Сложение с одинаковыми знаменателями. Представление целого числа в виде дроби

Муниципальное образовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа №13»

Республика Коми, город Воркута

Урок математики в 5 классе по теме

«Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями»

Урок разработала учитель математики

Бабенко Н.Е.

г. Воркута

Технологическая карта урока по математике в 5 классе

Тема урока: Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Класс: 5

Дидактическая цель : создать условия для формирования новой учебной информации.

Цели по содержанию:

-обучающие: научить выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; повторить понятия «Правильная, неправильная дробь», обобщить и закрепить знания учащихся по сравнению дробей.

-развивающие: развивать внимание, умение анализировать, сравнивать, обобщать делать выводы. -воспитательные: воспитывать аккуратность при записи примеров и задач с обыкновенными дробями; способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения.

Задачи : получить новые знание по теме сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; учиться работать самостоятельно, делать выводы.

Тип урока : урок усвоения нового материала

Формы работы : индивидуальная, фронтальная, в группах.

Формы контроля : контроль со стороны учителя, самоконтроль, взаимоконтроль.

Методы обучения :

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: беседа;

Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковой, практический.

Учебно-методическое обеспечение : учебник «Математика. 5 класс» автора Виленкина Н.Я., презентация.

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор, доска, мел.

Литература:

1. Виленкин Н.Я., «Математика 5», «Мнемозина», 2007 г.

2. Чесноков А.С., «Дидактические материалы по математике, 5 кл», М, 2006 г

3. Супер-физкультминутка http://videouroki.net/diski.php

Просмотр содержимого презентации
«СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ»

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Организационный момент

Управляющие кнопки

«Вернуться назад» (возврат на предыдущий слайд)

«В начало» (возвращение на 1 слайд)

«Для выхода»

Ну-ка, проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Все ль в порядке,

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

Каждый хочет получать

Только лишь оценку «5».

Цели урока:

Обучающая:

Развивающая:

Воспитательная:

Обучающая:

Развивающая:

Воспитательная:

- повторить понятия «Правильная, неправильная дробь»,

- обобщить и закрепить знания по сравнению дробей,

- научиться выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Развивающая:

Воспитательная:

Обучающая:

- развивать внимание,

- развивать логическое мышление,

- развивать грамотную математическую речь.

Воспитательная:

Развивающая:

Обучающая:

- воспитывать аккуратность при записи примеров и задач с обыкновенными дробями.

Какую часть на рисунке составляет:

а) треугольник АВО от четырехугольника АВСО;

б) треугольник АOL от многоугольника CВАLK;

в) какая часть фигуры закрашена в красный цвет;

Какую часть на рисунке составляет:

а) треугольник АВО от четырехугольника АВСО;

б) треугольник АOL от многоугольника CВАL;

в) четырехугольника АВСО от всей фигуры.

Какую часть на рисунке составляет:

а) треугольник АВО от четырехугольника АВСО;

б) треугольник АOL от многоугольника CВАLK;

в) четырехугольника АВСО от всей фигуры.

Дополнительные название некоторых дробей

Половина (Одна из двух равных частей, вместе составляющих целое).

Треть (Одна из трех равных частей, на которые делится что-нибудь).

Четверть (Одна из четырех равных частей, на которые делится что-либо).

Собери урожай

Помогите Незнайке собрать груши на которых записаны неправильные дроби.

Дробь в которой числитель меньше знаменателя, называет правильной дробью.

Дробь в которой числитель больше знаменателя, называет неправильной дробью.

Сравните дроби

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило сложения можно записать так:

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило вычитания можно записать так:

Работа с учебником

Стр. 156

№ 1005

№ 1006

№ 1008

• Было трудно …
• Было интересно …
• Я научился …
• Меня удивило …
• У меня……….настроение

Бабенко Наталия Еманоиловна

Учитель математики

МОУ «СОШ№13«

г. Воркуты р. Коми.

§ 87. Сложение дробей.

Сложение дробей имеет много сходства со сложением целых чисел. Сложение дробей есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел (слагаемых) соединяются в одно число (сумму), содержащее в себе все единицы и доли единиц слагаемых.

Мы последовательно рассмотрим три случая:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Сложение дробей с разными знаменателями.
3. Сложение смешанных чисел.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример: 1 / 5 + 2 / 5 .

Возьмём отрезок АВ (рис. 17), примем его за единицу и разделим на 5 равных частей, тогда часть АС этого отрезка будет равна 1 / 5 отрезка АВ, а часть того же отрезка CD будет равна 2 / 5 АВ.

Из чертежа видно, что если взять отрезок AD, то он будет равен 3 / 5 АВ; но отрезок AD как раз и есть сумма отрезков АС и CD. Значит, можно записать:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Рассматривая данные слагаемые и полученную сумму, мы видим, что числитель суммы получился от сложения числителей слагаемых, а знаменатель остался без изменения.

Отсюда получаем следующее правило: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.

Рассмотрим пример:

2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сложим дроби: 3 / 4 + 3 / 8 Предварительно их нужно привести к наименьшему общему знаменателю:

Промежуточное звено 6 / 8 + 3 / 8 можно было бы и не писать; мы написали его здесь для большей ясности.

Таким образом, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.

Рассмотрим пример (дополнительные множители будем писать над соответствующими дробями):

3. Сложение смешанных чисел.

Сложим числа: 2 3 / 8 + 3 5 / 6 .

Приведём сначала дробные части наших чисел к общему знаменателю и снова их перепишем:

Теперь сложим последовательно целые и дробные части:

§ 88. Вычитание дробей.

Вычитание дробей определяется так же, как и вычитание целых чисел. Это есть действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое. Рассмотрим последовательно три случая:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
3. Вычитание смешанных чисел.

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:

13 / 15 - 4 / 15

Возьмём отрезок АВ (рис. 18), примем его за единицу и разделим на 15 равных частей; тогда часть АС этого отрезка будет представлять собой 1 / 15 от АВ, а часть AD того же отрезка будет соответствовать 13 / 15 AB. Отложим ещё отрезок ED, равный 4 / 15 АВ.

Нам требуется вычесть из 13 / 15 дробь 4 / 15 . На чертеже это значит, что от отрезка AD нужно отнять отрезок ED. В результате останется отрезок AЕ, который составляет 9 / 15 отрезка АВ. Значит, мы можем написать:

Сделанный нами пример показывает, что числитель разности получился от вычитания числителей, а знаменатель остался тот же самый.

Следовательно, чтобы сделать вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужновычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель.

2. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример. 3 / 4 - 5 / 8

Предварительно приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю:

Промежуточное звено 6 / 8 - 5 / 8 написано здесь для большей ясности, но его можно в дальнейшем пропускать.

Таким образом, чтобы вычесть дробь из дроби, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

3. Вычитание смешанных чисел.

Пример. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Приведём дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю:

Мы вычли целое из целого и дробь из дроби. Но бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого. А затем вычитание будет выполняться так же, как и в предыдущем примере:

§ 89. Умножение дробей.

При изучении умножения дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:

1. Умножение дроби на целое число.
2. Нахождение дроби данного числа.
3. Умножение целого числа на дробь.
4. Умножение дроби на дробь.
5. Умножение смешанных чисел.
6. Понятие о проценте.
7. Нахождение процентов данного числа. Рассмотрим их последовательно.

1. Умножение дроби на целое число.

Умножение дроби на целое число имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на целое. Умножить дробь (множимое) на целое число (множитель) - значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых равно множителю.

Значит, если нужно 1 / 9 умножить на 7, то это можно выполнить так:

Мы легко получили результат, так как действие свелось к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Следовательно,

Рассмотрение этого действия показывает, что умножение дроби на целое число равносильно увеличению этой дроби во столько раз, сколько единиц содержится в целом числе. А так как увеличение дроби достигается или путём увеличения её числителя

или путём уменьшения её знаменателя ,то мы можем либо умножить числитель на целое, либо разделить на него знаменатель, если такое деление возможно.

Отсюда получаем правило:

Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить на это целое число числитель и оставить тот же знаменатель или, если возможно, разделить на это число знаменатель, оставив без изменения числитель.

При умножении возможны сокращения, например:

2. Нахождение дроби данного числа. Существует множество задач, при решении которых приходится находить, или вычислять, часть данного числа. Отличие этих задач от прочих состоит в том, что в них даётся число каких-нибудь предметов или единиц измерения и требуется найти часть этого числа, которая здесь же указывается определённой дробью. Для облегчения понимания мы сначала приведём примеры таких задач, а потом познакомим со способом их решения.

Задача 1. У меня было 60 руб.; 1 / 3 этих денег я израсходовал на покупку книг. Сколько стоили книги?

Задача 2. Поезд должен пройти расстояние между городами А и В, равное 300 км. Он уже прошёл 2 / 3 этого расстояния. Сколько это составляет километров?

Задача 3. В селе 400 домов, из них 3 / 4 кирпичных, остальные деревянные. Сколько всего кирпичных домов?

Вот некоторые из тех многочисленных задач на нахождение части от данного числа, с которыми нам приходится встречаться. Их обычно называют задачами на нахождение дроби данного числа.

Решение задачи 1. Из 60 руб. я израсходовал на книги 1 / 3 ; Значит, для нахождения стоимости книг нужно число 60 разделить на 3:

Решение задачи 2. Смысл задачи заключается в том, что нужно найти 2 / 3 от 300 км. Вычислим сначала 1 / 3 от 300; это достигается при помощи деления 300 км на 3:

300: 3 = 100 (это 1 / 3 от 300).

Для нахождения двух третей от 300 нужно полученное частное увеличить вдвое, т. е. умножить на 2:

100 х 2 = 200 (это 2 / 3 от 300).

Решение задачи 3. Здесь нужно определить число кирпичных домов, которые составляют 3 / 4 от 400. Найдём сначала 1 / 4 от 400,

400: 4 = 100 (это 1 / 4 от 400).

Для вычисления трёх четвертей от 400 полученное частное нужно увеличить втрое, т. е. умножить на 3:

100 х 3 = 300 (это 3 / 4 от 400).

На основании решения этих задач мы можем вывести следующее правило:

Чтобы найти величину дроби от данного числа, нужно разделить это число на знаменатель дроби и полученное частное умножить на её числитель.

3. Умножение целого числа на дробь.

Ранее (§ 26) было установлено, что умножение целых чисел нужно понимать, как сложение одинаковых слагаемых (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). В настоящем параграфе (пункт 1) было установлено, что умножить дробь на целое число - это значит найти сумму одинаковых слагаемых, равных этой дроби.

В обоих случаях умножение состояло в нахождении суммы одинаковых слагаемых.

Теперь мы переходим к умножению целого числа на дробь. Здесь мы встретимся с таким, например, умножением: 9 2 / 3 . Совершенно очевидно, что прежнее определение умножения не подходит к данному случаю. Это видно из того, что мы не можем такое умножение заменить сложением равных между собой чисел.

В силу этого нам придётся дать новое определение умножения, т. е., иными словами, ответить на вопрос, что следует разуметь под умножением на дробь, как нужно понимать это действие.

Смысл умножения целого числа на дробь выясняется из следующего определения: умножить целое число (множимое) на дробь (множитель) - значит найти эту дробь множимого.

Именно, умножить 9 на 2 / 3 - значит найти 2 / 3 от девяти единиц. В предыдущем пункте решались такие задачи; поэтому легко сообразить, что у нас в результате получится 6.

Но теперь возникает интересный и важный вопрос: почему такие на первый взгляд различные действия, как нахождение суммы равных чисел и нахождение дроби числа, в арифметике называются одним и тем же словом «умножение»?

Происходит это потому, что прежнее действие (повторение числа слагаемым несколько раз) и новое действие (нахождение дроби числа) дают ответ на однородные вопросы. Значит, мы исходим здесь из тех соображений, что однородные вопросы или задачи решаются одним и тем же действием.

Чтобы это понять, рассмотрим следующую задачу: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 4 м такого сукна?»

Эта задача решается умножением числа рублей (50) на число метров (4), т. е. 50 x 4 = 200 (руб.).

Возьмём такую же задачу, но в ней количество сукна будет выражено дробным числом: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 3 / 4 м такого сукна?»

Эту задачу тоже нужно решать умножением числа рублей (50) на число метров (3 / 4) .

Можно и ещё несколько раз, не меняя смысла задачи, изменить в ней числа, например взять 9 / 10 м или 2 3 / 10 м и т. д.

Так как эти задачи имеют одно и то же содержание и отличаются только числами, то мы называем действия, применяемые при их решении, одним и тем же словом - умножение.

Как выполняется умножение целого числа на дробь?

Возьмём числа, встретившиеся в последней задаче:

Согласно определению мы должны найти 3 / 4 от 50. Найдём сначала 1 / 4 от 50, а затем 3 / 4 .

1 / 4 числа 50 составляет 50 / 4 ;

3 / 4 числа 50 составляют .

Следовательно.

Рассмотрим ещё один пример: 12 5 / 8 = ?

1 / 8 числа 12 составляет 12 / 8 ,

5 / 8 числа 12 составляют .

Следовательно,

Отсюда получаем правило:

Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.

Запишем это правило с помощью букв:

Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом умножения числа на частное, которое было изложено в § 38

Необходимо помнить, что прежде чем выполнять умножение, следует делать (если возможно) сокращения , например:

4. Умножение дроби на дробь. Умножение дроби на дробь имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на дробь, т. е. при умножении дроби на дробь нужно от первой дроби (множимого) найти дробь, стоящую во множителе.

Именно, умножить 3 / 4 на 1 / 2 (половину) - это значит найти половину от 3 / 4 .

Как выполняется умножение дроби на дробь?

Возьмём пример: 3 / 4 умножить на 5 / 7 . Это значит, что нужно найти 5 / 7 от 3 / 4 . Найдем сначала 1 / 7 от 3 / 4 , а потом 5 / 7

1 / 7 числа 3 / 4 выразится так:

5 / 7 числа 3 / 4 выразятся так:

Таким образом,

Еще пример: 5 / 8 умножить на 4 / 9 .

1 / 9 числа 5 / 8 составляет ,

4 / 9 числа 5 / 8 составляют .

Таким образом,

Из рассмотрения этих примеров можно вывести следующее правило:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель - на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем произведения.

Это правило в общем виде можно записать так:

При умножении необходимо делать (если возможно) сокращения. Рассмотрим примеры:

5. Умножение смешанных чисел. Так как смешанные числа легко могут быть заменены неправильными дробями, то этим обстоятельством обычно пользуются при умножении смешанных чисел. Это значит, что в тех случаях, когда множимое, или множитель, или оба сомножителя выражены смешанными числами, то их заменяют неправильными дробями. Перемножим, например, смешанные числа: 2 1 / 2 и 3 1 / 5 . Обратим каждое из них в неправильную дробь и потом будем перемножать полученные дроби по правилу умножения дроби на дробь:

Правило. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.

Примечание. Если один из сомножителей - целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона так:

6. Понятие о проценте. При решении задач и при выполнении различных практических расчётов мы пользуемся всевозможными дробями. Но нужно иметь в виду, что многие величины допускают не любые, а естественные для них подразделения. Например, можно взять одну сотую (1 / 100) рубля, это будет копейка, две сотых - это 2 коп., три сотых - 3 коп. Можно взять 1 / 10 рубля, это будет"10 коп., или гривенник. Можно взять четверть рубля, т. е. 25 коп., половину рубля, т. е. 50 коп. (полтинник). Но практически не берут, например, 2 / 7 рубля потому, что рубль на седьмые доли не делится.

Единица измерения веса, т. е. килограмм, допускает прежде всего десятичные подразделения, например 1 / 10 кг, или 100 г. А такие доли килограмма, как 1 / 6 , 1 / 11 , 1 / 13 неупотребительны.

Вообще наши (метрические) меры являются десятичными и допускают десятичные подразделения.

Однако надо заметить, что крайне полезно и удобно в самых разнообразных случаях пользоваться одинаковым (однообразным) способом подразделения величин. Многолетний опыт показал, что таким хорошо оправдавшим себя делением является «сотенное» деление. Рассмотрим несколько примеров, относящихся к самым разнообразным областям человеческой практики.

1. Цена на книги понизилась на 12 / 100 прежней цены.

Пример. Прежняя цена книги 10 руб. Она понизилась на 1 рубль. 20 коп.

2. Сберегательные кассы выплачивают в течение года вкладчикам 2 / 100 суммы, которая положена на сбережение.

Пример. В кассу положено 500 руб., доход с этой суммы за год составляет 10 руб.

3. Число выпускников одной школы составило 5 / 100 от общего числа учащихся.

П р и м е р. В школе обучалось всего 1 200 учащихся, из них окончили школу 60 человек.

Сотая часть числа называется процентом .

Слово «процент» заимствовано из латинского языка и его корень «цент» означает сто. Вместе с предлогом (pro centum) это слово обозначает «за сотню». Смысл такого выражения вытекает из того обстоятельства, что первоначально в древнем Риме процентами назывались деньги, которые платил должник заимодавцу «за каждую сотню». Слово «цент» слышится в таких всем знакомых словах: центнер (сто килограммов), центиметр (говорится сантиметр).

Например, вместо того чтобы говорить, что завод за истекший месяц дал брака 1 / 100 от всей выработанной им продукции, мы будем говорить так: завод за истекший месяц дал один процент брака. Вместо того чтобы говорить: завод выработал продукции на 4 / 100 больше установленного плана, мы будем говорить: завод перевыполнил план на 4 процента.

Изложенные выше примеры можно высказать иначе:

1. Цена на книги понизилась на 12 процентов прежней цены.

2. Сберегательные кассы выплачивают вкладчикам за год 2 процента с суммы, положенной на сбережение.

3. Число выпускников одной школы составляло 5 процентов числа всех учащихся школы.

Для сокращения письма принято вместо слова «процент» писать значок %.

Однако нужно помнить, что в вычислениях значок % обычно не пишется, он может быть записан в условии задачи и в окончательном результате. При выполнении же вычислений нужно писать дробь со знаменателем 100 вместо целого числа с этим значком.

Нужно уметь заменять целое число с указанным значком дробью с знаменателем 100:

Обратно, нужно привыкнуть вместо дроби с знаменателем 100 писать целое число с указанным значком:

7. Нахождение процентов данного числа.

Задача 1. Школа получила 200 куб. м дров, причём берёзовые дрова составляли 30%. Сколько было берёзовых дров?

Смысл этой задачи состоит в том, что берёзовые дрова составляли лишь часть тех дров, которые были доставлены в школу, и эта часть выражается дробью 30 / 100 . Значит, перед нами задача на нахождение дроби от числа. Для её решения мы должны 200 умножить на 30 / 100 (задачи на нахождение дроби числа решаются умножением числа на дробь.).

Значит, 30% от 200 равняются 60.

Дробь 30 / 100 , встречавшаяся в этой задаче, допускает сокращение на 10. Можно было бы с самого начала выполнить это сокращение; решение задачи от этого не изменилось бы.

Задача 2. В лагере было 300 детей различных возрастов. Дети 11 лет составляли 21%, дети 12 лет составляли 61% и, наконец, 13-летних детей было 18%. Сколько было детей каждого возраста в лагере?

В этой задаче нужно выполнить три вычисления, т. е. последовательно найти число детей 11 лет, потом 12 лет и, наконец, 13 лет.

Значит, здесь нужно будет три раза отыскать дробь от числа. Сделаем это:

1) Сколько было детей 11-летнего возраста?

2) Сколько было детей 12-летнего возраста?

3) Сколько было детей 13-летнего возраста?

После решения задачи полезно сложить найденные числа; сумма их должна составить 300:

63 + 183 + 54 = 300

Следует также обратить внимание на то, что сумма процентов, данных в условии задачи, составляет 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Это говорит о том, что общее число детей, находившихся в лагере, было принято за 100%.

3 а д а ч а 3. Рабочий получил за месяц 1 200 руб. Из них 65% он израсходовал на питание, 6% - на квартиру и отопление, 4% - на газ, электричество и радио, 10% - на культурные нужды и 15% - сберёг. Сколько денег израсходовано на указанные в задаче нужды?

Для решения этой задачи нужно 5 раз найти дробь от числа 1 200. Сделаем это.

1) Сколько денег израсходовано на питание? В задаче сказано, что этот расход составляет 65% от всего заработка, т. е. 65 / 100 от числа 1 200. Сделаем вычисление:

2) Сколько денег уплачено за квартиру с отоплением? Рассуждая подобно предыдущему, мы придём к следующему вычислению:

3) Сколько денег уплатили за газ, электричество и радио?

4) Сколько денег израсходовано на культурные нужды?

5) Сколько денег рабочий сберёг?

Для проверки полезно сложить числа, найденные в этих 5 вопросах. Сумма должна составить 1 200 руб. Весь заработок принят за 100%, что легко проверить, сложив числа процентов, данные в условии задачи.

Мы решили три задачи. Несмотря на то, что в этих задачах речь шла о различных вещах (доставка дров для школы, число детей различных возрастов, расходы рабочего), они решались одним и тем же способом. Это произошло потому, что во всех задачах нужно было найти несколько процентов от данных чисел.

§ 90. Деление дробей.

При изучении деления дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:

1. Деление целого числа на целое.
2. Деление дроби на целое число
3. Деление целого числа на дробь.
4. Деление дроби на дробь.
5. Деление смешанных чисел.
6. Нахождение числа по данной его дроби.
7. Нахождение числа по его процентам.

Рассмотрим их последовательно.

1. Деление целого числа на целое.

Как было указано в отделе целых чисел, делением называется действие, состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель.

Деление целого числа на целое мы рассматривали в отделе целых чисел. Мы встретили там два случая деления: деление без остатка, или «нацело» (150: 10 = 15), и деление с остатком (100: 9 = 11 и 1 в остатке). Мы можем, следовательно, сказать, что в области целых чисел точное деление не всегда возможно, потому что делимое не всегда является произведением делителя на целое число. После введения умножения на дробь мы можем всякий случай деления целых чисел считать возможным (исключается только деление на нуль).

Например, разделить 7 на 12 -это значит найти такое число, произведение которого на 12 было бы равно 7. Таким числом является дробь 7 / 12 потому что 7 / 12 12 =7. Ещё пример: 14: 25 = 14 / 25 , потому что 14 / 25 25 = 14.

Таким образом, чтобы разделить целое число на целое, нужно составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель - делителю.

2. Деление дроби на целое число.

Разделить дробь 6 / 7 на 3. Согласно данному выше определению деления мы имеем здесь произведение (6 / 7) и один из сомножителей (3); требуется найти такой второй сомножитель, который от умножения на 3 дал бы данное произведение 6 / 7 . Очевидно, он должен быть втрое меньше этого произведения. Значит, поставленная перед нами задача состояла в том, чтобы дробь 6 / 7 уменьшить в 3 раза.

Мы уже знаем, что уменьшение дроби можно выполнить или путём уменьшения её числителя, или путём увеличения её знаменателя. Поэтому можно написать:

В данном случае числитель 6 делится на 3, поэтому следует уменьшить в 3 раза числитель.

Возьмём другой пример: 5 / 8 разделить на 2. Здесь числитель 5 не делится нацело на 2, значит, на это число придётся умножить знаменатель:

На основании этого можно высказать правило: чтобы разделить дробь на целое число, нужно разделить на это целое число числитель дроби (если это возможно), оставив тот же знаменатель, или умножить на это число знаменатель дроби, оставив тот же числитель.

3. Деление целого числа на дробь.

Пусть требуется разделить 5 на 1 / 2 , т. е. найти такое число, которое после умножения на 1 / 2 даст произведение 5. Очевидно, это число должно быть больше 5, так как 1 / 2 есть правильная дробь, а при умножении числа на правильную дробь произведение должно быть меньше множимого. Чтобы это было понятнее, запишем наши действия следующим образом: 5: 1 / 2 = х , значит, х 1 / 2 = 5.

Мы должны найти такое число х , которое, будучи умножено на 1 / 2 дало бы 5. Так как умножить некоторое число на 1 / 2 - это значит найти 1 / 2 этого числа, то, следовательно, 1 / 2 неизвестного числа х равна 5, а всё число х вдвое больше, т. е. 5 2 = 10.

Таким образом, 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Проверим:

Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 6 на 2 / 3 . Попробуем сначала найти искомый результат с помощью чертежа (рис. 19).

Рис.19

Изобразим отрезок АВ, равный 6 каким-нибудь единицам, и разделим каждую единицу на 3 равные части. В каждой единице три трети (3 / 3) во всём отрезке АВ в 6 раз больше,т. е. 18 / 3 . Соединим при помощи маленьких скобочек 18 полученных отрезков по 2; получится всего 9 отрезков. Значит дробь 2 / 3 содержится в б единицах 9 раз, или, иными словами, дробь 2 / 3 в 9 раз меньше 6 целых единиц. Следовательно,

Каким образом получить этот результат без чертежа при помощи одних только вычислений? Будем рассуждать так: требуется 6 разделить на 2 / 3 , т. е. требуется ответить на вопрос, сколько раз 2 / 3 содержатся в 6. Узнаем сначала: сколько раз 1 / 3 содержится в 6? В целой единице - 3 трети, а в 6 единицах - в 6 раз больше, т. е. 18 третей; для нахождения этого числа мы должны 6 умножить на 3. Значит, 1 / 3 содержится в б единицах 18 раз, а 2 / 3 содержатся в б не 18 раз, а вдвое меньше раз, т. е. 18: 2 = 9. Следовательно, при делении 6 на 2 / 3 мы выполнили следующие действия:

Отсюда получаем правило деления целого числа на дробь. Чтобы разделить целое число на дробь, надо это целое число умножить на знаменатель данной дроби и, сделав это произведение числителем, разделить его на числитель данной дроби.

Запишем правило при помощи букв:

Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом деления числа на частное, которое было изложено в § 38 . Обратите внимание на то, что там была получена такая же формула.

При делении возможны сокращения, например:

4. Деление дроби на дробь.

Пусть требуется разделить 3 / 4 на 3 / 8 . Что будет обозначать число, которое получится в результате деления? Оно будет давать ответ на вопрос, сколько раз дробь 3 / 8 содержится в дроби 3 / 4 . Чтобы разобраться в этом вопросе, сделаем чертёж (рис. 20).

Возьмём отрезок АВ, примем его за единицу, разделим на 4 равные части и отметим 3 такие части. Отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ. Разделим теперь каждый из четырёх первоначальных отрезков пополам, тогда отрезок АВ разделится на 8 равных частей и каждая такая часть будет равна 1 / 8 отрезка АВ. Соединим дугами по 3 таких отрезка, тогда каждый из отрезков AD и DC будет равен 3 / 8 отрезка АВ. Чертёж показывает, что отрезок, равный 3 / 8 , содержится в отрезке, равном 3 / 4 , ровно 2 раза; значит, результат деления можно записать так:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 15 / 16 на 3 / 32:

Мы можем рассуждать так: нужно найти такое число, которое после умножения на 3 / 32 Даст произведение, равное 15 / 16 . Запишем вычисления так:

15 / 16: 3 / 32 = х

3 / 32 х = 15 / 16

3 / 32 неизвестного числа х составляют 15 / 16

1 / 32 неизвестного числа х составляет ,

32 / 32 числа х составляют .

Следовательно,

Таким образом, чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.

Запишем правило с помощью букв:

При делении возможны сокращения, например:

5. Деление смешанных чисел.

При делении смешанных чисел их нужно предварительно обращать в неправильные дроби,а затем производить деление полученных дробей по правилам деления дробных чисел. Рассмотрим пример:

Обратим смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь разделим:

Таким образом, чтобы разделить смешанные числа, нужно обратить их в неправильные дроби и затем разделить по правилу деления дробей.

6. Нахождение числа по данной его дроби.

Среди различных задач на дроби иногда встречаются такие, в которых даётся величина какой-нибудь дроби неизвестного числа и требуется найти это число. Этого типа задачи будут обратными по отношению к задачам на нахождение дроби данного числа; там давалось число и требовалось найти некоторую дробь от этого числа, здесь даётся дробь от числа и требуется найти само это число. Эта мысль станет ещё яснее, если мы обратимся к решению такого типа задач.

Задача 1. В первый день стекольщики остеклили 50 окон, что составляет 1 / 3 всех окон построенного дома. Сколько всего окон в этом доме?

Решение. В задаче сказано, что остеклённые 50 окон составляют 1 / 3 всех окон дома, значит, всего окон в 3 раза больше, т. е.

В доме было 150 окон.

Задача 2. Магазин продал 1 500 кг муки, что составляет 3 / 8 всего запаса муки, имевшегося в магазине. Каков был первоначальный запас муки в магазине?

Решение. Из условия задачи видно, что проданные 1 500 кг муки составляют 3 / 8 всего запаса; значит, 1 / 8 этого запаса будет в 3 раза меньше, т. е. для её вычисления нужно 1500 уменьшить в 3 раза:

1 500: 3 = 500 (это 1 / 8 запаса).

Очевидно, весь запас будет в 8 раз больше. Следовательно,

500 8 = 4 000 (кг).

Первоначальный запас муки в магазине был равен 4 000 кг.

Из рассмотрения этой задачи можно вывести следующее правило.

Чтобы найти, число по данной величине его дроби, достаточно разделить эту величину на числитель дроби и результат умножить на знаменатель дроби.

Мы решили две задачи на нахождение числа по данной его дроби. Такие задачи, как это особенно хорошо видно из последней, решаются двумя действиями: делением (когда находят одну часть) и умножением (когда находят всё число).

Однако после того как мы изучили деление дробей, указанные выше задачи можно решать одним действием, а именно: делением на дробь.

Например, последняя задача может быть решена одним действием так:

В дальнейшем задачи на нахождение числа по его дроби мы будем решать одним действием - делением.

7. Нахождение числа по его процентам.

В этих задачах нужно будет найти число, зная несколько процентов этого числа.

Задача 1. В начале текущего года я получил в сберегательной кассе 60 руб. дохода с суммы, положенной мной на сбережение год назад. Сколько денег я положил в сберегательную кассу? (Кассы дают вкладчикам 2% дохода в год.)

Смысл задачи состоит в том, что некоторая сумма денег была положена мной в сберегательную кассу и пролежала там год. По прошествии года я получил с неё 60 руб. дохода, что составляет 2 / 100 тех денег, которые я положил. Сколько же денег я положил?

Следовательно, зная часть этих денег, выраженную двумя способами (в рублях и дробью), мы должны найти всю, пока неизвестную, сумму. Это обыкновенная задача на нахождение числа по данной его дроби. Решаются такие задачи делением:

Значит, в сберегательную кассу было положено 3000 руб.

Задача 2. Рыболовы за две недели выполнили месячный план на 64%, заготовив 512 т рыбы. Какой у них был план?

Из условия задачи известно, что рыболовы выполнили часть плана. Эта часть равна 512 т, что составляет 64% плана. Сколько тонн рыбы нужно заготовить по плану, нам неизвестно. В нахождении этого числа и будет состоять решение задачи.

Такие задачи решаются делением:

Значит, по плану нужно заготовить 800 т рыбы.

Задача 3. Поезд шёл из Риги в Москву. Когда он миновал 276-й километр, один из пассажиров спросил проходящего кондуктора, какую часть пути они уже проехали. На это кондуктор ответил: «Проехали уже 30% всего пути». Каково расстояние от Риги до Москвы?

Из условия задачи видно, что 30% пути от Риги до Москвы составляют 276 км. Нам нужно найти всё расстояние между этими городами, т. е. по данной части найти целое:

§ 91. Взаимно обратные числа. Замена деления умножением.

Возьмём дробь 2 / 3 и переставим числитель на место знаменателя, получится 3 / 2 . Мы получили дробь, обратную данной.

Для того чтобы получить дробь, обратную данной, нужно её числитель поставить на место знаменателя, а знаменатель - на место числителя. Этим способом мы можем получить дробь, обратную любой дроби. Например:

3 / 4 , обратная 4 / 3 ; 5 / 6 , обратная 6 / 5

Две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй, называются взаимно обратными.

Теперь подумаем, какая дробь будет обратной для 1 / 2 . Очевидно, это будет 2 / 1 , или просто 2. Отыскивая дробь, обратную данной, мы получили целое число. И этот случай не единичный; напротив, для всех дробей с числителем 1 (единица) обратными будут целые числа, например:

1 / 3 , обратная 3; 1 / 5 , обратная 5

Так как при отыскании обратных дробей мы встретились и с целыми числами, то в дальнейшем мы будем говорить не об обратных дробях, а об обратных числах.

Выясним, как написать число, обратное целому числу. Для дробей это решается просто: нужно знаменатель поставить на место числителя. Этим же способом можно получить обратное число и для целого числа, так как у любого целого числа можно подразумевать знаменатель 1. Значит, число, обратное 7, будет 1 / 7 , потому что 7 = 7 / 1 ; для числа 10 обратное будет 1 / 10 , так как 10 = 10 / 1

Эту мысль можно выразить иначе: число, обратное данному числу, получается от деления единицы на данное число . Такое утверждение справедливо не только для целых чисел, но и для дробей. В самом деле, если требуется написать число, обратное дроби 5 / 9 , то мы можем взять 1 и разделить ее на 5 / 9 , т. е.

Теперь укажем одно свойство взаимно обратных чисел, которое будет нам полезно: произведение взаимно обратных чисел равно единице. В самом деле:

Пользуясь этим свойством, мы можем находить обратные числа следующим путём. Пусть нужно найти число, обратное 8.

Обозначим его буквой х , тогда 8 х = 1, отсюда х = 1 / 8 . Найдём ещё число, обратное 7 / 12 обозначим его буквой х , тогда 7 / 12 х = 1, отсюда х = 1: 7 / 12 или х = 12 / 7 .

Мы ввели здесь понятие о взаимно обратных числах для того, чтобы немного дополнить сведения о делении дробей.

Когда мы делим число 6 на 3 / 5 , то мы выполняем следующие действия:

Обратите особое внимание на выражение и сравните его с заданным: .

Если взять выражение отдельно, без связи с предыдущим, то нельзя решить вопрос, откуда оно возникло: от деления 6 на 3 / 5 или от умножения 6 на 5 / 3 . В обоих случаях получается одно и то же. Поэтому мы можем сказать, что деление одного числа на другое можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.

Примеры, которые мы даём ниже, вполне подтверждают этот вывод.

Предмет: математика

Класс: 5

Тема урока: Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Базовый учебник: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс»

Тип урока: Урок изучения нового материала

Цели урока:

• Обучающая : научить выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; повторить понятия “Правильная, неправильная дробь”, обобщить и закрепить знания учащихся по сравнению дробей.
• Развивающая: развивать внимание; познавательную активность.
• Воспитательная: в оспитывать аккуратность при записи примеров и задач с обыкновенными дробями.

Задачи: обобщить и систематизировать знания: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; учиться работать самостоятельно, делать выводы.

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

Познавательные УУД: формировать навыки сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; научить правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби; формировать умение решать задачи на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; применять полученные знания при решении задач.

Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, беседа

Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• самостоятельно определяют тему, цели урока;
• выводят определение и правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
• работают с текстом учебника;
• отвечают на вопросы;
• решают самостоятельно задачи;
• оценивают себя и друг друга;
• рефлектируют.

Методы обучения: словесный, наглядно-иллюстративный, практический

Участники: обучающиеся 5 класса

Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация.

Учебно-методическое обеспечение : учебник “Математика. 5 класс” авторов И.И. Зубарева А.Г.Мордкович

Этапы урока:

1. Определение потребностей и мотивов.

1.1. Орг. Момент

1.2. Мотивация к учебной деятельности

Мотивационная беседа.

Слайд 1

Великий педагог Василий Александрович Сухомлинский говорил:«У мственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Поэтому мы с вами сегодня на уроке будем пробовать размышлять, ставит пере собой цели, решать поставленные задачи

Чем же мы будем сегодня с вами заниматься? О чем пойдет беседа на уроке? Для это мы устно посчитаем, а затем из полученных ответов составим ключевые слова

Правильно, о дробях. Но, каких? Узнаете позже.

1.3. Актуализация знаний, постановка проблемы и ее решение.

Слайд 2 -4.

2. Принятие учебных целей и условий их достижения.

2.1. Организация познавательной деятельности.

Работа со слайдом 4: не глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть закрашена красным и зеленым цветом? Каким образом?

Какая часть закрашена красным и зеленым?

Работа со слайдом 5: глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть останется не закрашена, если закрасить синим цветом 4 части, 2 части, 1 часть, 3 части. Какие действия нам пришлось выполнять?

2.2. Побуждение учащихся к выдвижению гипотезы.

А вот теперь скажите: “Как по- вашему, какая сегодня тема урока?”

Правильно. Слайд 6 Запишите тему урока.

Слайд 7-9 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями? Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?

3. Проверка принятой гипотезы.

3.1. Организация познавательной деятельности. Первичное закрепление. Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

• Слайд 8
• Слайд 10

Решение проверяют друг у друга.

Молодцы! Хорошее начало.

Работа с учебником № 422, № 426

3.2Динамическая пауза слайд 11

Пока занимались мы, тихо, но прытко

В класс к нам пробралась сеньора ошибка.

Чтоб убралась она без оглядки

Сделать придется

математическую зарядку.

Правильно – вверх, неверно – вперед,

Ответ посчитаем- ошибка уйдет .

На экране будут появляться математические выражения, если вы считаете, что выражение верное, то руки вверх, если нет, то вперед

4. Итоговый самоконтроль и самооценка.

4.1. Организация первичного контроля.

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

Самостоятельно по вариантам решите примеры.

Проверка друг у друга по ключу. Слайд 14

4.2. Подведение итогов урока. Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Слайд № 15

4.3. Информация о домашнем задании. Слайд 16

1)с. 118-119 (правила),

№ № 425, № 427

2).Найти загадки про дроби(по желанию)

4.4. Рефлексия. Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе. Слайд 17

• Если вы считаете, что поняли тему урока, то нарисуйте улыбающийся смайлик
• Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то нарисуйте неулыбающийся смайлик.
• Если вы считаете, что не поняли тему урока, то нарисуйте грустный смайлик

Закончить урок словами

"Человек подобен дроби:

• в знаменателе – то, что он о себе думает,
• в числителе – то, что он есть на самом деле.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь".

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

" Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Сухомлинский В. А.

37 ? -12 +47: 9 -20 25 72 100 120 8 140 ? : 7 +134 -94 20 8 240 60 154 Решите правильно примеры и составьте слова 8 - О 154 - И 25 - Д 240 - Л 120 - Б 100 - Ь 72 - Р 20 - Ч 60 - С Д Р О Б Ь Ч И С Л О

Как называется? 1. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя 2. Дробь, в которой числитель больше знаменателя 3. Число, стоящее над чертой 4. Число, стоящее под чертой дроби

Какая часть фигуры закрашена зеленым закрашена красным закрашена красным и зеленым 6 1 6 3 6 2 6 2 6 2 6 1 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5

Какая часть фигуры останется не закрашена, если закрасить синим цветом: 4 части 3 части 1 часть 2 части 6 2 6 3 6 5 6 4

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 03.12.14 г.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись Запомни правило

Кот Леопольд приготовил торт на свой День рождения. И позвал в гости мышат. Сначала на тарелку он положил 9 долей, а потом еще 2 доли. На тарелке оказалось 11 долей, то есть торта: 17 частей

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись

Кот Леопольд разрезал торт на 17 долей. На тарелку положил 11 долей, а потом 9 долей съели мышата. Осталось 2 доли, то есть торта:

Выполнение упражнений из учебника № 422; № 426

Динамическая пауза Пока занимались мы, тихо, но прытко В класс к нам пробралась сеньора ошибка. Чтоб убралась она без оглядки Сделать придется математическую зарядку. Правильно – вверх, неверно – вперед, Ответ посчитаем- ошибка уйдет.

Самостоятельная работа I вариант II вариант 15 22 7 22 18 33 13 33 44 65 37 65 12 19 5 19 6 19 11 18 5 18 13 27 6 27 33 58 26 58 15 21 7 21 5 21 "5" - без ошибок; "4" - 1 ошибка; "3" - 2 ошибки

Какую тему мы сегодня изучали? Какие задачи мы сегодня ставили? Наши задачи выполнены?

Домашнее задание № 425 № 427, учить правила с. 118-119 Найти загадки про дроби (по желанию)

Нарисуйте смайлик Если вы считаете, что усвоили тему урока Если вы считаете, что не достаточно усвоили тему урока Если вы считаете, что не поняли тему урока

Мальчик играл в компьютер 3 часа. Какую часть суток играл мальчик? Ответ: Масса яблока 300 г. Какую часть килограмма составляет масса яблока? Ответ:

Петя в июне и июле был у бабушки в деревне. Какую часть года провел Петя у бабушки? Лена читала книгу 15 мин. Какую часть часа Лена читала? Ответ: Ответ:

В доме окон. Вечером, в окнах загорелся свет. А потом ещё в. Какая часть окон осталась без света?

Проверим решение 1 способ 2 способ

Восстановите таблицу так, чтобы дроби не повторялись в строках и столбцах таблицы Какую часть таблицы составляют неправильные дроби? Сравните дроби

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 класс на тему:

1005 Из помидоров массой 5/16 кг и огурцов массой 9/16 кг сделали салат. Какова масса салата?
РЕШЕНИЕ

1006 Масса станка равна 73/100 т, а масса его упаковки 23/100 т. Найдите массу станка вместе с упаковкой.
РЕШЕНИЕ

1007 В первый день картофель посадили на 2/7 участка, а во второй день на 3/7 участка. Какая часть участка была засажена картофелем за эти два дня?
РЕШЕНИЕ

1008 Одна бригада получила 7/10 т гвоздей, а вторая на 3/10 т меньше. Сколько гвоздей получила вторая бригада?
РЕШЕНИЕ

1009 За два дня засеяли 10/11 поля. В первый день засеяли 4/11 поля. Какую часть поля засеяли во второй день?
РЕШЕНИЕ

1010 Цистерна на 3/5 наполнена бензином,1/5 цистерны перелили в бочку. Какая часть цистерны осталась заполненной бензином?
РЕШЕНИЕ

1012 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ

1013 Из 11 теплиц овощеводческого хозяйства 4 засажены помидорами, а 2 огурцами. Какая часть теплиц занята огурцами и помидорами? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ

1014 Для посадки леса выделили участок площадью 300 га. Ель высадили на 3/10 участка, а сосну на 4/10 участка. Сколько гектаров занято елью и сосной вместе?
РЕШЕНИЕ

1015 Бригада решила изготовить 175 изделий сверх плана. В первый день она изготовила 9/25 этого количества, во второй день 13/25 этого количества. Сколько изделий изготовила бригада за эти два дня? Сколько изделий ей осталось изготовить?
РЕШЕНИЕ

1016 Картофелем засажено 11/17 поля овощеводческого хозяйства. Огурцами засеяно на 1/17 поля больше, чем морковью, и на 8/17 поля меньше, чем картофелем. Какая часть поля засеяна огурцами и какая морковью? Какая часть поля занята картофелем, огурцами и морковью вместе?
РЕШЕНИЕ

1019 В палатке было 2 ц 70 кг фруктов. Яблоки составляли 5/9 всех фруктов, а груши 1/9 всех фруктов. На сколько масса яблок больше массы груш? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ

1020 В первый день турист прошел 5/14 всего пути, а во второй день 7/14. Известно, что за эти два дня турист прошел 36 км. Сколько километров составляет весь путь туриста?
РЕШЕНИЕ

1021 Первый рассказ занимал 5/13 книги, а второй рассказ 2/13 книги. Известно, что первый рассказ занимал на 12 страниц больше, чем второй. Сколько страниц во всей книге?
РЕШЕНИЕ

1022 Воспользовавшись равенством 4/25 + 12/25= 16/25 найдите значения выражении и решите уравнения
РЕШЕНИЕ

1024 На экскурсию отправляются 260 человек. Сколько нужно заказать автобусов, если в каждом автобусе должно быть не более 30 пассажиров?
РЕШЕНИЕ

1025 Начертите отрезок. Затем начертите отрезок, длина которого равна
РЕШЕНИЕ

1026 Найдите координаты точек A, B, C, D, E, M, К (рис. 128) и сравните эти координаты с 1.
РЕШЕНИЕ

1027 Вычислите периметр и площадь треугольника ABC (рис. 129)
РЕШЕНИЕ

1030 Найдите все значения x, при которых дробь x/15 будет правильной, а дробь 8/x неправильной.
РЕШЕНИЕ

1031 Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
РЕШЕНИЕ

1033 Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

1034 Для изготовления 750 м вискозной ткани требуется 10 кг целлюлозы. Из 1 м3 древесины можно получить 200 кг целлюлозы. Сколько метров вискозной ткани можно получить из 20 м3 древесины?
РЕШЕНИЕ

1035 Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определенной последовательности набрать код. Сколько существует вариантов кода для этого замка?
РЕШЕНИЕ

1036 Решите уравнение: а) (x - 111) · 59 = 11 918; б) 975(x - 615) = 12 675; в) (30 901 - a) : 605 = 51; г) 39 765: (b - 893) = 1205.
РЕШЕНИЕ

1037 Решите задачу: 1) Из 30 высаженных семян взошли 23. Какая часть высаженных семян взошла? 2) На пруду плавали 40 лебедей. Из них 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди?
РЕШЕНИЕ

1038 Найдите значение выражения: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24 078 + 30 785); 2) (43 512-43 006) · 805 - (48 987 + 297 305)
РЕШЕНИЕ

1039 За первый час было расчищено от снега 5/17 всей дороги, а за второй час 9/17 всей дороги. Какая часть дороги была расчищена от снега за эти два часа? На какую часть дороги было расчищено меньше в первый час, чем во второй?
РЕШЕНИЕ

1040 На платье для первой куклы было израсходовано 6/25 м ткани, а на платье для второй куклы 9/25 ткани. Сколько ткани было израсходовано на оба платья? На сколько больше ткани было израсходовано на платье второй куклы, чем на платье первой куклы?