:
Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:
При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":
Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.
Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.
Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы :
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Решение систем матриц.
Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.
Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.
Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.
Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям:
Определение обратной матрицы на основании главной матрицы:
Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений.
Допустим, дано СЛАУ следующего вида:
\[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\]
Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы:
Матрица правой части:
Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных элементов на определитель матрицы. Получим:
\[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \]
2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения СЛАУ:
Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
, ,.
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример Решить систему матричным методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
. Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна.