Сопромат.in.ua: Внешние и внутренние силы. Внешние и внутренние силы, действующие на спортсмена

В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех остальных точек) называются те силы, к-рые представляют собою действие на эту систему других тел (других систем материальных точек), не включенных нами в состав данной системы. Внутренними силами являются силы взаимодействия между отдельными материальными точками данной системы. Подразделение сил на внешние и внутренние является совершенно условным: при изменении заданного состава системы некоторые силы, ранее бывшие внешними, могут стать внутренними, и обратно. Так, например, при рассмотрении

движения системы, состоящей из земли и ее спутника луны, силы взаимодействия между этими телами будут внутренними силами для этой системы, а силы притяжения солнца, остальных планет, их спутников и всех звезд будут внешними силами по отношению к указанной системе. Но если изменить состав системы и рассматривать движение солнца и всех планет как движение одной общей системы, то внешн. силами будут только силы притяжений, оказываемых звездами; все же силы взаимодействия между планетами, их спутниками и солнцем становятся для этой системы силами внутренними. Точно так же, если при движении паровоза выделим поршень парового цилиндра как отдельную систему материальных точек, подлежащую нашему рассмотрению, то давление пара на поршень по отношению к нему явится внешней силой, и то же давление пара будет одной из внутренних сил, если будем рассматривать движение всего паровоза в целом; в этом случае внешними силами по отношению ко всему паровозу, принятому за одну систему, будут: трение между рельсами и колесами паровоза, сила тяжести паровоза, реакция рельсов и сопротивление воздуха; внутренними силами будут все силы взаимодействия между частями паровоза, напр. силы взаимодействия между паром и поршнем цилиндра, между ползуном и его параллелями, между шатуном и пальцем кривошипа, и т. п. Как видим, по существу нет различия между внешними и внутренними силами, относительное же различие между ними определяется лишь в зависимости от того, какие тела мы включаем в рассматриваемую систему и какие считаем не входящими в состав системы. Однако указанное относительное различие сил имеет весьма существенное значение при исследовании движения данной системы; по третьему закону Ньютона (о равенстве действия и противодействия), внутренние силы взаимодействия между каждыми двумя материальными точками системы равны по величине и направлены по одной и той же прямой в противоположные стороны; благодаря этому при разрешении различных вопросов о движении системы материальных точек возможно исключить все внутренние силы из уравнений двшкения системы и тем самым сделать возможным самое исследование о движении всей системы. Этот метод исключения внутренних, в большинстве случаев неизвестных, сил связи имеет существенное значение при выводах различных законов механики системы.

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.

Обозначим скорости шаров массами m 1 и m 2 до удара через ν 1 и ν 2 , после удара - через ν 1 " и ν 2 " (рис. 1). Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное - движению влево.

Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(1)

(2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим

(3)

(4)

Решая уравнения (3) и (5), находим

(7)

Разберем несколько примеров.

1. При ν 2 =0

(8)
(9)

Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс:

а) m 1 =m 2 . Если второй шар до удара висел неподвижно (ν 2 =0) (рис. 2), то после удара остановится первый шар (ν 1 " =0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν 2 " =ν 1 );

Рис.2

б) m 1 >m 2 . Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν 1 " <ν 1 ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν 2 " >ν 1 " ) (рис. 3);

Рис.3

в) m 1 ν 2 " <ν 1 (рис. 4);

Рис.4

г) m 2 >>m 1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что ν 1 " = -ν 1 ; ν 2 " ≈ 2m 1 ν 2 " /m 2 .

2. При m 1 =m 2 выражения (6) и (7) будут иметь вид ν 1 " = ν 2 ; ν 2 " = ν 1 ; т. е. шары равной массы как бы обмениваются скоростями.

Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу (рис. 5).

Рис.5

Если массы шаров m 1 и m 2 , их скорости до удара ν 1 и ν 2 , то, используя закон сохранения импульса

где v - скорость движения шаров после удара. Тогда

(15.10)

В случае движения шаров навстречу друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m 1 =m 2), то

Определим, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие от их скоростей, а не от самих деформаций, то мы имеем дело с дисипативными силами, подобным силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (10), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (ν 2 =0), то

Когда m 2 >>m 1 (масса неподвижного тела очень велика), то ν <<ν 1 и практически вся кинетическая энергия тела переходит при ударе в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть значительно массивнее молота. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молота должна быть гораздо большей (m 1 >>m 2), тогда ν≈ν 1 и почти вся энергия тратится на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар - это пример потери механической энергии под действием диссипативных сил.

1. Работа переменной силы.
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно s, то, как известно из физики, работа А этой силы равна произведению Ps. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от х. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М (а) в точку М (b) (рис. 1, а). Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле

(1)

Разобьем отрезок [а; b] на п отрезков одинаковой длины .Это отрезки [а; x 1 ], ,..., (рис. 1,6). Работа силы на всем отрезке [а; b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от x, при достаточно малом отрезке [а; x 1 ] работа силы на этом отрезке приблизительно равна f (а) (x 1 -а) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке приближенно равна f (x 1) (x 2 - x 1) и т. д.; работа силы на n-ом отрезке приближенно равна f (x n-1)(b - x n-1). Следовательно, работа силы на всем отрезке [а; b] приближенно равна:

и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [а;b] Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что n→∞:

Поскольку A n при n →∞ стремится к интегралу рассматриваемой функции от а до b, формула (1) выведена.
2. Мощность.

Мощность P - это скорость совершения работы,

Здесь v - скорость материальной точки, к которой приложена сила

Все силы, встречающиеся в механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной (потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки. Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения материальной точки по траектории (см. рис. 2): .

Изменение направления движения точки вдоль малого участка на противоположное вызывает изменение знака элементарной работы , следовательно, . Поэтому работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории 1a 2b 1 равна нулю: .

Точки 1и 2, а также участки замкнутой траектории 1a 2 и 2b 1 можно выбирать совершенно произвольно. Таким образом, работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю:

В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование производится по замкнутой траектории. Часто замкнутую траекторию L называют замкнутым контуром L (рис. 3). Обычно задаются направлением обхода контура L по ходу часовой стрелки. Направление элементарного вектора перемещения совпадает с направлением обхода контура L . В этом случае формула (5) утверждает: циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна нулю .

Следует отметить, что силы тяготения и упругости являются консервативными, а силы трения неконсервативными. В самом деле, поскольку сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению или скорости, то работа сил трения по замкнутому пути всегда отрицательна и, следовательно, не равна нулю.

Диссипативная система (или диссипативная структура , от лат. dissipatio - «рассеиваю, разрушаю») - это открытая система, которая оперирует вдали от термодинамического равновесия. Иными словами, это устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии диссипации (рассеивания) энергии, которая поступает извне. Диссипативная система иногда называется ещё стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой .

Диссипативная система характеризуется спонтанным появлением сложной, зачастую хаотичной структуры. Отличительная особенность таких систем - несохранение объёма в фазовом пространстве, то есть невыполнение Теоремы Лиувилля.

Простым примером такой системы являются ячейки Бенара. В качестве более сложных примеров называются лазеры, реакция Белоусова - Жаботинского и биологическая жизнь.

Термин «диссипативная структура» введен Ильёй Пригожиным.

Последние исследования в области «диссипативных структур» позволяют делать вывод о том, что процесс «самоорганизации» происходит гораздо быстрее при наличии в системе внешних и внутренних «шумов». Таким образом, шумовые эффекты приводят к ускорению процесса «самоорганизации».

Кинетическая энергия

энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. К. э. Т материальной точки измеряется половиной произведения массы m этой точки на квадрат её скорости υ, т. е. Т = 1 / 2 mυ 2 . К. э. механической системы равна арифметической сумме К. э. всех её точек: Т = Σ 1 / 2 m k υ 2 k . Выражение К. э. системы можно ещё представить в виде Т = 1 / 2 Mυ c 2 + T c, где М - масса всей системы, υ c - скорость центра масс, T c - К. э. системы в её движении вокруг центра масс. К. э. твёрдого тела, движущегося поступательно, вычисляется так же, как К. э. точки, имеющей массу, равную массе всего тела. Формулы для вычисления К. э. тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, см. в ст. Вращательное движение.

Изменение К. э. системы при её перемещении из положения (конфигурации) 1 в положение 2 происходит под действием приложенных к системе внешних и внутренних сил и равно сумме работ . Это равенство выражает теорему об изменении К. э., с помощью которой решаются многие задачи динамики.

При скоростях, близких к скорости света, К. э. материальной точки

где m 0 - масса покоящейся точки, с - скорость света в вакууме (m 0 с 2 - энергия покоящейся точки). При малых скоростях (υ<< c ) последнее соотношение переходит в обычную формулу 1 / 2 mυ 2 .

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия - энергия движущегося тела . (От греческого слова kinema - движение). По определению кинетическая энергия покоящегося в данной системе отсчета тела обращается в ноль.

Пусть тело движется под действием постоянной силы в направлении действия силы.

Тогда: .

Т.к. движение равноускоренное, то: .

Следовательно: .

- кинетической энергией называется

Силы или нагрузки, действующие на сооружения и их элементы, называют внешними. Они представляют собой силы или пары сил (моменты), которые могут рассматриваться как сосредоточенные и распределенные силы.

Все реальные силы распределенные. Контакт двух упругих тел всегда осуществляется по некоторой площадке. Однако по принципу Сен-Венана действия большинства сил может быть заменено сосредоточенной нагрузкой, если площадка достаточно малая по сравнению с размерами тела.

Распределенные нагрузки можно подразделить на:

Распределенные по длине или погонные нагрузки (вес балок, канатов)

Поверхностные (давление ветра, воды)

Объемные (сила тяжести тела, силы инерции).

Все нагрузки могут быть:

Статическими, т.е. не меняющиеся во времени или меняющиеся столь медленно, что ускорением можно пренебречь

Динамическими, т.к. изменяющиеся во времени с большой скоростью (ударные). Под действием этих нагрузок возникают колебания сооружений.

Динамические нагрузки в свою очередь подразделяются на периодические и случайные нагрузки. К случайным нагрузкам относятся нагрузки, действующие на детали автомобилей, тракторов, станков, а также нагрузки, действующие на сооружения (дома, мачты, краны и т. п.) от давления ветра, снега и т. п.

Более глубокое изучение таких нагрузок возможно лишь с помощью методов статистики и теории вероятности, которые применяются при изучении случайных велечин.

В машиностроении расчетные нагрузки определяются в зависимости от конкретных условий работы машины: по номинальным значениям мощности, угловой скорости отдельных ее деталей, силы тяжести, сил инерции и т. п. Например, при расчете деталей трехтонного автомобиля учитывают номинальный полезный груз, равный 3 тонны. Возможность же перегрузки автомобиля учитывают тем, что размеры сечения деталей назначают с некоторым запасом прочности.

Под действием внешних сил в деформируемых телах возникают внутренние силы. Такие силы являются непрерывно распределенными и в общем случае различны в разных точках тела.

Связь между внешними и внутренними нагрузками определяется уравнениями равновесия.

Это делается с помощью метода сечения.

Метод сечений

Для того чтобы определить внутренние силовые факторы необходимо:

1. В интересующей нас точке рассечь тело некоторой плоскостью. Как правило, плоскость перпендикулярна оси стержня.

Рис. 1.11. Рассматриваемое твердое тело в исходном состоянии

2. Приложим в сечении силы внутреннего взаимодействия.

Рис 1.12. Действие сил внутреннего взаимодействия

суммарной силой R

суммарным моментом М.

Рис 1.13. Рассматриваемая часть конструкции с равнодействующими внутренних сил

Вектор результирующего момента перпендикулярен плоскости действия и его направление определяется правилом буравчика с правой резьбой (рис.1.14).

Рис 1.14 К определению величины и направления действия момента

4. Спроектируем суммарные вектора и на оси Оxyz

Рис. 1.15 Проекции суммарной силы

При проектировании суммарной силы получим:

Продольная сила, направленная вдоль оси стержня

Поперечные силы, действующие в плоскости поперечного сечения.

Аналогичным образом при проектировании суммарного момента получим:

Крутящий момент в плоскости, перпендикулярной оси симметрии

изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Рис. 1.16 Проектирование суммарного момента

В трехмерном случае для определения шести неизвестных внутренних силовых факторов необходимо использовать шесть уравнений статического равновесия

В частном случае в поперечном сечении стержня могут возникать:

Только продольная сила. Этот случай нагружения называется растяжением (если сила направлена от сечения) или сжатием (если продольная сила направлена к сечению).

Только поперечная сила или. Это случай сдвига.

Только крутящий момент. Это случай кручения.

Только изгибающий момент или. Это случай изгиба.

Несколько усилий, например изгибающий и крутящий моменты. Это случай сложных деформаций или сложного сопротивления.

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, задача называется статически определимой. Если же число неизвестных усилий больше числа уравнений равновесия - статически неопределимой.

Для статически неопределимых задач кроме уравнений равновесия необходимо использовать еще дополнительные уравнения при рассмотрении деформации системы.

Напряжения. При одной и той же продольной силе прочность конструкции определяется площадью поперечного сечения.

Потому для оценки прочности вводится напряжение

Выделим вокруг некоторой точки бесконечно малую площадку.

Рис. 1.17 Проектирование полного напряжения

Вектор полного или истинного напряжения в данной точке. Упрощенно можно сказать, что напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения

Удобнее работать с двумя проекциями полного напряжения:

Составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая обозначается и называется нормальным напряжением (см. рис. 1.17)

Составляющая, лежащая в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается и называется касательным напряжениями. Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может любое направление в плоскости сечения. Для удобства представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей (рис.1.18)

Рис. 1.18 Напряжения в данной точке в общем трехмерном случае

Здесь первый нижний индекс у касательных напряжение указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй индекс - какой оси параллельно само напряжение.

Наряду с графическим представлением напряжений в точке деформируемого тела часто используется и векторная форма их представления.

Оценка прочностных свойств материала производится или по наибольшему нормальному напряжению, или по наибольшему касательному напряжению (расчет на сдвиг), тогда условие прочности записывается в виде

где и - допускаемые значения нормального и касательного напряжений, зависящие от материала и условий работы рассчитываемого элемента конструкции. Величины и выбираются с таким расчетом, чтобы была обеспечена нормальная эксплуатация конструкции.

Перемещение. Любая точка упругого деформированного тела после напряжения получает некоторое перемещение.

Рис. 1.19 Перемещение точки в общем случае нагружения

Для практического использования удобнее представить перемещение в виде трех проекций на декартовые оси координат

Деформации. Сама величина перемещения не позволяет оценить степень удаленности данного уровня нагружения от предельного состояния. Степень деформирования данной точки конструкции можно оценить с помощью относительной линейной деформации

Или деформация. Используя закон Гука, можно записать

Если нормальным напряжениям соответствует линейная деформация, то касательным напряжениям соответствует угловая сдвиговая деформация

Рис 1.20 Деформация малого элемента при сдвиге

По аналогии с (1.4) можно использовать векторное представление деформаций

Силой называется мера механического взаимодействия материальных тел.

Сила F - векторная величина и ее действие на тело определяется:

модулем или числовым значением силы (F);
направлением силы (ортом e );
точкой приложения силы (точка A).

Прямая AB, по которой направлена сила, называется линией действия силы.

Сила может быть задана:

геометрическим способом , то есть как вектор с известным модулем F и известным направлением, определяемым ортом e ;
аналитическим способом , то есть ее проекциями F x , F y , F z на оси выбранной системы координат Oxyz .

Точка A приложения силы должна быть задана ее координатами x, y, z.

Проекции силы связаны с ее модулем и направляющими косинусами (косинусы углов , , , которые образует сила с координатными осями Ox, Oy, Oz) следующими соотношениями:

F=(F x 2 +F y 2 +F x 2) ; e x =cos =F x /F; e y =cos =F y /F; e z =cos =F z /F;

Силу F , действующую на абсолютно твердое тело, можно считать приложенной к любой точке на линии действия силы (такой вектор называют скользящим ). Если сила действует на твердое деформируемое тело, то ее точку приложения переносить нельзя, так как при таком переносе изменяются внутренние усилия в теле (такой вектор называют приложенным ).

Единицей измерения силы в системе единиц СИ является ньютон (Н) ; применяется и более крупная единица 1кН=1000Н.

Материальные тела могут действовать друг на друга путем непосредственного соприкосновения или на расстоянии. В зависимости от этого силы можно разделить на две категории:

поверхностные силы, приложенные к поверхности тела (например, силы давления на тело со стороны окружающей среды);
объемные (массовые) силы, приложенные к данной части объема тела (например, силы тяготения).

Поверхностные и объемные силы называют распределенными силами. В ряде случаев силы можно рассматривать распределенными по некоторой кривой (например, силы веса тонкого стержня). Распределенные силы характеризуются их интенсивностью (плотностью) , то есть суммарной величиной силы, приходящейся на единицу длины, площади или объема. Интенсивность может быть постоянной (равномерно распределенные силы) или переменной величиной.

Если можно пренебречь малыми размерами области действия распределенных сил, то рассматривают сосредоточенную силу, приложенную к телу в одной точке (условное понятие, так как практически приложить силу к одной точке тела нельзя).

Силы, приложенные к рассматриваемому телу, можно разделить на внешние и внутренние . Внешними называются силы, которые действуют на это тело со стороны других тел, а внутренними - силы, с которыми части данного тела взаимодействуют друг с другом.

Если перемещение данного тела в пространстве ограничивается другими телами, то его называют несвободным . Тела, ограничивающие движение данного тела, называют связями .

Аксиома связей: связи можно мысленно отбросить и считать тело свободным, если действие связей на тело заменить соответствующими силами, которые называют реакциями связей .

Реакции связей по своей природе отличаются от всех других приложенных к телу сил, не являющихся реакциями, которые принято называть активными силами. Это отличие состоит в том, что реакция связи полностью не определяется самой связью. Ее величина, а иногда и направление, зависят от активных сил, действующих на данное тело, которые обычно заранее известны и не зависят от других приложенных к телу сил. Кроме того, активные силы, действуя на покоящееся тело, могут сообщать ему то или иное движение; реакции же связей этим свойством не обладают, вследствие чего их также называют пассивными силами.

4. Метод Сечений. Внутренние силовые факторы.
Для определения и последующего вычисления дополнительных сил в любом сечении бруса применим метод сечений. Суть метода сечений заключается в том, что брус мысленно рассекают поперек на две части и рассматривают равновесие любой из них, находящейся под действием всех внешних и внутренних сил, приложенных к этой части. Будучи внутренними силами для целого тела, они играют роль внешних для выделенной части.

Пусть тело находится в равновесии под действием сил: (рисунок 5.1, а). Рассечем его плоскостью S и отбросим правую часть (рисунок 5.1, б). Закон распределения внутренних сил по сечению, в общем случае, неизвестен. Для его отыскания в каждой конкретной ситуации необходимо знать, как деформируется под воздействием внешних сил рассматриваемое тело.

Таким образом, метод сечений дает возможность определить только сумму внутренних сил. На основании гипотезы о сплошном строении материала можно считать, что внутренние силы во всех точках конкретного сечения представляют собой распределенную нагрузку.

Приведем систему внутренних сил в центре тяжести к главному вектору и главному моменту (рисунок 5.1, в). Спроектировав и на оси координат, получим общую картину напряженно-деформированного состояния рассматриваемого сечения бруса (рисунок 5.1, г).

5. Осевое растяжение – сжатие

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы , а прочие силовые факторы равны нулю.

Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения , на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы : растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна

Внешняя сила - это мера взаимодействия между телами. В задачах сопротивления материалов внешние силы считаются всегда заданными. К внешним силам относятся также реакции опор (связей).

Внешние силы делятся на объемные и поверхностные . Объемные силы приложены к каждой частице тела по всему его объему. Примером объемных сил являются силы веса и силы инерции. Часто задают простой закон изменения этих сил по объему. Объемные силы определяются их интенсивностью, как предел отношения равнодействующей сил в рассматриваемом элементарном объеме к величине этого объема, стремящего к нулю: \lim_{\Delta V\to0}{\Delta F \over \Delta V} и измеряются в Н/м 3 .

Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные .
Сосредоточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно считать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН .
Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м 2 (распределенные по площади).

Все внешние нагрузки можно разделить на статические и динамические .
Статическими считаются нагрузки, в процессе приложения которых возникающие силы инерции малы и ими можно пренебречь.
Если силы инерции велики (к примеру – землетрясение) – нагрузки считаются динамическими . Примерами таких нагрузок также могут служить внезапно приложенные нагрузки , ударные и повторно-переменные .
Внезапно приложенные нагрузки передаются на сооружение сразу
полной своей величиной (к примеру давление колес локомотива, входящего на мост).
Ударные нагрузки возникают при быстром изменении скорости соприкасающихся элементов конструкции, например» при ударе бабы копра о сваю при ее забивке.
Повторно-переменные нагрузки действуют на элементы конструкции, повторяясь значительное число раз. Таковы, например, повторные давления пара, попеременно растягивающие и сжимающие шток поршня и шатун паровой машины. Во многих случаях нагрузка представляет собой комбинацию нескольких видов динамических воздействий.

Внутренние силы

В результате действия внешних сил в теле возникают внутренние силы .
Внутренняя сила - силы взаимодействия между частями одного тела, возникающие под действием внешних сил.

Внутренние силы являются самоуравновешенными, поэтому они не видны и не влияют на равновесие тела. Определяют внутренние силы методом сечения.

Внешние нагрузки приводят к следующим видам напряженно-деформированного состояния:

Изгиб
Кручение

Внешние нагрузки приводят к следующим видам напряженно-деформированного состояния:

· Кручение

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).
При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а, будут главный вектор Fгл, приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент Мгл = Ми, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называютвнутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой, составляющую Q – поперечной силой, пару сил с моментом Ми – изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов(рис. 2), для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ Mx = 0; Σ My = 0; Σ Mz = 0.

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия:N – продольная сила, Qx, Qy – поперечные силы, Мкр – крутящий момент, Мих и Миу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если Nнаправлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q. Это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент Мкр. Это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент Ми. Это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий моментМи и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

11) Допущения о свойствах материалов и характере деформаций
Допущения о свойствах материалов:

Материал однороден , т. е. его свойства не зависят от размеров выделенного из тела объема. В действительности однородных материалов в природе нет. Например, структура металлов состоит из множества хаотически расположенных микроскопически мелких кристаллов (зерен). Размеры же рассчитываемых элементов конструкций, как правило, неизмеримо превышают размеры кристаллов, поэтому допущение об однородности материала здесь полностью применимо.
Материал представляет собой сплошную среду и непрерывно заполняет весь предоставленный ему объем. Это допущение вытекает непосредственно из первого - об однородности материала - и позволяет применять математический анализ.
Материал изотропен , т. е. физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям. Таким образом, выделенный из сплошной среды элемент не зависит от ориентации относительно выбранной системы координат. Металлы благодаря своей мелкозернистой структуре считаются изотропными. Но есть много неизотропных - анизотропных - материалов. К ним относятся древесина, ткани, фанера, многие пластмассы. Однако в сопротив-лении материалов рассматриваются в основном материалы изотропные.
Материал в определенных пределах нагружения тела обладает идеальной упругостью , т. е. после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает первоначальные формы и размеры.

Допущения о характере деформации элементов конструкций:

12)Классификация внешних сил. Реальный объект и расчетная схема
Внешними силами называют силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами. Если же нагрузка распределена по поверхности тела или его части, то такую нагрузку называют распределенной
В расчетной схеме нагрузку, распределенную по поверхности (рис. 1.2) приводят к плоскости, совпадающей с продольной осью, в результате чего получается нагрузка, распределенная по линии. Мерой такой нагрузки является ее интенсивность q - величина нагрузки на единицу длины. Размерность - Н/м. Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести.

Рис. 1.2

Кроме тoro, встречаются нагрузки в виде сосредоточенного момента (пары сип). Есть несколько способов изображения моментов (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Тогда М - это крутящий момент (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Так изображается сипа, идущая к нам.

Так изображается сила, идущая от нас.
Реальный объект –исследуемый элемент конструкции,взятый с учетом всехсвоих особенностей: геометрических, физических, механических и других.

Рассчитать реальный объект практически невозможно (пришлось бы учитывать влияние слишком многих взаимосвязанных характеристик объекта), поэтому необходимо перейти к некоторой расчетной схеме (модели реального объекта) на основе определенной сис-темы гипотез, идеализирующих расчетную ситуацию.

Расчетная схема –это реальный объект,у которого отброшены все детали(особенности), не связанные с расчетом, а их влияние заменено силовыми воздействиями.

Основная цель сопротивления материалов – создать практически приемле-мые, простые приемы (методики) расчета типовых, наиболее часто встре-чающихся элементов конструкций. Необходимость перехода от реального объекта к расчетной схеме (с целью упрощения расчетов) заставляет вводить схематизацию понятий.

Можно выделить следующие типы схематизации:

геометрическая схематизация ; физическая схематизация ; силовая схематизация .

Геометрическая схематизация (модель формы)

Для схематизации формы реальных объектов в сопротивлении материалов используются следующие основные типы элементов: стержень (брус, балка,

вал), пластина (плита, оболочка) и массивное тело .

Стержень –элемент конструкции,у которого два измере-ния малы по сравнению с третьим.

Задачи по расчету стержней в основном являются одномерными (линейными, т. е. решение задачи зависит от одной переменной коор-динаты).

Пластина –элемент конструкции,у которого одно измерение(толщина)мало по сравнению с двумя другими.

Пластина криволинейная до нагружения называется оболочкой.

Задачи по расчету пластин в основном являются двумерными (плоскими)

Массивное тело –элемент конструкции,у которого все размеры имеют одинпорядок.

Задачи по расчету массивных тел в основном являются трехмерными (пространст-венными).

В сопротивлении материалов рассматриваются преимущественно одномерные задачи рас-чета стержневых элементов конструкций. Решение более сложных двумерных и трехмер-ных задач расчета пластин, оболочек и массивных тел рассматривает дисциплина, назы-ваемая «Теория упругости», которая основывается на меньшем количестве исходных ги-потез.

Физическая схематизация (модель материала)

Все изучаемые тела считаются выполненными (изготовленными) из материалов, условно наделенных определенными идеализированными свойствами.

Материал элементов конструкций будем в дальнейшем считать сплошным ,

однородным , изотропным и линейно-упругим .

Сплошной материал –материал,не имеющий разрывов,пустот,трещин,пор,включений и т. д.

Считается, что материал непрерывно (сплошь) заполняет весь объем элемента конструк-ции, при этом не учитывается конкретная структура материала (зеренная, кристалличе-ская, волокнистая, слоистая и т. д.).

Однородный материал –материал,в каждой точке которого механическиесвойства одинаковы и не зависят от величины выделенного объема.

Изотропный материал –материал,свойства которого одинаковы по всем на-правлениям.

Таким образом, свойства изотропного материала не зависят от направления исследования, например, от направления приложения нагрузки при механических испытаниях.

В противном случае материал называется анизотропным (дерево, стеклопластик, слюда и др.).

Упругий материал –материал,обладающий способностью восстанавливатьпервоначальные форму и размеры тела после снятия внешней нагрузки.

Линейно-упругий материал –материал,подчиняющийсязакону Гука .

Закон Гука : «Перемещения точек упругого тела(в известных пределах на-гружения) прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения».

Силовая схематизация (модель нагружения)

Для правильной постановки задачи в сопротивлении материалов весьма важно уметь классифицировать внешние силы (нагрузки), действующие на элементы конструкций.

Внешние силы –силы взаимодействия между рассматриваемым элементомконструкции и другими телами, связанными с ним.

Введем следующую классификацию внешних сил по способу приложения:

Сосредоточенные нагрузки –силы и моменты,площадьдействия которых мала по сравнению с размерами объекта (приложены в точке).

Обозначения: F (Р ), М (T ).

Единицы измерения: [F ]=H; [M ]=Н·м в СИ или [F ]=кг; [M ]=кг·м в технической системе.

Распределенные нагрузки –силы,действующие а)на не-

которой длине, б) по некоторой площадке, в) по объему.

Обозначение q .

Единицы измерения: а) [q ]=H/м, кг/ см, кг/мм; б) [q ]=H/м 2 , кг/см 2 , кг/мм 2 ; в) [q ]=H/м 3 , кг/см 3 , кг/мм 3 и т. д.

Внешние нагрузки различают также по характеру изменения во времени: Статические нагрузки медленно и плавно возрастают от нуля до своего ко-нечного значения, а затем остаются неизменными.

Динамические нагрузки сопровождаются ускорениями как деформированно-го тела, так и взаимодействующих с ним тел.

К динамическим нагрузкам относятся, например, силы действующие на ускорено движу-щиеся тела, ударные нагрузки и т. д.

Повторно- переменные нагрузки –силы непрерывно и периодически изме-няющиеся во времени.

Теперь, введя рассмотренную схематизацию понятий, мы мо-жем переходить к работе с расчетными схемами, к их анализу. При этом отметим, что один и тот же реальный объект может иметь несколько расчетных схем, а одной и той же расчетной схеме может быть поставлено в соответствие много различных реальных объектов. В частности, при расчете мостового крана (см. рисунок) трос и опорная колонна будут рассчитываться по расчетной схеме растянутого или сжатого стержня, а каретка и направляющие – по схеме двухопорной балки и т. д. Отсюда вытекает еще одно определение сопротивления мате - риалов.

Сопротивление материалов –инженерная дисциплина,занимающаяся проч-ностным (в общем смысле) анализом наиболее типичных (часто встречаю-щихся) расчетных схем, годных для расчета любых элементов любых конструкций.

13) Внутренние усилия при растяжении и сжатии. Построение эпюр внутренних усилий. Понятие об опасном сечении.
Растяжение и сжатие

Растяжение (сжатие) - простой вид сопротивления, при котором стержень нагружен силами, параллельными продольной оси стержня и приложенными в центр тяжести его сечения.

Рассмотрим стержень, упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными силами P.

Прежде чем перейти к исследованию внутренних усилий и напряжений, возникающих в растянутом стержне, рассмотрим некоторые гипотезы, связанные с характером деформирования такого стержня и имеющие в сопротивлении материалов исключительно важное значение.

Принцип Сен-Венана : в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, распределение напряжений и деформаций мало зависит от способа приложения нагрузок .

Принцип Сен-Венана дает возможность вести расчет без учета местных (локальных) деформаций, возникающих вблизи точек приложения внешних сил и отличающихся от деформаций основного объема материала, что в большинстве случаев упрощает решение задачи.

Гипотеза плоских сече-ний (гипотеза Я.Бернулли ):поперечные сечения стержня плоские и перпендикулярные его оси до деформации остаются плоскими и перпендикулярными оси, и после деформации .

Мысленно рассекая стер-жень, определим внутренние силы в растянутом стержне:

а) стержень, нагруженный растя-гивающими силами P и находя-щийся в равновесии, рассекаем произвольным сечением;

б) отбрасываем одну из частей стержня, а ее действие на дру-гую часть компенсируем вну-тренними усилиями интенсив-ностью ;

в) осевое внутреннее усилие N, возникающее в сечении стержня, определим, составляя уравнения равновесия для отсеченной части:

Проецируя внешнюю силу P, действующую на отсеченную часть стержня, на другие оси (z и y), а также составляя уравнения моментов относительно координатных осей, легко убедится, что осевое усилие N является единственным внутренним усилием, возникающим в сечении стержня (остальные тождественно равны нулю).

Таким образом, при растяжении (сжатии) из шести внутренних усилий в сечении стержня возникает только одно -продольная сила N.

Нормальные напряжения , возникающие в сечении стержня, связаны с осевым усилием N следующим образом:

Или . (2.2)

Учитывая, что в соответствии с гипотезой Бернулли напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (т.е. =const), можно записать:

Таким образом, нормальные напряжения при растяжении (сжатии) определяются как

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила.

Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и распределенной q, (рис.1).

а) расчетная схема, б) первый участок, левая отсеченная часть, в) второй участок, левая отсеченная часть, г) второй участок, правая отсеченная часть, д) эпюра нормальных сил

Рис.1. Построение эпюры нормальных сил:

Пусть . Прежде всего определим опорную реакцию R , задавшись ее направлением вдоль оси х .

Брус имеет 2 участка 1 и 2.

В пределах первого участка мысленно рассечем брус на 2 части нормальным сечением и рассмотрим равновесие, допустим левой части, введя следующую координату х 1 , рис.1 б:

Следовательно, в пределах первого участка брус претерпевает сжатие постоянной нормальной силой.

Аналогично поступим со вторым участком. Мысленно рассечем его сечением 2-2, и рассмотрим равновесие левой части (рис.1 в).Установим предварительно границы изменения х 2 :

Подставляя граничные значения параметра х 2 , получим:

Таким образом, в пределах второго участка брус растянут и нормальная сила изменяется по линейному закону.

Аналогичный результат получается и при рассмотрении правой отсеченной части (рис.1 г):

На основе полученных данных строится эпюра нормальных сил в виде графика распределения нормальной силы по длине бруса (рис.1 д). Характерно, что скачки на эпюре обусловлены наличием в соответствующих сечениях сосредоточенных сил R и Р , что в свою очередь может служить правилом правильности выполненных построений.

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

1. сечение, в котором изгибающий момент Мх - достигает своего максимального по модулю значения, - именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;

2. сечение, в котором поперечная сила Qy , достигает своего максимального по модулю значения;

3. сечение, в котором и изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy достигают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

1. точка, в которой нормальные напряжения , достигают своего максимального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

2. точка, в которой касательные напряжения достигают своего максимального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл
для сечений типа тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значение).

14) Условие прочности при кручении. Понятие об опасном сечении
Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

где берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:

Из второй теории прочности

Из теории Мора

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:

По третьей теории прочности

По четвертой теории прочности

Как следует из закона парности касательных напряжений, одновременно с касательными напряжениями, действующими в плоскости поперечного сечения вала, имеют место касательные напряжения в продольных плоскостях. Они равны по величине парным напряжениям, но имеют противоположный знак. Таким образом, все элементы бруса при кручении находятся в состоянии чистого сдвига. Так как чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния, при котором , , , то при повороте граней элемента на 45 0 в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, равные по величине (рис.5.8).

Рассмотрим возможные виды разрушения валов, изготовленных из различных материалов при кручении. Валы из пластичных материалов чаще всего разрушаются по сечению, перпендикулярному к оси вала, под действием касательных напряжений, действующих в этом сечении (рис.5.9,а). Валы из хрупких материалов, разрушаются по винтовой поверхности наклоненной к оси вала под углом 45 0 , т.е. по направлению действия максимальных растягивающих напряжений (рис.5.9,б). У деревянных валов первые трещины возникают по образующим цилиндра, так как древесина плохо сопротивляется действию касательных напряжений, направленных вдоль волокон (рис.5.9,в).

Рис.5.8 Рис.5.9

Таким образом, характер разрушения зависит от способности материала вала сопротивляться воздействию нормальных и касательных напряжений. В соответствии с этим, допускаемые касательные напряжения принимаются равным - для хрупких материалов и - для пластичных материалов.

В опасном сечении вала при изгибе с кручением одновременно возникают наибольшие крутящий () и результирующий изгибающий момент.

15) Кручение. Напряжение при кручении. Эпюра касательных напряжений.
Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 5.1).

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Пусть вал вращается с постоянной скоростью n об/мин. и передает мощность N Нм/с. Угловая скорость вращения вала равна (рад/сек), а передаваемая мощность .

Скручивающий момент равен .

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ.

Если к концам вала приложены равные, но противоположно направленные внешние скручивающие моменты, то во всех его поперечных сечениях существуют только касательные напряжения, т.е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. В круговом поперечном сечении вала деформации сдвига и касательные напряжения равны нулю в центре и максимальны на краю; в промежуточных точках они пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения. Обычная формула для максимального касательного напряжения при кручении такова: S = Tc /J , где T – скручивающий момент на одном конце, c – радиус вала и J – полярный момент сечения. Для круга J = pr 4 /2. Эта формула применима только в случае кругового поперечного сечения. Формулы для валов с поперечным сечением другой формы выводятся путем решения соответствующих задач методами математической теории упругости с привлечением в некоторых случаях методов экспериментального анализа.

Рис. 2.9. Эпюры касательных напряжений при кручении

а) упругая стадия; б) стадия пластического деформирования;

в) стадия разрушения; 1 – упругая зона; 2 – пластическая зона