Теорема о соответственных углах образованных параллельными прямыми. Урок "теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей"

Карамзин, Николай Михайлович знаменитый русский литератор, журналист и историк. Родился 1 декабря 1766 г. в Симбирской губернии; вырос в деревне отца, симбирского помещика. Первой духовной пищей 8 9 летнего мальчика были старинные романы,… … Биографический словарь

Карамзин Николай Михайлович. Карамзин Николай Михайлович (1766 1826) Русский историк, писатель. Афоризмы, цитаты Карамзин Николай Михайлович. Биография Как плод дерева, так и жизнь бывает всего сладостнее перед началом увядания. Для… … Сводная энциклопедия афоризмов

Карамзин Николай Михайлович - .… … Словарь русского языка XVIII века

Русский писатель, публицист и историк. Сын помещика Симбирской губернии. Образование получил дома, затем в Москве ‒ в частном пансионе (до… … Большая советская энциклопедия

- (1766 1826), рус. писатель, критик, историк. В раннем творчестве Л. заметно нек рое влияние сентименталистов, в т.ч. и К. Наиболее интересный материал для сопоставления с произв. Л. содержат «светские» повести К. («Юлия», «Чувствительный и… … Лермонтовская энциклопедия

- (1766 1826) российский историк, писатель, почетный член Петербургской АН (1818). Создатель Истории государства Российского (т. 1 12, 1816 29), одного из значительных трудов в Российской историографии. Основоположник русского сентиментализма (… … Большой Энциклопедический словарь

Запрос «Карамзин» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Николай Михайлович Карамзин Дата рождения: 1 (12) декабря 1766 Место рождения: Михайловка, Российская империя Дата смерти: 22 мая (3 июня) 1826 … Википедия

Историограф, род. 1 декабря 1766 г., ум. 22 мая 1826 г. Он принадлежал к дворянскому роду, ведущему свое происхождение от татарского мурзы, по имени Кара Мурза. Отец его симбирский помещик, Михаил Егорович, служил в Оренбурге при И. И. Неплюеве и … Большая биографическая энциклопедия

- (1766 1826), историк, писатель, критик; почетный член Петербургской АН (1818). Создатель «Истории государства Российского» (тома 1 12, 1816 1829), одного из значительных трудов в российский историографии. Основоположник русского сентиментализма… … Энциклопедический словарь

Карамзин, Николай Михайлович - Н.М. Карамзин. Портрет работы А.Г. Венецианова. КАРАМЗИН Николай Михайлович (1766 1826), русский писатель, историк. Основоположник русского сентиментализма (Письма русского путешественника, 1791 95; Бедная Лиза, 1792, и др.). Редактор… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Видеоурок о теоремах об углах между двумя параллельными прямыми и их секущей содержит материал, представляющий особенности строения теоремы, примеры формирования и доказательства обратных теорем, следствий из них. Задача данного видеоурока - углубить понятие теоремы, разложив ее на составляющие, рассмотрев понятие обратной теоремы, формировать умение строить теорему, обратную данной, следствий из теоремы, формировать умение доказывать утверждения.

Форма видеоурока позволяет удачно расставить акценты при демонстрации материала, облегчая понимание и запоминание материала. Тема данного видеоурока сложная и важная, поэтому использование наглядного пособия не только целесообразно, но и желательно. Он дает возможность повысить качество обучения. Анимированные эффекты улучшают представление учебного материала, приближают процесс обучения к традиционному, а использование видео освобождает учителя для углубления индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с объявления его темы. В начале урока рассматривается разложение теоремы на составляющие для лучшего понимания ее строения и возможностей для дальнейшего исследования. На экране демонстрируется схема, демонстрирующая, что теорема состоит их условия и заключения. Понятие условия и заключения описывается на примере признака параллельности прямых, отметив, что часть утверждения является условием теоремы, а вывод - заключением.

Углубляя полученные знания о строении теоремы, ученикам дается понятие теоремы, обратной данной. Она образуется в результате замены - условие становится заключением, заключение - условием. Чтобы сформировать умение учеников строить теоремы, обратные данным, умение доказывать их, рассматриваются теоремы, обратные тем, которые рассмотрены в уроке 25 о признаках параллельности прямых.

На экране отображается теорема, обратная первой теореме, описывающей признак параллельный прямых. Поменяв местами условие и заключение, получаем утверждение, что если пересечены секущей какие-либо параллельные прямые, то образованные при этом накрест лежащие углы будут равными. Доказательство демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а, b, а также секущая, проходящая через эти прямые в их точках M и N. На изображении отмечаются накрест лежащие углы ∠1 и ∠2. Необходимо доказать их равенство. Сначала в ходе доказательства делается предположение, что данные углы не являются равными. Для этого через точку М проводится некоторая прямая Р. Строится угол `∠PMN, являющийся накрест лежащим с углом ∠2 по отношению к MN. Углы `∠PMN и ∠2 по построению равны, следовательно МР║b. Вывод - через точку проведены две прямые, параллельные b. Однако это невозможно, потому что не соответствует аксиоме параллельных прямых. Сделанное предположение оказывается ошибочным, доказывая справедливость изначального утверждения. Теорема доказана.

Далее обращается внимание учеников на способ доказательства, который был использован в ходе рассуждений. Доказательство, в котором предполагается ошибочность доказываемого утверждения, называется в геометрии доказательством от противного. Данный способ часто используется для доказательства различных геометрических утверждений. В данном случае, предположив, неравенство накрест лежащих углов, в ходе рассуждений выявилось противоречие, что отрицает справедливость такого противоречия.

Ученикам напоминается, что подобный способ уже был использован ранее в доказательствах. Примером этому служит доказательство теоремы в уроке 12 о том, что две прямые, которые перпендикулярны третьей, не пересекаются, а также доказательства следствий в уроке 28 из аксиомы параллельности прямых.

Еще одно доказываемое следствие утверждает, что прямая перпендикулярна к обеим параллельным прямым, если она перпендикулярна к одной из них. На рисунке изображаются прямые а и b и перпендикулярная им прямая с. Перпендикулярность прямой c к а означает, что образуемый с ней угол равен 90°. Параллельность а и b, пересечение их прямой с означает, что прямая с пересекает b. Угол ∠2, образованный с прямой b, является накрест лежащим к углу ∠1. А так как по условию прямые параллельны, то данные углы равны. Соответственно, величина угла ∠2 также будет равна 90°. Это означает, прямая с оказалась перпендикулярной прямой b. Рассматриваемая теорема доказана.

Следующей доказывается теорема, обратная ко второму признаку параллельных прямых. Обратная теорема утверждает, при условии параллельности двух прямых образованные соответственные углы будут равными. Доказательство начинается с построения секущей с, параллельных между собой прямых а и b. Созданные при этом углы отмечаются на рисунке. Имеется пара соответственных углов, названные ∠1 и ∠2, также отмечен угол ∠3, который накрест лежащий углу ∠1. Параллельность а и b означает равенство ∠3=∠1 как накрест лежащих. Учитывая, что ∠3, ∠2 - вертикальные, они также равны. Следствием таких равенств является утверждение, что ∠1=∠2. Рассматриваемая теорема доказана.

Последняя доказываемая на данном уроке теорема - обратная последнему признаку параллельных прямых. Ее текст гласит, что в случае прохождения через параллельные прямые некоторой секущей, сумма образованных при этом односторонних углов равна величине в 180°. Ход доказательства демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Необходимо доказать, что величина суммы односторонних углов будет равняться 180°, то есть ∠4+∠1 = 180°. Из параллельности прямых а и b следует равенство соответственных углов ∠1 и ∠2. Смежность углов ∠4, ∠2 означает, что в сумме они составляют 180°. При этом углы ∠1= ∠2 - значит, ∠1 в сумме с углом ∠4 будет составлять 180°. Теорема доказана.

Для более глубокого понимания, как формируются и доказываются обратные теоремы, отдельно отмечается, что если теорема доказана и верна, то это не значит, что также верна будет обратная теорема. Чтобы это понять, приводится простой пример. Есть теорема о том, что все вертикальные углы равны. Обратная теорема звучит так, что все равные углы вертикальны, что не соответствует действительности. Ведь можно построить два равных угла, которые не будут вертикальны. Это можно увидеть на продемонстрированном рисунке.

Видеоурок «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей» является наглядным пособием, которое может быть использовано учителем на уроке геометрии, а также успешно сформировать представление об обратных теоремах и следствиях, а также их доказательстве при самостоятельном изучении материала, быть полезным в дистанционном обучении.

Теоремы об углах, образованных

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник - равнобедренный

НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Обратная

теорема

Если в треугольнике два угла

равны, то он - равнобедренный .

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы - смежные

Сумма смежных углов

равна 180 0 .

Если углы равны,

то они - вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник - равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .

Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно

МЕТОД ОТ

ПРОТИВНОГО

Выдвигаем предположение, противоположное тому, что надо доказать

Путем рассуждений приходим к противоречию с известной аксиомой или теоремой

Делаем вывод о неверности нашего предположения и верности утверждения теоремы

Но это противоречит аксиоме параллельных

Следовательно, наше допущение неверно

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей 0 , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0

Прямые а и b параллельны.

Найдите угол 2.

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

Найдите неизвестные углы

Найдите неизвестные углы

Найдите неизвестные углы

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух накрест лежащих углов равна 100 0 .

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух соответст-венных углов равна 260 0 .

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если разность двух одно-сторонних углов равна 50 0 .

Рыбалко Павел

В данной презентации содержатся: 3 теоремы с доказательствами и 3 задачи на закрепление изученного материала с подробным решением. Презентация может быть полезна учителю на уроке, т. к. сэкономит много времени. Также её можно использовать в качестве обобщающего повторения в конце учебного года.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Исполнитель: ученик 7 «А» кл асса Рыбалко Павел г. Мытищи, 2012 год

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а в А В 1 2  1 =  2 c

Доказательство: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Пусть прямые АВ и СD параллельны, МN - их секущая. Докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны между собой. Допустим, что  1 и  2 не равны. Проведем через точку О прямую К F. Тогда при точке О можно построить  KON , накрест лежащий и равный  2. Но если  KON =  2, то прямая К F будет параллельна СD. Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и К F, параллельные прямой СD. Но этого не может быть. Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что  1 и  2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и  1 должен быть равен  2, т. е. накрест лежащие углы равны. F

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равн ы. а в А В 1 2  1 =  2

Доказательство: 2 а в А В 3 1 Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то накрест лежащие  1 и  3 будут равны.  2 и  3 равны как вертикальные. Из равенств  1 =  3 и  2 =  3 следует, что  1 =  2. Теорема доказана

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. а в А В 3 1  1 +  3 = 180°

Доказательство: Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то соответственные  1 и  2 будут равны,  2 и  3 – смежные, поэтому  2 +  3 = 180 °. Из равенств  1 =  2 и  2 +  3 = 180 ° следует, что  1 +  3 = 180 °. Теорема доказана. 2 а в А В 3 1

Решение: 1. Пусть Х – это  2, тогда  1 = (Х+70°), т.к. сумма углов 1 и 2 = 180°, в силу того, что они смежные. Составим уравнение: Х+ (Х+70°) = 180° 2Х = 110 ° Х = 55° (Угол 2) 2. Найдем  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, т.к. они вертикальные.  3 =  5, т.к. они накрест лежащие. 125°  5 =  7, т.к. они вертикальные.  2 =  4, т.к. они вертикальные.  4 =  6, т.к. они накрест лежащие. 55°  6 =  8, т.к. они вертикальные. Задача №1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных A и B секущей C, если один из углов на 70° больше другого.

Решение: 1. Т.к.  4 = 45°, то  2 = 45°, потому что  2 =  4(как соответственные) 2.  3 смежен с  4, поэтому  3+  4=180°, и из этого следует, что  3= 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, т.к. они накрест лежащие.  1 = 135°. Ответ:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Задача №2: A B 1 Условие: на рисунке прямые А II B и C II D,  4=45°. Найти углы 1, 2, 3. 3 2 4

Решение: 1.  1=  2, т.к. они вертикальные, значит  2= 45°. 2.  3 смежен с  2, поэтому  3+  2=180°, и из этого следует, что  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, т.к. они односторонние.  4 = 45°. Ответ:  4=45°;  3=135°. Задача №3: A B 2 Условие: две параллельные прямые А и B пересечены секущей С. Найти, чему будут равны  4 и  3, если  1=45°. 3 4 1