Снижение по экспоненте. Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро

Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост - возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону . Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейному , степенному или геометрическому зависимостям.

Свойства

Для любой экспоненциально растущей величины, чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны . Но при этом, в отличие от гиперболической экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.

Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любая геометрическая прогрессия , чем любой степенной , и тем более, чем любой линейный рост .

Математическая запись

Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением:

Решение этого дифференциального уравнения - экспонента:

Примеры

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты .

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Экспоненциальный рост" в других словарях:

Возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной ее значению. Говорят: такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины,… … Словарь бизнес-терминов

экспоненциальный рост - eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential rising vok. Exponentialanstieg, m rus. экспоненциальный рост, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ - рост с относительно постоянной скоростью … Словарь ботанических терминов

Процесс увеличения какого либо качества со временем. Качества могут быть как физическими (например, рост в высоту), так и абстрактными (например, взросление человека, расширение системы): Клеточный рост, или пролиферация Рост населения Рост… … Википедия

РОСТ - означает увеличение размеров развивающегося организма. В типичных случаях Р. связан с увеличением массы, однако не всякое увеличение массы организма мы, обозначаем как Р. (напр. отложение жира, накопление половых продуктов у некоторых животных,… … Большая медицинская энциклопедия

Экспоненциальный рост в математике экспоненциальное возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной её значению. Говорят что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это… … Википедия

- [от algorithm!; algorismus, первоначально лат. транслитерация имени ср. азиат. учёного 9 в. Хорезми (Мухаммед бен Муса аль Хорезми)], программа, определяющая способ поведения (вычисления); система правил (предписаний) для эффективного… … Философская энциклопедия

Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри к рых происходят циклич. яд. реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты… … Физическая энциклопедия

Проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Существенным в постановке проблемы является требование найти универсальный метод, к рый должен быть пригоден для любого уравнения (все известные… … Математическая энциклопедия

Логическая схема перцептрона с тремя выходами Перцептрон, или персептрон (англ. perceptron от … Википедия

Книги

• Великие озера мира , В.А. Румянцев, В. Г. Драбкова, А. В. Измайлова. Экспоненциальный рост народонаселения и вслед за этим рост промышленности и сельского хозяйства приводит не только к катастрофической нехватке запасов пресных вод, но и к ухудшению их…

Как уже подчеркивалось в предыдущем разделе, любая популяция в принципе способна экспоненциально увеличивать свою численность, и именно поэтому экспоненциальная модель используется для оценки потенциальных возможностей роста популяций. В некоторых случаях, однако, экспоненциальная модель оказывается пригодной для описания и реально наблюдаемых процессов. Очевидно, это возможно тогда, когда в течение достаточно продолжительного (относительно длительности поколения) времени ничто не ограничивает рост популяции и соответственно показатель его удельной скорости (r ) сохраняет постоянное положительное значение.

Так, например, в 1937 г. на небольшой остров Протекши (у северо-западного побережья США близ штата Вашингтон) были завезены 2 самца и 6 самок фазана (Phasanius colchicus torqualus), ранее на острове не встречавшегося. В том же году фазаны начали размножаться, а через 6 лет популяция, начало которой дали 8 птиц, насчитывала уже 1898 особей. Как следует из рис. 28 а, в течение по крайней мере первых 3-4 лет рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зависимостью (прямая линия при логарифмической шкале по ординате). К сожалению, позднее, в связи с началом военных действий, на острове были расположены войска, ежегодные учеты прекратились, а сама популяция фазанов была в значительной степени истреблена.

Другой известный случай экспоненциального роста популяции-увеличение численности популяции кольчатой горлицы (Streptopelia decaocto) на Британских островах в конце 1950-х- начале 1960-х гг. (рис. 28, б). Прекратился этот рост только через 8 лет, после того как все пригодные местообитания были заселены.

Список примеров экспоненциального роста популяции может быть продолжен. В частности, несколько раз экспоненциальное (или, по крайней мере близкое к экспоненциальному) увеличение численности северного оленя (Rangifer tarandus) наблюдалось при интродукции его на различные острова. Так, от 25 особей (4 самца и 21 самка), завезенных в 1911 г. на остров Святого Павла (входящий в архипелаг островов Прибылова в Беринговом море), произошла популяция, численность которой к 1938г. достигла 2 тыс. особей, но затем последовал резкий спад, и к 1950 г. на острове осталось только 8 оленей. Сходная картина наблюдалась и на острове Святого Матвея (также расположенном в Беринговом море): 29 особей (5 самцов и 24 самки), интродуцированных на остров в 1944 г., дали популяцию, насчитывавшую в 1957 г. 1350 особей, а в 1963 г. - около 6 тыс. особей (площадь этого острова 332 км 2 , что примерно в три раза больше площади острова Святого Павла). В последующие годы произошло, однако, катастрофическое снижение численности оленей-к 1966 г. их осталось только 42. В обоих вышеописанных случаях причиной резкого снижения численности была нехватка в зимнее время пищи, состоящей почти исключительно из лишайников.

В лаборатории можно создать условия для экспоненциального роста, если снабжать культивируемые организмы избытком ресурсов, обычно лимитирующих их развитие, а также поддерживать значение всех физико-химических параметров среды в пределах толерантности данного вида. Нередко для поддержания экспоненциального роста бывает нужно удалять продукты обмена веществ организмов (используя, например, проточные системы при культивировании различных водных животных и растений) или изолировать нарождающихся особей друг от друга, чтобы избегать их скученности (это важно, например, при культивировании многих грызунов и других животных с достаточно сложным поведением). Практически получить в эксперименте кривую экспоненциального роста несложно только для очень мелких организмов (дрожжевых грибков, простейших, одноклеточных водорослей и т. д.). Крупные организмы культивировать в больших количествах трудно по чисто техническим причинам. Кроме того, для этого требуется много времени.

Ситуации, при которых складываются условия экспоненциального роста, возможны и в природе, притом не только для островных популяций. Так, например, в озерах умеренных широт весной, после таяния льда, в поверхностных слоях содержится большое количество обычно дефицитных для планктонных водорослей биогенных элементов (фосфора, азота, кремния), и поэтому неудивительно, что сразу после прогревания воды здесь наблюдается быстрый (близкий к экспоненциальному) рост численности диатомовых или зеленых водорослей. Прекращается он лишь тогда, когда все дефицитные элементы окажутся связанными в клетках водорослей или же когда продукция популяций уравновесится выеданием их различными животными-фитофагами.

Хотя можно привести и другие примеры реально наблюдаемого экспоненциального увеличения численности, нельзя сказать, чтобы они были очень многочисленны. Очевидно, возрастание численности популяции по экспоненциальному закону если и происходит, то только очень короткое время, сменяясь затем спадом или выходом на плато (= стационарный уровень). В принципе возможны несколько вариантов прекращения экспоненциального роста численности. Первый вариант - это чередование периодов экспоненциального роста численности с периодами резкого (катастрофического) спада, вплоть до очень низких значений. Подобная регуляция (а под регуляцией численности мы будем понимать действие любых механизмов, приводящих к ограничению роста популяции) наиболее вероятна у организмов с коротким жизненным циклом, обитающих в местах с резко выраженными колебаниями основных лимитирующих факторов, например у насекомых, живущих в высоких широтах. Очевидно также то, что такие организмы должны иметь покоящиеся стадии, позволяющие пережить неблагоприятные сезоны. Второй вариант - это резкая остановка экспоненциального роста и поддержание популяции на постоянном (=стационарном) уровне, вокруг которого возможны различные флуктуации. Третий вариант - это плавный выход на плато. Получающаяся при этом S-образная форма кривой указывает на то, что по мере увеличения численности популяции скорость роста ее не остается постоянной, а снижается. S-образный рост популяций наблюдается очень часто как в лабораторных экспериментах, так и при вселении видов в новые местообитания.

Люди не слишком хорошие предсказатели будущего. На протяжении большей части истории наш опыт был «локальным и линейным»: мы использовали одни и те же инструменты, ели одни и те же блюда, жили в определенном месте. В результате наши способности к прогнозированию основаны на интуиции и прошлом опыте. Это похоже на лестницу: сделав несколько шагов вверх, мы понимаем, каким будет оставшийся путь по этой лестнице. Проживая жизнь, мы ожидаем, что каждый новый день будет похож на предыдущий. Однако сейчас все меняется.

Известный американский изобретатель и футуролог Рэймонд Курцвейл в своей книге «Сингулярность уже близко» (The Singularity Is Near) пишет, что скачок развития технологий, который мы наблюдаем последние десятилетия, вызвал ускорение прогресса во множестве разных областей. Это привело к неожиданным технологическим и социальным изменениям, происходящим не только между поколениями, но и внутри них. Теперь интуитивный подход в предсказании будущего не работает. Будущее разворачивается уже не линейно, а экспоненциально: все сложнее предсказать, что будет дальше и когда это случится. Темпы технического прогресса постоянно удивляют нас, и чтобы за ними успевать и научиться предсказывать будущее, нужно сначала научиться мыслить экспоненциально.

Что такое экспоненциальный рост?

В отличие от линейного роста, который является результатом многократно добавления постоянной, экспоненциальный рост - это многократное умножение. Если линейный рост - это стабильная во времени прямая линия, то линия экспоненциального роста похожа на взлет. Чем большее значение принимает величина, тем быстрее она растет дальше.

Представьте, что вы идете по дороге, и каждый ваш шаг получается метр в длину. Вы делаете шесть шагов, и теперь вы продвинулись на шесть метров. После того, как вы сделаете еще 24 шага, вы окажетесь в 30 метрах от того места, где вы начали. Это линейный рост.

А теперь представьте (хотя ваше тело так не умеет, но представьте), что каждый раз длина вашего шага увеличивается вдвое. То есть сначала вы шагаете на один метр, затем на два, затем на четыре, затем на восемь и так далее. За шесть таких шагов вы преодолеете 32 метра - это гораздо больше, чем за шесть шагов по одному метру. В это трудно поверить, но если продолжать в том же темпе, то после тридцатого шага вы окажетесь на расстоянии миллиарда метров от исходной точки. Это 26 поездок вокруг Земли. И это экспоненциальный рост.

Интересно, что каждый новый шаг при таком росте - это сумма всех предыдущих. То есть после 29 шагов вы преодолели 500 миллионов метров, и столько же вы преодолеваете за один следующий, тридцатый шаг. Это означает, что любой из ваших предыдущих шагов несравнимо мал по отношению к последующим нескольким шагам взрывного роста, а большая его часть происходит в течение относительно короткого периода времени. Если представить такой рост в виде движения из точки А в точку Б, самый большой прогресс в перемещении будет достигнут на последнем этапе.

Мы часто упускаем показательные тенденции на ранних стадиях, так как начальный темп экспоненциального роста медленный и постепенный, его трудно отличить от линейного роста. Кроме того, зачастую предсказания, основанные на предположении, что какое-то явление будет развиваться по экспоненте, могут показаться невероятными, и мы от них отказываемся.

«Когда в 1990 году началось сканирование генома человека, критики отметили, что, учитывая скорость, с которой сначала шел этот процесс, геном мог бы быть отсканирован только через тысячи лет. Однако проект был завершен уже в 2003 году», - приводит пример Рэймонд Курцвейл.

В последнее время развитие технологий идет по экспоненте: с каждым десятилетием, с каждым годом мы умеем несравнимо больше, чем раньше.

Может ли экспоненциальный рост когда-нибудь закончиться?

На практике экспоненциальные тенденции не длятся вечно. Тем не менее, некоторые из них могут продолжаться в течение длительных периодов времени, если есть соответствующие условия для взрывного развития.

Как правило, экспоненциальный тренд состоит из серии последовательных S-образных технологических циклов жизни или S-образных кривых. Каждая кривая выглядит как буква «S» из-за трех стадий роста, которые она показывает: начальный медленный рост, взрывной рост и выравнивание, по мере того, как технология созревает. Эти S-кривые пересекаются, и когда одна технология замедляется, начинается рост новой. С каждым новым S-образным витком развития, количество времени, необходимое для достижения более высоких уровней производительности, становится меньше.

Например, говоря о развитии технологий в прошлом веке, Курцвейл перечисляет пять вычислительных парадигм: электромеханические, реле, вакуумные лампы, дискретные транзисторы и интегральные схемы. Когда одна технология исчерпывала свой потенциал, начинала прогрессировать следующая, и она делала это стремительнее, чем ее предшественники.

Планирование экспоненциального будущего

В условиях экспоненциального развития очень сложно предсказать, что ждет нас в будущем. Построить график, основанный на геометрической прогрессии - это одно, а прикинуть, как изменится жизнь за десять-двадцать лет - совсем другое. Но можно следовать простому эмпирическому правилу: ожидай, что жизнь тебя очень сильно удивит, и планируй все исходя из ожидаемых сюрпризов. Иными словами, предполагать можно самые невероятные исходы и готовиться к ним, как если бы они точно состоялись.

«Будущее будет гораздо более удивительным, чем большинство людей могут себе представить. Лишь немногие действительно осознали тот факт, что скорость самого изменения ускоряется», - пишет Рэймонд Курцвейл.

Как будет выглядеть наша жизнь в ближайшие пять лет? Один из способов сделать прогноз - посмотреть на последние пять лет и перенести этот опыт на следующие пять, но это «линейное» мышление, которое, как мы выяснили, работает не всегда. Скорость изменений меняется, поэтому для того прогресса, который был достигнут за последние пять лет, в будущем потребуется уже больше времени. Вполне вероятно, что те изменения, которых вы ждете через пять лет, на самом деле произойдут через три или два года. После небольшой практики мы научимся лучше предсказывать дальнейшее развитие жизни, научимся видеть перспективы экспоненциального роста и сможем лучше планировать наше собственное будущее.

Это не просто интересная концепция. Наше мышление, заточенное чаще под линейное развитие, может привести нас в тупик. Именно линейное мышление заставляет некоторых бизнесменов и политиков противиться переменам, они просто не понимают, что развитие происходит по экспоненте, и беспокоятся из-за того, что все сложнее становится контролировать будущее. Но именно это поле для конкуренции. Чтобы угнаться за этим изменением, нужно всегда быть на шаг впереди и делать не то, что актуально сейчас, а то, что будет актуальным и востребованным в будущем, учитывать, что развитие происходит не линейно, а экспоненциально.

Экспоненциальное мышление уменьшает действие разрушительных стрессов, которые возникают из-за нашего страха перед будущим, и открывает новые возможности. Если мы сможем лучше планировать наше будущее и сможем мыслить экспоненциально, мы облегчим переход от одной парадигмы к другой и встретим будущее спокойно.

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, а t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ В ПРИРОДНЫХ ПРОЦЕССАХ

Стойков Дмитрий

10 «А» класс МБОУ СОШ № 177,г. Казань

Хабибуллина Альфия Якубовна

научный руководитель, учитель математики высшей категории МБОУ СОШ № 177,г. Казань

Введение

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией. Меня заинтересовал вопрос, почему протекание этих процессов не зависит от времени. Ведь по логике, любые изменяющиеся процессы должны соотноситься с независимой величиной ― временем. На деле же, это правило работает не всегда.

Цель исследовательской работы : экспериментально подтвердить протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описываемой уравнением Аррениуса.

Задачи :

·Изучить показательную функцию;

·Изучить экспоненциальную зависимость, как частный случай показательной функции;

·Изучить уравнение Аррениуса, описывающее экспоненциальную зависимость;

·Изучить примеры химических процессов, протекающих в соответствии с экспоненциальной зависимостью;

·Провести ряд экспериментов и подтвердить на практике протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описываемой уравнением Аррениуса.

Гипотеза исследования : при помощи уравнения Аррениуса можно описать некоторые химические процессы.

Объект исследования : показательная функция, как элемент прикладной математики.

Методы исследования :

1. Изучение литературы и электронных ресурсов по теме исследования.

2. Анализ применения экспоненциальной зависимости

3. Химические эксперименты на подтверждение уравнения Аррениуса.

Показательная функция

Пусть х R, a ≠ 0, {r n } ― последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число a x как предел. Показательной функцией с основанием a > 0, а ≠ 1 называется функция вида у=a x , х R

Данный предел не зависит от выбора последовательности r n , приводящей к числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

График показательной функции у=0,5 х

Экспоненциальная зависимость

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как

Численно оно равно е = 2,71828182845904523536 и называется константой Эйлера.

Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается у = е х ≡ exp x .

Рассмотрим график экспоненциальной функции y = e x . Так как 2 < е < 3, то функция у = е х монотонно возрастающая на всей области определения. В точке (0;1) касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45 о (π/4). Производная этой функции в нуле равна 1. Это ― единственная функция, у которой производная и первообразная совпадают с нею же самой.

Уравнение Аррениуса

Шведский физик и химик Сванте Аррениус получил Нобелевскую премию по химии в 1903 г. за создание теории электролитической диссоциации. В своей докторской диссертации (Уппсальский университет) Аррениус высказал предположение, что такие «молекулы», как хлорид натрия, самопроизвольно распадаются в растворе, образуя ионы, которые исполняют роль реагентов при электролизе. Однако более всего Аррениус известен своим уравнением, определяющим температурную зависимость константы скорости реакции.

Точное соотношение между скоростью реакций и температурой Аррениус впервые установил в 1889 г. Это соотношение, получившее название уравнения Аррениуса, имеет вид

,

где: к ― константа скорости реакции;

А ― постоянная, характеризующая каждую конкретную реакцию (константа Аррениуса);

e ― экспонента;

E a ― еще одна постоянная, характерная для каждой реакции и называемая энергией активации;

R ― газовая постоянная;

Т ― абсолютная температура в градусах Кельвина.

Отметим, что это уравнение связывает температуру не со скоростью реакции, а с константой скорости.

Связь скорости реакции с температурой была выведена из результатов первых кинетических исследований в 1880―1884 гг. и получила название правила Вант-Гоффа : скорость многих реакций при нагревании на 10 о С увеличивается в 2―4 раза. Данное правило выполняется для относительно медленных реакций в растворах и поэтому не является универсальным. При решении некоторых задач можно пользоваться формулой Вант-Гоффа:

где: γ ― коэффициент Вант-Гоффа (= 2―4),

Т ― температура в градусах по шкале Цельсия или Кельвина (поскольку используется разность, шкала не имеет значения).

Уравнением Аррениуса б олее точно и более универсально выражает зависимость константы скорости реакции от температуры. Множитель А в этом уравнении связан с частотой столкновений частиц и их ориентацией при столкновениях.

Примеры природных процессов, протекающих в соответствии с уравнением Аррениуса

Пример 1. Скорость (частота) пиликанья сверчков подчиняется, хотя и не вполне строго, уравнению Аррениуса, плавно увеличиваясь в температурном интервале от 14.2°С до 27°С, с эффективной энергией активации E a = 51 кДж/моль. По частоте стрекотаний можно достаточно точно определить температуру: надо подсчитать их число за 15 с и прибавить 40, получится температура в градусах Фаренгейта (F) (американцы до сих пор пользуются этой температурной шкалой). Так, при 55 F (12.8°С) частота стрекотаний составляет 1 стрек./с, а при 100 F (37.8°С) ― 4 стрек./с.

Пример 2. В температурном интервале от 18°С до 34°С частота сердечных сокращений морской черепахи согласуется с уравнением Аррениуса, которое дает энергию активации E a = 76.6 кДж/моль, но при более низких температурах энергия активации резко увеличивается. Это может быть связано с тем, что при пониженных температурах черепаха чувствует себя не очень хорошо и частота ее сердечных сокращений начинает управляться другими биохимическими реакциями.

Пример 3. Особенно интересны попытки «положить на аррениусовскую зависимость» психологические процессы человека. Так, людей с разной температурой тела (от 36.4°С до 39°С) просили отсчитать секунды. Оказалось, что чем выше была температура, тем быстрее был счет (Е а = 100.4 кДж/моль). Таким образом, наше субъективное ощущение времени подчиняется уравнению Аррениуса. Автор проведенного социологического исследования Г. Хогланд предположил, что это связано с некоторыми биохимическими процессами в мозге человека.

Немецкий исследователь Х. фон Ферстлер измерял у людей с разной температурой скорость забывания. Он давал людям последовательность разных знаков и измерял время, в течение которого люди эту последовательность помнили. Результат был тот же, что и у Хогланда: аррениусовская зависимость с Е а = 100.4 кДж/моль.

Богатый народный опыт подсказывает многие выводы, которые подтверждаются научно. На Руси издавна существует поговорка: «Держи ноги в тепле, а голову ― в холоде». Уравнение Аррениуса обосновывает это высказывание.

Зависимость скорости химических реакций от температуры

Изменение температуры оказывает резкое влияние на константу скорости, а, следовательно, и на скорость химической реакции. В подавляющем большинстве случаев скорость химической реакции с нагреванием возрастает.

В соответствии с правилом Вант-Гоффа, при повышении температуры на каждые 10 градусов скорость химической реакции возрастает, в среднем, в 2-4 раза:

v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10 ,

где: γ - температурный коэффициент, который можно рассчитать по формуле:

γ = k T +10 /k T ,

где: k T Т ;

k T+10 - константа скорости реакции при температуре (Т+10) .

Эксперименты

Эксперимент № 1 : Взаимодействие цинка с разбавленной серной кислотой.

Взяли несколько кусочков цинка с точно известной массой и поместили в равные объемы растворов разбавленной серной кислоты различной температуры. Измерили время полного растворения цинка, проходящего в соответствии с реакцией:

Zn + H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2

Рассчитали скорость реакции в мкмоль/с (количество вещества в моль посчитано через массу, деленную на атомную массу цинка). Результаты представлены в таблице и в виде графика зависимости скорости реакции от температуры.

Таблица 1.

Зависимость скорости взаимодействия цинка с разбавленной серной кислотой от температуры серной кислоты:

Эксперимент № 2 : В лияние температуры на скорость ферментативной реакции.

В качестве модельной ферментативной реакции мы взяли реакцию гидролиза бутирилхолина, катализируемую ферментом бутирилхолинэстеразой:

(СН 3) 3 N + -CH 2 -CH 2 -O-C(O)-C 3 H 7 + H 2 O → (СН 3) 3 N-CH 2 -CH 2 -OH + HO-C(O)-C 3 H 7

Трехмерная модель молекулы бутирилхолинэстеразы.

Для проведения реакции использовали планшет для иммунохимических исследований (см. рисунок 1 Приложения 1). Приготовили растворы субстрата ― бутирилхолина и фермента ― бутирилхолинэстеразы путем растворения точной навески вещества в 0.002 моль/л фосфатном буферном растворе, содержащем кислотно-основной индикатор бромтимоловый синий, с pH = 8. Индикатор имеет синюю окраску в щелочной среде (рН>7) и желтую окраску в кислой среде. Так как в результате ферментативной реакции гидролиза происходит образование кислоты, рН раствора понижается, а окраска индикатора изменяется от синей через зеленую до желтой. Таким образом, скорость химической реакции можно оценить по скорости изменения окраски индикатора.

Проведение реакции. Растворы субстрата и фермента с помощью снега и водяной бани охлаждали либо нагревали до нужной температуры (5°С, 15°С, 25°С, 35°С). Максимальной температурой было выбрана температура 35°С, т. к. фермент холинэстераза имеет температурный оптимум 37°С (температура, при которой активность фермента максимальна). В ячейку планшета с помощью дозатора на 100 мкл вносили раствор фермента определенной температуры, затем 100 мкл раствора субстрата и засекали время с помощью секундомера. Измеряли время от начала реакции (момент добавления субстрата к ферменту) до изменения цвета индикатора до желтого. При каждой температуре эксперимент проводили в трех повторностях, затем рассчитывали среднее время изменения окраски.

Зависимость времени изменения окраски индикатора от температуры растворов:

Данный метод оценки скорости реакции является вариантом каталитического метода анализа - способом фиксированной концентрации. Это способ, в котором реакцию проводят до строго определенной (фиксированной) концентрации индикаторного вещества и измеряют время достижения этой концентрации. В данной реакции индикаторным веществом является масляная кислота, от концентрации которой зависит окраска индикатора. Время достижения определенной концентрации является мерой скорости реакции. График строят в координатах: величина, обратная времени достижения фиксированной концентрации - изучаемый параметр (температура).

Зависимость скорости изменения окраски индикатора от температуры:

Эксперимент № 3 (расчетная задача): Скорость дегидратации этилового спирта.

Задача: Во сколько раз увеличится скорость дегидратации этилового спирта при увеличении температуры со 180 о С до 200 о С, если температурный коэффициент реакции равен трем?

Решение: В соответствии с правилом Вант-Гоффа, v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10 , отсюда

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10 , где γ = 3, Т1 = 180, Т2 = 200. Таким образом, v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9, т. е. скорость возрастет в 9 раз при повышении температуры на 20 градусов.

По полученным данным можно построить графическую зависимость скорости дегидратации этилового спирта от температуры (при повышении температуры на каждые 10 градусов скорость реакции возрастает в 3 раза).

Зависимость скорости реакции от температуры:

Выводы. Заключение

В процессе работы над исследовательской темой была изучена показательная функция, экспоненциальная зависимость, как частный случай показательной функции, а также уравнение Аррениуса, описывающее экспоненциальную зависимость.

После рассмотрения примеров природных процессов, протекающих в соответствии с экспоненциальной зависимостью, был проведен ряд химических экспериментов и подтверждено на практике протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описанной уравнением Аррениуса.

Мы считаем, что гипотеза исследования «при помощи уравнения Аррениуса можно описать некоторые химические процессы» подтвердилась. Так, при растворении Zn в серной кислоте при разных температурах скорость протекания химической реакции изменяется по экспоненте. Кроме того, скорость ферментативной реакции в нейронах человеческого мозга также изменяется в зависимости от температуры в соответствии с уравнением Аррениуса.

Таким образом, было экспериментально подтверждено протекание некоторых химических процессов в соответствии с уравнением Аррениуса, описываемым экспоненциальной зависимостью.

Список литературы:

1.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

2.Леенсон И.А. Почему устарело правило. Энциклопедия для детей. Т. 17. Химия. - М.: Аванта+, 2000. - 640 с.

3.Леенсон И.А. Почему и как идут химические реакции. - М.: МИРОС, 1994. - 176 с.

4.Хапланов М.Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). М.: Просвещение, 1965. - 209 с.