Таблица корней от 1 до 10. Степень и ее свойства
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Пример.
Вычислите значение степени .
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Ответ:
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Пример.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Решение.
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:
Ответ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.
Запись 3 5 читают «три в пятой степени». В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5 показателем степени, выражение 3 5 называют степенью.
Чтобы скачать таблицу степеней нажмите на уменьшенное изображение.
Калькулятор степеней
Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.
Использовать калькулятор очень просто - введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число - степень и нажмите на кнопку «Посчитать».
Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.
Как возвести число в степень.
Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 - это основание, а 3 - показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:
Возведение в степень
А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.
5 3 = 5 x 5 x 5 = 125
Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.
Как возводить в отрицательную степень.
При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:
как возводить в отрицательную степень
Все очень просто - при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус - т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение
Таблица степеней натуральных чисел от 1 до 25 по алгебре
При решении разных математических упражнений часто приходится заниматься возведением числа степень, в основном от 1 до 10. И для того, что бы быстрее находить эти значения и нами создана таблицу степеней по алгебре, которую я опубликую на этой странице.
Для начала рассмотрим числа от 1 до 6. Результаты здесь ещё не очень большие все из них вы можете проверить на обычном калькуляторе.
- 1 и 2 в степени от 1 до 10
Таблица степеней
Таблица степеней является незаменимым помощником, когда нужно возвести натуральное число в пределах 10 в степень, превышающую два. Достаточно открыть таблицу и найти число, находящееся напротив нужного основания степени и в столбце с нужной степенью – оно и будет ответом на пример. Кроме удобной таблицы, внизу страницы приведены примеры возведения в степень натуральных чисел до 10 . Выбрав необходимый столбец со степенями нужного числа, можно легко и просто найти решение, так как все степени расположены в порядке возрастания.
Важный нюанс! В таблицах не представлено возведение в нулевую степень, поскольку любое число в степени ноль равно единице: a 0 =1
Таблица умножения, квадратов и степеней
Настало время немного заняться математикой. Вы еще помните, сколько будет, если два умножить на два?
Если кто забыл - будет четыре. Кажется, что таблицу умножения помнят и знают все, однако же, я обнаружил огромное количество запросов к Яндексу типа «таблица умножения» или даже «скачать таблицу умножения»(!). Именно для этой категории пользователей, а также для более продвинутых, которых уже интересуют еще и квадраты и степени, выкладываю все эти таблицы. Можете даже качать на здоровье! Итак:
10во2степени+ 11 во2 степени + 12 во 2 степени+ 13 во 2 степени + 14 во второй степени/365
Другие вопросы из категории
Помогите решить пожалуйста)
Читайте также
решения: 3х(во 2 степени)-48= 3(Х-во 2 степени)(х-во второй степени)-16)=(Х-4)(Х+4)
5) три целых пять сотых. 6)девять целых двести семь тысячных. 2) запишы в виде обыкновенной дроби числа: 1)0,3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0,609. 7)0,91.8)0,5.9)0,171.10)0,815.11)0,27.12)0,081.13)0,803
Сколько будет 2 в минус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 степени?
Сколько будет 2 в минус 1 степени?
Сколько будет 2 в минус 2 степени?
Сколько будет 2 в минус 3 степени?
Сколько будет 2 в минус 4 степени?
Сколько будет 2 в минус 5 степени?
Сколько будет 2 в минус 6 степени?
Сколько будет 2 в минус 7 степени?
Сколько будет 2 в минус 8 степени?
Сколько будет 2 в минус 9 степени?
Сколько будет 2 в минус 10 степени?
Отрицательная степень числа n ^(-a) можно выразить в следующей форме 1/n^a.
2 в степени -1 = 1/2, если представить в виде десятичной дроби, то 0,5.
2 в степени - 2 = 1/4, или 0,25.
2 в степени -3= 1/8, или 0,125.
2 в степени -4 = 1/16, или 0,0625.
2 в степени -5 = 1/32,или 0,03125.
2 в степени - 6 = 1/64, или 0,015625.
2 в степени - 7 = 1/128,или 0,.
2 в степени -8 = 1/256, или 0,.
2 в степени -9 = 1/512, или 0,.
2 в степени - 10 = 1/1024, или 0,.
Аналогичные расчеты для других чисел можно посмотреть здесь:3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Отрицательная степень числа, на первый взгляд, сложная тема в алгебре.
На деле, все очень просто - математические вычисления с числом "2" проводим по алгебраической формуле (см. выше), где вместо "a" подставляем число "2", а вместо "n" - степень числа. Калькулятор поможет значительно сократит время в подсчетах.
К сожалению, текстовой редактор сайта не позволяет применять математические символы дроби и отрицательной степени. Ограничимся прописной буквенно-числовой информацией.
Вот такие незамысловатые числовые ступеньки получились.
Минусовая степень числа означает, что это число умножают на само себя столько раз сколько написано в степени и потом единицу делят на полученное число. Для двойки:
- (-1) степень - это 1/2=0,5;
- (-2) степень - это 1/(2 2)=0,25;
- (-3) степень - это 1/(2 2 2)=0,125;
- (-4) степень - это 1/(2 2 2 2)=0,0625;
- (-5) степень - это 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
- (-6) степень - это 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
- (-7) степень - это 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
- (-8) степень - это 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
- (-9) степень - это 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
- (-10) степень - это 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.
По сути каждое предыдущее значение просто делим на 2.
shkolnyie-zadachi.pp.ua
1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99
2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121
Вторая степень означает, что цифра, которая получилась при вычислениях умножается на саму себя.
Русский язык : 15 словосочетаний на тему весна
Ранняя весна, поздняя весна, весенняя листва, весенние солнышко, весенний денёк, наступила весна, весенние птицы, холодная весна, весенняя трава, весенний ветерок, весенний дождь, весенняя одежда, весенние сапоги, весна красна, весенние путешествие.
Вопрос: 5*4 во второй степени -(33 во второй степени:11) во 2 степени:81 ОТВЕТ СКАЖИТЕ ПО ДЕЙСТВИЯМ
5*4 во второй степени -(33 во второй степени:11) во 2 степени:81 ОТВЕТ СКАЖИТЕ ПО ДЕЙСТВИЯМ
Ответы:
5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41
5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Вторая степень означает, что цифра, которая получилась при вычислениях умножается на саму себя.
10 в -2 степени - это сколько.
- 10 в -2 степени это тоже самое, что 1/10во 2 степени, возводишь 10 в квадрат и получается 1/100,а это равно 0,01.
10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01
=) Темная говоришь? ..хэх (из «Белое солнце пустыни»)
10 в 1 степени 10
если степень понижать на единицу, то результат уменьшается в данном случае в 10 раз, следовательно 10 в степени 0 будет 1 (10/10)
10 в степени -1 будет 1/10
10 в степени -2 будет 1/100 или 0,01
Вс это десять в минус второй степени
Когда число умножается само на себя , произведение называется степенью .
Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.
Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.
И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a
Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.
Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель . Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.
Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.
Вы не должны путать степени с коэффициентами
. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть
целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель
в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a
Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква . В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень . Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .
Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений
. Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель , и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.
Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели, если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа
умножать
на a, мы успешно получим несколько значений.
Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .
Если мы начнем слева
делить
на a,
мы получим a 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.
Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .
Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.
Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .
Тот же самый план записи может применяться к многочленам
. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .
Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.
Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .
А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .
Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корень степени может выражен более чем одной буквой.
Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.
Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.
Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:
Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.
Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.
Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx..... n раз повторенное.
Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.
Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.
Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .
Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .
Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .
Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .
Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,
(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.
Квадрат a - b, есть a 2 - 2ab + b 2 .
Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3
Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.
Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.
Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 - b.
Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.
Если мы умножаем a + h само на себя или a - h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.
Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.
Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.
Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .
Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .
Пример 3. Квадрат 3d - h, есть 9d 2 + 6dh + h 2 .
Пример 4. Квадрат a - 1 есть a 2 - 2a + 1.
Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.
Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.
Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n
В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.
Но если корень степени состоит из нескольких множителей , скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.
Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .
Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго - произведением их квадратов. Но они равны друг другу.
Куб a.(b + d), есть 3 , или a 3 .(b + d) 3 .
Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.
Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5
Отсюда любая нечётная
степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная
степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2
Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.
Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .
Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .
Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8
Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .
Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .
N-ая степень a 3 есть a 3n
N-ая степень (x - y) m есть (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.
Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .
Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6
Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .
Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .
N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .
Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть "-", то он должен быть изменен на "+" всегда, когда степень есть четным числом.
Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 .-a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .
2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .
Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n - чётное или нечётное.
Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.
Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .
Примеры двочленов , в которых один из членов является дробью.
1. Найдите квадрат x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.
4 Квадрат x - b/m есть x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени .
Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.
Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x -3 , что есть x 3 = 1/x -3 .
Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.
Так, a/b = 1/ba -1 , or ab -1 .
Существует множество таблиц значений степеней натуральных чисел. Привести их все не представляется возможным. Здесь мы приведем примеры некоторых таких таблиц и задачи на нахождение значений по таким таблицам.
Таблица степеней первых натуральных чисел
Приведем для начала таблицу для нахождения степеней натуральных чисел от $2$ до $12$ по степеням от $1$ до $10$ (таблица 1). Отметим, что мы не приводим степени числа $1$, потому что единица в любой степени будет равняться самой себе.
Находить по этой таблице значения надо следующим образом: В первом столбце находим число, степень которого нас интересует. Запоминаем номер этой строчки. Затем в первой сроке находим показатель степени и запоминаем найденный столбец. Пересечение найденной строки и столбца и даст нам ответ.
Пример 1
Найти $8^7$
Находим в первом столбце число $8$: получаем 8-ю строчку.
Видим, что на их пересечении находится число $2097152$. Следовательно
Таблицы степеней натуральных чисел от $1$ до $100$
Также довольно популярны таблицы степеней от $1$ до $100$. Все их привести невозможно, поэтому мы здесь приведем для примера такие таблицы для квадратов и кубов таких натуральных чисел (таблица 2 и таблица 3).
Эти таблицы напоминают всем известные таблицы умножения, поэтому, мы думаем, читателю не составит труда использование данных таблиц.
Пример 2
а) Данное значение находим в таблице $2$ в $8$ табличке:
б) Данное значение находим в таблице $3$ в $3$ табличке:
Таблица квадратов натуральных чисел от $10$ до $99$
Еще одной пользующейся популярностью таблицей является таблица квадратов чисел от $10$ до $99$ (таблица 4), то есть всех десятичных чисел.
Находить по этой таблице значения надо следующим образом: В первом столбце находим число десятков интересующего нас числа. Запоминаем номер этой строчки. Затем в первой сроке находим число единиц интересующего числа и запоминаем найденный столбец. Пересечение найденной строки и столбца и даст нам ответ.
Пример 3
Найти $37^2$
Находим в первом столбце число $3$: получаем 4-ю строчку.
Находим в первой строке число $7$: получаем 8-й столбец.
Видим, что на их пересечении находится число $1369$. Следовательно